Писаренко Г.С. Сопротивление материалов (1075902), страница 23
Текст из файла (страница 23)
! В стзтически неОпределимых р д е КОНСТИ'КЦИЯХ ЧИСЛО НЕИЗВЕСТНЫХ, подлежащих определению, больше, чем число уравнений статики, которые могут быть ДЛЯ этОЙ цели испальзОВзны. Разница между числом неизвестных и числом уравнений статики определяет число лишних неизвестных„или степень статической неопределимости конструкций. Прй Одйой лйшйей йейзвестйой кайструкцйя назыВается Один рзз статически неопределимОЙ, при двух — ДВажды статйческй йеопределймой й т. д. Конструкции, изображенные йа рис. 140, а„б, г — е, имеющие па одной дополнительной связи, являются один раз статически неопределимыми, а конструкция, представленная на рис.
140, в, имеющая две лишние связи,— дважды статически неопределимой. Решение статйческй йеопределймых задач. Статйческй неопределимые конструкций, элемейты которых работают йа рзстяженйе й ~жа~~е, будем рассчитывать, решая ~о~мес~~о уравнения„полуЧЕййыв В РЕЗУЛЬТЗТЕ РЗССМОТРЕНИЯ СтатйчЕСКОЙ, ГЕамЕТРНЧЕСКОЙ и физическОЙ сторОИ задачи. При этОм будем придерживаться следующего порядка. 1. Статическая сторона задачи. Составляем уравнения равновесия отсеченных элементов конструкции, содержащие неизВестные усилия.
2. ГеОметр и ческз я ста рона задачи. Рассматривая систему В деФормированйом состоянии, устанавливаем связи между дефсфмацйями или перемещеииямй Отде чьных элементов конструкций Полученные урзВнениЯ называются Ямийеймямп СОВ меетнооии дефолиаций. 3. Фйзическз Я сторОнз задачи. Нзосновзниизэкона Гука Выражаем перемещения илй деформации элементов конструкции через действующиевннх неизвестные усилия. В случае изменения температуры к дефОрмзциям~ Вызванным усилиями~ щи$звляются температурные дефс рмэцйи. 4.
С и н т е з. Решая совместно статические, геометрические и ФИЗИЧЕСКИЕ УРЭВНЕИИЯ, НЗХОДИМ НЕИЗВЕСТНЫЕ УСИЛИЯ. Ра рй при еры рзсч некоторь простейших статически неопределимых конст- Р-+х рукпйй. 1. Пусть к стержню, зэкреплениОму Обои мй концами, прйложейа Осевая сйлз Р фис. 141, а). Определим усилия, возникающие В нижней й верхйей частях стержня. СТЗТИЧЕСКЗЯ СТороНЗ ЗЗДЗ" Р ч и.
Поскольку сила Р действует вдоль оси ® СТЕРЖНЯ, На ЕГО КОНЦЗХ МОГУТ ВОЗНИКНУТЬ тОлькО Вертикальные составляющие реакций Ял и Йв). Направим их произвольно — так, Н как показано на рис. 141, а. ДЛЯ СИСТЕМЫ СИЛ„ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ и д прямой лйййй, можйо состэвйть лишь Одно у д~ урзВнение равновесия" Х Х = гА+ й — Р = О.
(5.З9) следовательно, задача один раз статически неопределима. Геометрическая сторона задачи. Так как концы стержня жестко закреплены, то еГО Общая длина не изме- НЯЕТСЯ. СЛЕДОВЗТЕЛЬНО, С и н те з. Подставляя Выражение (5.4Ц В уравнение (5.4О), ПОЛУЧИМ Решая совместно уравнения (5.39) и (5.42), получим ЙА= — Р; йв= — Р. Ь а а+Ь ' а+Ь Окончагельная зпюра продольных снл представлена на рис.
141„6. 2. П~добрат~ плошади поперечйых сечений трехстержневой подВескй, расчетйая схема котороЙ изображена на рйс, 142, В. Длййа среднего стержня 1, = 1,5 и, угол между осью среднего стержня и Осями боковых стержней Я = ЗО'. Все стержни из стили марки Ст2. Плошади поперечных сечейий боковых стержней Р~ = Р~. ПодВеска в узле А будет нагружаться вертикальной силой Р = 8ЙВ кгс, о=р-. И* откуда, еслй йзвестйо усйлйе У, определяют необходимуто плон1адь: г> —. Ф 1а1 Найдем усилия В стержнях подвески. Еонструкция один раз статически неопределима, так как имеет Одну лишнюю сйязь.
