Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 27
Текст из файла (страница 27)
'Ъ (Ф Для напряжений принимаем следующее правило знаков: $юрмальнае напряжение п,„положительно, если оно растягнвающее; касательное напряжение *„положительно, если оно стремится поВернуть рассматриваему1О часть элемента Относительно любой точки, взятой внутри ее, по часовой стрелке. На рис. 154, 6 напряжения О„и т„положительны.
Как видно из формул (6А) и (6.3), при а = О (рис. 154, а, площадка 1) т„= О, а и„= оэ. При а = — (рис. 154„а, площадка Л) и т„и о'„равны нулю. Аналогично можно покааать, что во всех се- чейняхФ параллельных Оси стержня, нормальные и касательные напряжения также равны нулю. Таким образом, при простом растя- Злей й лала будей счйтэ*й, что ~~лйэ йормэйй уйээыйэ~т йэ ту чэс~~, кОт0Щ"ю Отбрэсиййем„ййэче ГОйоря, й — этО ВНФшййй йОрмэль й Остэйшейсй ЧЭСТЯ ЭЛСМЮЯТЭ. женин (сжатии) В каждой тОчке тела Главные площадки перпенди" кулярны и параллельны еГО Оси» 3 ГлзВные напряжения на них соот" ветственно равны: при растяжении ф О'~ =ОН = — , 'язв - па=(1» при сжатии Из выражения (6.4) видим, что касательные напряжения дости- Гз1ОТ своей наибольшей Величины при Я = ~45» причем Ф-5) Пример Хб.
ОпрсДслнть нормальные н касательные найрнжсниЯ на наклонных площадках для алсмснтоз» ноказаннык на нис. 155» о — 6. Для злсмснта на 1»нс. 155, »з о =о =О; о =- — 500 кгс/смз; Л В щ, й= 30', 5 откуда а,„= — 500 созз ЭО' — 375 кгс/смз, 500 т = — — з1н%' = — 217 кгс/смз. »з Для Эламснта» ноказаннбп) иа рис. 155, б, а = 500 кгс/смз; аз =- аз = 5 = О,и=- — Й'н, значнт, о,„= 500 созз ( — 30") = 375 ктс/смз", д д 1ис. ЗЗЗ т = — з1п( — 60') = — 217ктс/смз.
6:= Длн элемента, ноказанного на рнс. 165, а, а, = а, =-- 0; аз = — 500 кгс/см'; Я вЂ” 30, слсдонат~Яьно, ор, = — 500 соз ( — 30') = — 375 кгс/см; 500 — — — з1а ( — 60'") 217 ктс/смз, При исследовании нзпряжениОГО сОстояния элементов конструкций наиболее часто приходится иметь дело с плоским (двухосным) напряженним состоянием. Опо встречается при кручении„ изгибе и сложном сопротивлении. Поатому на нем мы Остановимся нескОль- КО ПОДРобНЕЕ, Все Определения и прзВила, котОрые были Введены В предыдущем параграфе, остз1отся В силе и для плОскОГО напряженного состояния. ПОскОльку, ОднзкО, здесь име1отся два Отличных От нуля Главных напряжения, необходимо уточнить условие для Отсчета уГлОВ» хзрзктериау1ощих наклон площадок.
Будем считать» чтО зтОт Угол всегда отсчитывается от направления алгебраически болыпего ИЗ ДВУХ ОТЛИЧНЫХ ОТ НУЛЯ ГЛЗВНЫХ НЗПРЯЖЕИИй ДО НОРМЗЛН К на" клОниой площадке причем Всегда берется Острый угол» нО с учетом ЕГО ЗНЗКЗ. Определим напряжения из наклонных площадках. Рассмотрим элемент (рис. 156), грани которого являются главными площадками и по ним действ~~~т положительные напряжения О, и О~» а третье глзвиОе иапряжение Оз =- О (главное направление» соответствуяО- щее 6'э» перпендикулярно к плОскОс'Ги чертежа». Проведем сечение Х вЂ” !„которое определит площадку (я), характеризуемяо положительным углом я.
Напряжения Оц и т»» пО атой площадке будут вызываться как Действием О;, *ЗК И ДействиеМ О~. Применяя принцип суперпОзиции, т. е. рассматривая данное плОское на- ПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ КЗК ИЗЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОРТОГОНЗЛЬИЫХ ОДНООСНЫХ Напряженных состояний, можем запи- СЗТЬ О»» = Оа + ~Ъ Та Та +Т" ГДЕ Од И Т»» — НЗПРЯЖЕНИЯ» ВЫЭВЗН- денствием О1» Ряс. ЮФ Оа И Тб» НапряЖСНИЯ» ВЫЗВЗИ ные действием о,. Ч70бы вычислить О»;» и т»»» ВОспОльзуемси непосредственно фор" мул и (6.3) и (6А): с О»~ О» СОУ С6» Ти = — ~- 81П 2~х. »» 2 Для ОпрещРлеиия О»» и т»~ следует учесть что и»~» Образует с нз правлением О, угол 90' — Я.
