Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Предположим, что прямой стержень постоянного поперечного сечения больпюй длины Закреплен Верхним кОнцом и НЗГружен 1га свободном конце силой Р (рис. 136, а). Определим Закон изменения продольных усилий и напряжений В поперечных сечениях стержни, 3 также перемещения сечений по длине стержня„учитывая Влияние собственного Веса, В сечении стерж11Я, находящемся на расстоянии х от свободного КОНЦВ, пРОДОЛЬНЗЯ СИЛВ У(х) =- Р+ уРх, (5. 3) 1Де 'у — Вес единицы Объема материала. Наиболыиее значение сила имеет в верхнем закрепленном са- ЧЕНИН.* Ф „, =- Р + уИ. (6.2) Из выражениЯ (5.5) получим формулу длЯ подбора площади Р поперечноГО сечений стержня при расчете нз прочность с учетом Влианин сОбственнОГО веса: Р~. (6.6) Если наГрузки из конце стержня нют, 'Г.
е. Р = О, то напряжение В опасном сечении, вызванное только собственным весом, согл сно Выражению (5.4), Омаке = 7~. (6Л) УслОвию прочности принимают слюдукиций вид: у1 <(а1. (6.8) Отсюда МОжно Определить длину стержня, при которой напряжение только от собственного веса достигает допускаемого и стержень не может нести полезной нагрузки.
Эту предельную допустимув длину найдем из услОВИЯ (5.8), сохранив В нем знак равенства: ~ р=- — ° (6.9) т От собственного Веса может произОЙтн разрыв стержни» Это будет В случаю, ИОГда Оду„в выражении (5.7) достигнет Величины ременного сопр~~тивления* ЛЛНИЗ стержня2 при ко ОРО Р зры Взетсй От Собственного веса„нззыВаетсЯ А~ОЙийчдсиЖ. Ее получим из Формулы (5.9), заменив доп~скаемое напрвжение временным Пииечитлем, иииример, иритичееиуи~ Ллииу Зли стили мврии Ст2, у иитирий а, = 3600 иге/ем~. Вес елиницы объема стили т = 7,86 гс/ем~ = 7,85 ° 10 иге/ем'. Полетввлии в фсрмулу 15,10) числовые эиачеиии, получим — = 458000 ем у~4,6 им. 3600 785. 10 — ' В рассматрйваемом стержне 1рис. 136„О) определйм перемещение сечения, находящегося на расстоянии х от свобпдного конца.
Перемещение равно удлинеийв части стержня, расположенной Више ЭТОГО сечения. В сечении стержня, находящемся на расстоянии $ от свободного конца (рис. 136, а), имеем Л'ф = Р+ уГ$. По формуле (4.9) при Р = сопз1 находим ~„(х) (' ~ Ф 'В (' 0'+ 7% ~$ ~'(~ — л) + Т (р а) ~5 11) ЕЕ 1 ЕЕ ЕР 2Е Такйм образом, збсолк~тное удлинение стержня От собствеййогО Веса такое же, как удлинение От сосредоточенной силм, равной Весу стержня н приложенной В его центре тяжестй. Эпира переме- ЩЕИНН сечении иаображенз на рис.
136„з. Стержень равйого сопротивления. При расчете йа прочность стержня постоянного сечения с учетом собственного веса во всех сечениях стержня„кроме ОпаснОГО, напряжения Окзаываются ниже допускаемого, т. е. Материал недогружен 1см,, например„рис. 136, а). Однако мОжнО спроектирОвать стержень такого переменнОГО сечения1 у которого Во Всех поперечньи сечениях напряжения будут Одинаковыми и равными допускаемому, '1зкой стержень Р,= — ' 1о1 ' (5.14) Площадь пОперечного сечения нз рзсстОянии х От веркнего конца стержня обозначим через Р (х), а вес части стержня длиной х— Р через Я (х).
ПО условию нзпрЯжение В этом $ сечении должно равняться допускаемому. Уравнение равновесия части стержня дли- ~И'~~И бщ ФР ной х запишется так: 4- Р+ Я(х) = (а1 Р(х). (5.15) » Перейдем к следующему сечению» Отстоя щему от первого йз расстояйнй дх. ПлощаДЬ этого сечения будет Р (х) + дР (х)„а вес части Уме. $3У бруса» рзсполОженной вьпйе сечения, состзВит Я (х) + уР (х) дх. В этом сечений напряжение также Должно быть рзвйо допускаемому.