Статйческая Сторона задачй. Условйе раВйовесия узла А (рис. 142„6) выражается двумя уравнениями статики: „~'„Х =Ж~з1па — Ж~З1пя = О; ,"~', У = Ж, + Ф соза + У сов и — Р = О. Из первого уравнения следует, что А', = Ф,. В результате остается Одно второе уравнение, содержащее два неизвестных усилия: Г е о м е т р й ч е с к а я с т о р о й а з а д а ч й. Так как сйстейа сймметрйчйа относйтельйо оси С1)едйего стержнй й боковые сщ)жий растягива»отся ОдинакоВыми силами, тО узел Л при деформации пОдвески опустится по вертикали на какук)-то Величину О. Новое положение узла будет Л, (рис. 142, в).
Все стержни удлинятся и займут положение, показанное на рис. 142, в штриховими лйййнмй. Удлинение среднего стержни, ОчеВйдйо, будет М» = б. Удлинения боковых стержней получим, если из точек 8 и О радиусом, равным ВЛ (или 0А), проведем дуги через точку А и сделаем засечки па НОВых Длииах стержней ВЛ» и ВА». ВслеДсгвие ТОГО что упругие удлинения очень малы по сравнении) с длинами стержней (на рис. 142, в для наглядности удлинения сильно увеличены), можйо счйтать, что углы с» между Осямй стер)иней йе измеияк)тся, а проведенные дуги заменить перпендикулярами, опущенными нз узла Л на новые направлений стержней. Тогда, как видйо йз рисунка, Ш~ = И~ = Ю, ссва.
(5.44) Физическая сторона задачи. Удлинения стерж" ней выразим по закону Гука через действующие в них усилия: Ж»1» . Щ, (5.45) С и н те з, Подс)авляя значения Ж» и И, из выражений (5.45) в выражение (5.44), получим (5.46) Выразим Й~ через Й»', ЯР» ЕХ» )де с» = — ', с, = — ' — жесткости соответственйо среднего й э 2 60кОВых стержней. Внеси выражение (5.47) В уравнение (5.43), будем иметь Ж»+ 2 — '»)',СОУа =Р, С» Учитывая выражение (5.47), получим Ф~: Р— со» а сд Ф~ = (5.49) 1+ 2 — ~а- 'а с» Усилия Ф, и Ф, оказались зависящими от соотношения жест- К~~Т~Й стержней.
Поэтому В проектйровочном расчете Вычйслйть их можно, только задавшись Отношением жесткостей. В этом за- кл»очзется Одна кз ОсобеннОстей расчета статически неОпределймых стержневых сн стем, В случае ОдинакОВых материалов стержней зада»отса не Отнощ~" вием жесткОстей, а Отношением плОщадей поперечных сеченйй, кОторОе, разумеется, устанаВлнвает и определенное Отионгенне жесткостей стержней. Примем — '= Я. Тогда, учйтывая, что 1, 1„сова, получим Р» сд ЕР»1» ЕР»1» с»а а со» а с» 1~ЕГ, ЦЕРф А Теперь усилия в стержнях У, (5.48) и Ф» (5А9) определятся такими ВЫражЕННями: И,= (5.56) 1+ — с»аэ а А у Рс6$~а 1»+ 2ссьэа Вычислим эти усилия, приняв, например, А = Й Ф, = , = 4850 кгс; 8000 1 + 0,866® 8100 ° 0,660» Фз — ' „— 1820 кгс. ! Подберем площади поперечных сечениЙ стержней, исходя из предполОжения, чтО напряжение В среднем стержне равнО допускаемому напряжепй»о 1О1 = 1400 кгс/сьР. Тогда 1" = — '.