Тогда» имея В Виду» чтО а1п 2 ( — (90' — а)) = — яп 2а; сояР ( — (9О' — аЦ = з1п'п, Сложив, найдем, что Воспользуемся формулами (6,6) и (6.7) для нахождения напряжений на площадке, перпендикулярной к площадке (а). Условимся такую площадку обозначать (р). Нормаль ав к ней (рис. 166, сечение П вЂ” П) образует с направлением а, угол Р = — (90 — а). Формулы (6.6) и (6.7) верны для любых а.
Подставив в них вместо о: укзззннОе значение ~, будем иметь Совокупность формул (6.6) — (6.9) дает возможность находить напряжения по любым Взаимно перпендикулярным нзклОнным плО- щздкзм, если изВестны главные напряжения. Проведем анализ этих формул, Складывая левые и правые части равенств (6.6) и (6.8), обнару- ЖИВЗЕМ, ЧТО О'д + ов =- о~ + О~, (6.)9) т. е. Сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит От наклона этих площадОК и равна сумме главных напряжений.
Иначе это свойство может быть сфорь улировано так: суммй йО~Рмпльйих йшЦзяжейий по даем ззинийо Йсрлендш~ллрйзж плпп~пдййм пйзпрппй~пйп по о~пй~й~йию й йй~лой~ мтшх Йлощйдок. Из формулы (6.7) или (6,9) видим, что, как и в одноосном напряженном ~о~то~пни, касательные напряжения достигают наибольшей Величины при й = -„~45', т.
е. НО плОщадкам, наклоненным к глзВ- ным площадкам под углом 45; причем ~~макс (6.3 $) Сравнивая формулы (6.7) и (6.9), находим, что Это равенство Выражает закон парности Касательных напряжений. Е О можнО сформулировать так: если по йпйой-либо площадке имее~нся йеколюяоВ лпиРпельйос йппряжййш, 1по ПО пщ)ПГйдйкумфйоИ к ай плойфдйе йене'яеййо бДЙ~й дей~~зозпля йпйилельйое йппря- ЗСГЯИЕ, /РПЗйОГ ЕМУ ПО ЗГЛИЧИйе И ЩЮЮйЗОЛОАОЖйОГ ПО ЗНПЩ.
Нзконеп Выясним, при кзкОм наклоне площддОк действующие ПО НИМ ИОрМЗЛЬПЫЕ НЗПряЖЕНИЯ будут ИМЕть ЭкстрЕМЗЛЬнуЮ (НЗИ- большую или наименьшую) величину. Для этого продифференцируем выражение (6.6) по сс и приравняем производную к нулю: 4Ь,„ — = — 2а, соз и яп а + 2ой зш а соз и =- — (а, — оД ап 2а = О. Й~ Отс$ода или З$П2а = О. В первом (частнОм) случае (равномер$$0е всестороннее растя$кеиие в плоскости) из формул (6.6) — (6.9) получаем П(~ = $$а = 13"$", Та = Т$$ = О.
ЗтО Значит, что Л$06ая площадка здесь главная. На всех этих площадках де$$ству$0т одинаковые на$$ряжен$$я. ВО втором (Общем) случае имеем а=О; а=90'„ НО плОщадки, характер$$зуемые этими углам$$,— Глав$$ь$е плО- щадки. Так$$м Образом, приходим к закл$0чени$0, что зкстремальиь$ми значениями для нормальных иапр$$жен$$й о;„будут велич$$нь$ главных напряже$$И$$ причем ~маке $' поскольку при $ж = 0 Вторая пронзвОдная РО' — = — 2(0$ — ОД соз 2$х ~Р~„ И~~~ На Всех наклон$$ых площадках нормальные напряжеи$!я име$0т значения, прОмежугОчные по величине между $$$ и $$~.
Проведем теперь еще два сечения (рис. 156): сечение 111— 111, параллельное 1 — 1, и сече~ас иие Я 1)~ параллел$ $$0е 11 11 1о1 % Поскольку напряженное состоя- Ф, ф3 ние элемента ОднОрОдиОс, напри женин $$0 площаДкам, Образо" $ Ъ Лг' — Л~, будут такими же„как Ц соответстве$$$$0 пО площадкам ($х) Рнс. ФЗУ и (р).
Поэтому элемент аЬсд, выделенный четырьмя сечениями из злеме$$та ЯВСЬ (рис. 157, а), будет иметь Вид, показаннь$$$ на рнс. $57, 6. С$6а злеме$$та Определя$0т Одно и то же напряженное состояи$$е, ио элемент ЯВСЬ представляет его главнь$м$$ напряже$$$$яии„а элемент оЬС$$ — напряжениямн на наклонных площадках. В теории напряженного состОяння м02кно разГраиичить две Основные задачи.