Условие рзВйОВесйя части бруса длиной х + ~1Х запищется следующим образом; Р+ Я(х) + уР(х) дх =- 1О1 (Р(х)+ дР(х)1. (5.16) Вь$читаЯ выражение (5 15) из ВьЦ)зжения (5 1 6)» получаем ТР (х) дх = 1о1 ЙР (х), (5.17) или» разделяя переменние: и'(ж) у~ь Г (х) Проинтегрировав это выражение, найдем 1пР(х)= 1,1 +С. Р(х) = е~'Ч (5.18) Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при х = О Р(х) = Р~. Тогда нз формулы (5.16) получим Ро =- есПОдстзвляя В фОрмулу (5. 18) значение е~ — Рр найдем зз кОИ изменения площади поперечного сечения стержня равного сопрс ТНВлеиия: Наиболь1пай площадь В месте закреплений (х = 1) 'Ф ~' е 16) нли с учетом выражений (5.141: ~~1 Риека -'" е ~ ~ * ~~Ч~ (6.20) Найдем полный вес Я бруса равного сопротивлений. Проще Всего сдела*ь зто, исходй из условий равновесий Всего бруса: Р+0= 101 Р Я = 101 Рмаке Учитывая формулу (5.2О), получаем у1 О =Р(еМ вЂ” 1).
Легко Определить и укОрбчение стержня. Так как во Всех поперечных сечениях напряжения постоянны и равны допускаемому~ то и относнтельнай деформация а по длине стержни равного сопротивлений постойина и равна —. Абсолютное укорочение стержня 14 Е ' И = е1 = — 1. (5.23) Ступенчатый стержень. Стержень, состоящий из отдельных участков (ступенек) с постоянной площадью поперечного сечения в пределах каждого участка, занимает промежуточное место между стержнем постоянного поперечноГО сечений и стержием раВИОГО сопротивлений.
В ступенчатом стержне материал используется лучше, чем в стержне постоянного сечения, но менее эффективно, чем В стержне равного сопротивлений. Последнее пОлнОстью окупается простО ГОЙ изГОТОвлеиия ступенчатоГО стержня. Поэтому такие стержни имеют болыпее распространение, чем стержни равнОГО сопротивлений.
В Виде ступенчатых стержней иногда изГОтОВляют Опоры мостов« Ступенчатые стержни следует проектнроВать так, Р чтобы В Опасном сечении, иаходйпГемся вкОнце каж- Гас. $3$ дой ступеньки, напряжения равнялись допускаемому. Очевидно при атом во всех других сечениях напряжений будут меньше дОпускаемоГО. Составим формулы длй подбора площад~ поперечного меч~и~~ каждОй ступеньки (рис. 1Щ.
Площадь пОперечиОГО сечениЯ первой ступеньки найдем по формуле (5.6): И вЂ” 1 (5.22) ($.23) Учитывая формулу (5.22), получим Р 1а) 6а1 — Ид 6а1 — тФд К нин(нему койцу третьей ступенькй прйложейа сйла, равйая Р~ Ь). Лля площади поперечного сечения третьей ступеньки формула запйп(ется следующйм образом". ~а1а1 э 1а1 Из Подставляя значения Р2 из ()юрмЗлы (5.24), получим ,Р 1а1~ (6.2$) (1а1 — тМ 6а1 — Фд Фч1 — Ю Очевйдйо, для площади поперечното сеченйя и-Й ступейькй формула будет йме*ь следующйй Вид: Р.— Р 1а1" йа1 — Ф)(1а1 — ~ФдИ вЂ” А) " Па1 — тИ ' Если длины всех ступенек одинаковы, то — — = ° ° ° =.
~,„= —, (6.26) Учет сил инерции. Под сйлой инерций материальной Точ~и, движущейся с ускорением, понимают силу% равную по Величине произведению массы тОчки на ее ускОреиие. Направлена сила инерции в сторону, о5ратную ускорению. В реальном теле, которое можно рассматривать как совокупность материальных точек, силы инерций распределены по Объему тела.
Они складываются с друтимй на" 1 рузкамй и оказ вают влияние на Величину возникающих в нем напряжений н деформаций. Часто силы ииерции Являются ОснОВны мп наГрузкамн на дВижущиеся детали. Прп рекении задач с учетом сил инерции пользуются принципом д Аламбера, который сОстоит В том, что уравнениям движения точки (или системы точек) можно придать Вид ураВнений раВНОВесия если к действу1ощнм заданйьпи силам и динамическим реакциям связей ПрйСОЕДИНИТЬ СИЛЫ ИНЕРЦИИ Определение изпряжений и деформаций при дейстВНН сил ииер ции рассмотрим нз примере расчета тОнкОГО (л:."„) кОльца 2О (рис.
