Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 77
Текст из файла (страница 77)
9 е<, 9 е'в»' 9... 9 е'", (8.20) представляющую собой тензор (й — 1)-го ранга, и ротор п»енэора 27х»й = — су" 27;й""",, е;,9...9е;,9е"+'9...9е'", (8.30) Д ~79 Й ф е'9 —."Й, дХ' 27 ° "Й ф е' ° —. Й, дХ' (8.31) '17х йфе'х —. й. д „ дХ' представляющий собой тензор й-го ранга. Заметим, что в евклидовом пространстве 352 (и вообще )к") аналогичные формулы (6.47), (6.48) и (6.52) были установлены как следствие, а определения градиента, дивергенции и ротора тензоров были даны в виде первых формул в (6.47), (6.58) и (6.51). Аналогичные формулы в т'", вообще говоря, не имеют места, также как и (8.20) и (8.
21): Глава В. 'Гевзо ы в вмавовых п оет етвах 404 Творима 8.5 (тногнма Риччи). Ковариантная производная (8.86) метрической матрицы дзэ в Ча тоэкдественно равна нулю: "7адб — 0 в Ч". (8.32) т Юля доказательства теоремы следует проделать те же самые выкладки, которые приведены для теоремы 6.4. а 8.1.10. Абсолютная производная тензора Пусть в У" задано поле тензора "й(Х'). Выберем некоторую кривую С (8.4), проходящую через точку М(Х') с касательным вектором а = а'ен где а' = дХ'/д5.
Опгнднпинин 8.11. Абсолютной производной (или производной по направлению вектора а) тенэар а ье1, заданного в та, называют следующий обьект: З" 41 — =а ° ~7 Э Й. д5 (8.33) Творима 8.6. Абсоеютнав производная (8.33) от тензора й-го ранга представляет собой тенэор й-го ранга и имеет следующие компоненты: 2эзГ1 ЗП" "", ' ей 9... 9 е; Э е" 9... Э ее е, где р+д = й, (8.34) ек1 НХ' д д5 дх1 1еы -че д5 мы" ы из формулы (8.36) действительно следует (8.35). а — ~ Г™,П"-' „д к, ). (8.35) еей т Тензорный характер абсолютной производной, очевидно, следует из определения 8.11, так как а и ~79ь й являются тензорами.
Подставляя в (8.33) выражение для а и формулы (8.26), (8.28), получаем 21" О дХз дХ' (8.36) Учитывая, что асн Римо»свми ест в»ство 505 ОИРЕДЕлЕНИе 8.12. Говорят, чтпо тпензор«й в Ч" параллельно переносится вдоль кривой С (847 из тпочки Х~ — — Х'(слс) в точку Ху —— Хт(~лт), если его абсолютпная производная вдоль этой кривой равна нулю: 7'й/Кссб, ~~<1<1 . (8.37) Если записать уравнение параллельного переноса (8.37) с учетом (8.38), например, для вектора: — йт+Г'„— йэ =8, ; дХ« т«И~ (8.38) то из (8.38) получим систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций йт(Хт).
Ее решение с начальным условием ~ = с„: й' = й'(М), как известно (38], существует, единственно и продолжаемо от точки М до Лт'. Применяя аналогичное рассуждение для тензора «й, приходим к следующей теореме. ТеОРИМА 8.7. Ялв любой гладкой кривой,С, соединяюитей точки М и Лт в М", результат параллельного переноса всякого тензора «й, заданного в М", сущеставует, однозначно определяется тенэором «й(М) и линейно зависитп от «й(М). Тиогнма 8.8. При параллельном переносе из точки М в точку Л/ вдоль любой кривой С в М" линейная комбинация векторов Параллельный перенос играет важнейшую роль в римановых пространствах: он позволяет сравнивать тензоры, заданные в различных пространствах Т»~~ (ТэлМ") и Т»~~ (ТА7М").