П р Я м з Я з а Д а ч з. 1» точке и:»Вестны пОлОжениЯ глзвнь$х площадок н соответстВУЯощне им Главные напряжений; требуетсй найти НОрмзльные и касательные нзпрЯжеиий по плОщздкзм, нз" КДОИЕННЫМ ПОД ЭЗДЗННЫМ УГЛОМ Я К ГЛЗВ- ным. Иначе говорй, Дан элемент аЬсд 6 (рнс. 158) с Действук)щими по его гра- " др нйм Главными нзпрйженийми; требуетсй бу найти напряжения нз Гранях элемента С а,Ь,с,д,, 6',; Г Обратна Я 3 а Д а ч а. В точке 7ф ИЗВЕСТНЫ НОРМЗЛЬНЬК» И КЗСЗТЕЛЬНЫЕ На- М «~ прйжения» действ~чОщие В дВух Вэаимно 4 4 ~ $ перпендикулярных площадках, прохоДЯЩих чере3 Дзннук) точку*, требуетсй найти главные направлений и главные напряжения, Иначе Говоря» дзн эл~мент а1Ь~су,д~ (рис 1 58) с дейстВ~ЯОщими по ® еГО Граням нормальными и кзсзтельнЫ- 6," мн напряжениями; нужно определить положение элемента аЬс~1, т.
е. угол йе, и найти ГлзВные напряжения. Обе Задачи можно решать как аналитическим, так и графическим ПУТЕМ. Аналитическое решение прймОЙ Задачи дается формулами (6.6) — (6.9). Проаналиаия»ем напряженное сОстОянне Воспольэовзвшись про стым графическим построением.,ялй этОГО ВВедем В рзссмОтрение С Гсометрическую плоскость и отнесем се к $ ПРЯМОУГОЛЬНЫМ КООРДННЗТНЫМ ОСЯМ О' И Т, % ~~-„т, е. по Оси збспнсс б~дем Откладывать Энзж ~ чения ГлзВнь1х напряжений, 3 также нз" прйжений Од и Оа» 3 по Оси ОрДинзт — Энз" И д~ чения т» и т»». ПорядОк решення Опишем 7~ д~ На ПРИМЕРЕ НЗПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ» ИЗО- браженного нз рис.
159. у 4 Выбрав длй напряжений некоторый мас- ц штзб» откладываем нз Оси збщисс (рис. 16О) Рис, 139 ОТРСЭКИ ОА= о,; ОВ= пз. На АВ кзк из диаметре строим Окружность с центром В точке С. Построенный круг нОсит нзэвание щзуза напряжВяпй или крущ Мора. Коорди$$зты Точек круга соответстну$ОТ нормальнь$м и касательным на$$ряжен$$ям нз различных площадках. Так, для Определен$$я нз$$ряже$$И$$ на пло$цздке, $$роведеннОЙ под углом $х (рис. 159)» из це$$тра кру$.з С проводим луч под у~ло~ 2$х до $$ересечен$$я с Окр$ж$$ость$О в Точке Ц„(полож$$тельнь$е угль$ откладьп$зем против часовОЙ стрелки).
Докажем, что абсцисса точки (отрезок Щ$) равна норх$зльному иапряжени$О $$д~ з Ордннатз ее (Отрезок КцЩ кзсзтельнОму на$$ряжени$О т„. И $$~ Радиус круга ОА — дВ (Г~ — $$э й 2 2 ПОскольку центр круга Сле ° жнт посредине между точками А ф ИВ,ТО ф — ОА+ ОВ $$~+6~ ф — $-~-.
Далее, Рнс. '$$$9 С~,= Лсов2в= Р~2 ~ сое2а. $$$ + $72 0$соз И+ 0зз$П Я. (6 13) ИЗ тРЕУгОЛЬНИКа СВ~,К„ОРДН$$ата ТОЧКИ В К~Е>р — К„Д, — ~ап2и=т $6.!6) 2 и, нзкОнеп, збсц$$сса точки В$$ ОХ('$$ = й' — СК$$ = '+ ' ' ' созыва=* 2 2 $$$ $$П $Х + $$~СОБ Ф $$$$. (6. 36) Сравниваи формулы (6.13), (6.И) с формулами (6.6), (6.7), видим, что действительно <Жа - а„а К.Р„= т, что и требовалось доказать. Следует подчеркнуть, чтО дВе тОчки кругз — Ц„и Вб) хзрзкте- РИЗУ$0ЩИЕ НЗПРЯЖЕН$$Я На ДВУХ ВЗЗИМНО $$ЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОЩЗД КЗХ (Сг) И ф)) ВСЕГДЗ ЛЕЖЙТ На КОН$$ЗХ ОДНОГО Д$$З$)$ЕТРЗ Щ)$$.
Построеннь$$$ круг Мора полностью описывает напряженное состоЯние элеме$$та) изобрзженнОГО на рис. 159. Еслн менЯть угол Я В пределах от — 9О до +9О', то наклонные площадки (с$) и ф) займут пОследовзтельнО Все Возможные положе$$ия) а точки В)~ и Вб Оп$$шут пол$$$)$Й круг. В чзстнОсти„при с$ = О, коГда Грани с~ и Ггп станут $'лзвными площадками и пО ним будут действовать те же напряжения, что и на гранях элемента аЬС4 точка В совпадет с А (рис. 16О), а Пб — с В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