139, а), свободно Вращающегося Вокруг центральной оси. Пусть угловая скОрость Вращения кОльцз Я, С $ ЯЛ ЗО ГДЕ и — ЧИСЛО ОбоРОТОВ В МИНуТу. Для тонкого кольца можно считать„что Все его точки находятся На ОДИНЗКОВОМ РЗССТОЯНИИ ОТ ОСИ ВРЗЩЕНИЯ» РЗВНОМ ЕГОСРЕДНЕМУ РЗДИУСУ Г.
Так как центростремительное ускорение направлено к оси враще- ИИЯ, ТО СИЛЫ ИНЕРЦИИ НЗПРЗВЛЕНЫ ОТ НЕЕ. Нз злемент кОльцз длиной рзвнОЙ единице» дейстВует сила ивер ции в виде центробежной силы, Величина которой (интенсивность) = — ЗРГ, ТГ Й (5.28) Где г — средний радиус кОльцз; г — площадь поперечнОГО сечения; т — Вес единицы объема материала. Таким Образом, дейстВие нз кОльцО Цеитробежных сил анало- гично действию равномерного внутреннего давления интенсивно- стью ф Вследствие круговой симметрии системы и нзГрузки В попе- речных сечениях изгибающие моменты и поперечные силы во Всех СЕЧЕНИЯХ РЗВНЫ НУЛЮ.
Для определении продольных усилий У, действующих в попереч- ных (радиальных) сечениях кольца, рассмотрим равновесие пОлО- Вииы кольца (рис. 139, б). На половину кольиа действуют две силы Ф, приложенные В проведенных сечениях и силы инерции интен- СИВНОСТЬЮ ф Согласно теореме, докзззннОЙ В $ 23, равнодействующая распре- деленной нагрузки интенсивностью 0 равна произведению о на диа- метр, перпендикулйриз к диаметру и действует по Оси, проходящей через его середину, т.
е. по Оси ф. Условие рзвнОВесия пОлОВины кольЦВ при прОектироваини сил нз Ось У ззпишетсЯ следуюЩим Об- разом: 2Ф вЂ” д2Г = О, Ф = у'. Нсфмальное иапряженне В пОперечном сечении кольца 1Ч чк ,Г Подсгавляя значение о согласно формуле (5.28), получим О = — ЬРг, т а И ИЛИ Напряжение в кольце можно выразить через его окружную скорость о.
Уч~~ы~а~, что о = ~~, из выражения (5.31) будем ~~еть (7 = — 9~. а (5.33) Формулами (5.31) и (5.33) можно пользоваться для приближенного (если пренебречь влиянием спиц) определения напряжения В Ободе маховика. Напряжение не зависит От площади пОперечного сечения кольца. Из услОВия прочности — р~ ~ (~у! У (5.34) Определяем допускаемую Величину Окружиой скорости: , < 1/'!~к (3,36) У Относительное уд~~~е~~е по Окружности ~~л~ца В ссответствин с законом Гука и с учетом Выражения (5.31) в= — =.
~ юг~. Е дЕ (6.36) Рассматривая геометрическую сторону деформации (рис. И9, в), убедимся В том, чтО ОтнОсительнОе удлинение по Окружности ИОльца равно Относительному удлинению радиуса," 2лг~ — й~х г~ — к и (3.37) 2ЯГ г к Найдем радиальные перемещения и точексредиейлннии кольца. На основании формул (5.37) и (5.36) И = ег — — 6РГЭ» уЕ (5.38) % и. сытичаски нкеидилимыи конспекции Сииищмтки неопределимыми называются такие конструкции, В элементах которых при пбмбщи толькО Одних уравнений статнки Определить усилия невозможиО. Кроме уравнений статики для рас. чета таких систем (конструкций) необходимо использовать также уравнения, содержащие деформации элементов конструкций. Схемы некоторых статически неопределимых конструкций изображены на рнс.
140: а — стержневой подвески; б — стержня, закреплеййого обойми койцами; а — стержйевого кройштейнз; а— составного кольца; д — железобетонной колонны, состоящей из бетона с включенной в него арматурой (стальными стержнями);  — ШЗРНИРНО-СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ. Ьм статически неопределимые конструкции имеют даполиительные, или так называемые алишнию, связи в виде за креплений, стержней либо других элементов. Лйшйймй тайне связй йазывзют ТОЛЬКО ПОТОМУ, ЧТО Ойй НЕ ЯВЛЯ" ются необходимыми для обеспечения равновесия конструкций И" и ее геометрической неизмеияе- Р мости, хотя постановка их дик- П д туегся условиями эксплуатации Р ПО услОВиям прочности и жест- Р Р кости конструкции лишние свя- 11 зи могут оказаться необходн- 11 11 мыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