= — см~ = 346 см~. Ф» 4850 1»»1 1400 ПлощаДН НОперечных сечений бокОВых стержней„согласно прннЯ тОму Отношению, получим такими." Г = — = — =173 см~. .Р» Р» Ф 2 Напряжеййя, с которымй будут работать этй стержни, Од= с»ш = — ' = — кгс/см' = 1050 кгс/смз. а', пю Р, 1,73 Эти напряжения меньше допускаемого, т. е.
стержни имеют избыточный запас прочности. Если из условия прочности определить площади поперечных се- чениЙ бОкОВых стержней Ку а затем сОгласно прииЯТОму отнОше нию, Взять Р~ = 2Р„то напряжеипе В среднем стержне Окажется больше допускаемого. Таким образом, этот второй вариант подбора площади поперечных сечений следует Отбросить, Отметим, что в рассматриваемой статически неопределимой конструкции нельзя получить раВнопрочность Всех ее злементОВ. Начальные н температурные напрЯжениЯ.
СВобОдная сборка статически неопределимых систем возможна лищь при весьма точном изготовлении их элементов. В противном случае сборку Вынуждены осуществлять с приложением усилий, Вызывающих деформации элементов, поэтому В них ~осле м~нт~~а С~сте~~ будут напряжения, называемые ййчпльяими или мониизгнымй. В статически Опреде лимь1х кОнструкциях иеточнОсть размероВ элементов не требует прилОжения усилий при моитаже и В элемеитах не возникают на" чальные напряжения. В элементах статически неопределимых систем усилия и напряжения возникают также при изменении температуры.
1. Предположи~, что стержни конструкции, рассмотренной В предыдущем примере, изготовлены с заданными площадями поперечных Сечен~й Р, н Р; = Р, и средний стержень оказался короче иа величину Л (рис. 143, а). Гсли величина Ь незначительна по сравнению с длинами стержнеЙ, то, приложив определенн~е усилия, множно Все три стержня соединить В узле, ко*орый займет после сборки какое-то положение А (рис.
143, б). Очевидно, при этом средний стержень будет растянут, а боковые сжаты. Определим мОнтажные усилия В стержнях. С т а т и ч е с к а я с т О р О н а з а д а ч и. Уравнения равно- ВесиЯ узла А фис. 143, 6) следующие: ~ Л = Ж,З1п и — Л",яп а = О", ~~„" У'- - Ф,— Ж~сози — Ж~созсс = О. Из первого уравнения находим, что Ж, = У,.
Остается одно уравнение с двумя неизвестными: Ф1 — 2ФВ ° — — О (5.52~ Г е О м е т р и ч е с к а я с т О р О н 3 3 а д з ч и. Из приведен ного на рис. 143„6 построения следует, что Л1~ = (Л вЂ” М() соза. (5.53) Физическая стОрОИЗ задачи. По закОну Гукз (5.54) С и н т е з. Подставляя значения И, и М, из выражений (5.54) В Выражение (5.53), имеем — = ~Л вЂ” — ~Сон(Х, Л'~(~ 1 й((~ ~ ЕР~ ~ ЕР( ~ Выразим Л'~ через (т'„и (ъ: Фз -= — (Ъ вЂ” — Сон С(, ЕЕ~ / А"~(, 1 ЕГ, ~ Внеся Ф~ в уравнение (5.52), получим Л'$ — 2с~ Л вЂ” — $- со за = — О* Ф Отпода находим растягцвакяцее усилие в среднем стержне: (т, 2с~ ШОУ (( (6.56) (+2 — (аРсс С~ С~ Сжиура(ощие усилия в боковых стержцях Определим нз основании уравнения (5.52).* Ю (5.56) Усилия в стержнях зависят как от отно(пения жесткостей, так И ОТ ВЕЛИЧИНЫ Л.
Пусть в рассматриваемой конструкции (рис. 143) все стержни изготовлены из стали (Е = 2 1О' кге/см'). Площади поперечных сечении стержней Р'1 = 3 см, Ру =Рз = 2 см ", прсектнзя длина стерн(ня (( = 2 м, углы наклОНЗ крайних стержней (т, = 3О'. После соединения крайних стержней Оказалось, что средний стержень короче, чем это необходимо для свободной сборки, на величину Л = О,15 см. Найдем усилиЯ и нзпрЯжениЯ, Возникшие после сбОрки конст рукции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