Напомним, что тензорные пространства на М" определялись у нас локально в каждой точке М Е М" и, вообще говоря, например, раскладывать тензор «А б Т»т~~~(ТА«М") по базису пространства Т„'этот(ТмМ"), определенному для другой точки Л/, так как это мы проделывали для евклидова пространства Р з (см. гл.1), у нас нет никаких оснований. Однако с помощью параллельного переноса вдоль некоторой кривой для каждого тензора А(м) с Т» (ТллМ ) мы можем однозначно построить « (РУ)» его "двойник" «А(у~ в пространстве Т„т (ТА7М») и реализовать такое разложение. Тензор «А(лтр построенный с помощью параллельного переноса, называют параллельным тензору «А(ллр Заметим однако, что «А~лт~ зависит от кривой .С, соединяющей точки М и Лт.
В заключение этого параграфа приведем еще одну важную теорему. Гпввва. тснзо мв ннвновыхп ост внстввх из касательного пространства ТмМн сохраняспься в касательном пространстве Тл~Мн. т Пусть в ТмМ" определены векторы Ьм, арбм, в = 1,..., причем: Ъм = ~„, Л'арйм, где Л' — вещественные не все нулевые чиспа. Разложим эти векторы по базису е;м в ТмМ": Ьм = 6' е;м, арйм = а',е<м, тогда имеем в ТмМ": Ьм = ~,Л ад~. (8.39) В касательном пространстве Тл~М" векторам Ьм и арйм соответствуют векторы Ь(~) = 6'(4)ес и арб(~) = а~,)(Де;, где е; — базис в ТхсМн, причем а~~,~((), 6'(() удовлетворяют уравнению параллельного переноса (8.38): с16' < Ых" — +ГьУ вЂ” =О, при ~=~м. 6'=Ьм с1с, 1 <К (8.406) Ь'(() = ~~~ Л'а(,)(() ~м ( ~ ( (у (8 41) Сравнивая (8.39) и (8.41), получаем, что линейная комбинация векторов при параллельном переносе действительно сохраняется (т.е.
Л' не меняются). а Рассмотрим задачу (8.406) и обозначим ее решение дпя частного случая начального условия 4' = ~м . 6~~, —— а~, как 6~, (~). Легко проверить, что тогда функция 6'(~) = ~ „1 Л'6),~(~) улов летворяет уравнению (8.406) с начальным условием с = см . Ьм ~', Л'а~,р Но в силу теоремы 8.7 решение задачи (8.406) единственно, значит Ь'(~) = 3 Л'6~, (~) и есть ее решение.
По той же теореме 8.7 получаем, что решение задачи (8.40а) а<,1(() вдоль той же самой кривой,С также единственно, а поскольку задача (8.40а) отличается от задачи (8.406) при условии ( = ~м . 6~,> —— а(,1 только обозначением неизвестных, то решения их совпадают, т.е. ар)(4) = 6~,1(4). В итоге получаем: В.2. П оет внятна инной связности 507 упражнения к 2 8.1. Упражнение 8.1.1. Аналогично определению (2.20), дать определение операции скалярного умножения тензоров второго ранга из тензорного касательного пространства)га (Тле'Ч ).
(2) а Упражнение 8.1.2. Показать, что в еоветвенно римановом пространстве Ч" для символов Кристоффеля имеют место еоотнозления, аналогичные (0.11). 2 8.2. Пространства аффинной связности 8.2.1. Определение аффинной связности Обратим внимание, что в формулу (8.26) ховариантного дифференцирования явным образом не входит метрическая матрица дб, а только коэффициенты связности Г,у.
На этом факте основано построение пространств, еще более общих, чем римановы — пространств аффинной связности, в которых разделены понятия метрики д; (т.е. скалярного произведения) и связности Г~у (т.е. ковариантного дифференцирования и параллельного переноса) в элементарном многообразии М". Математически это означает, что в таком пространстве мы, вообще говоря, не требуем связи Г~у с вехторами базиса е; (т.е. отказываемся от соотношений (8.20) и (8.21)) и с метрической матрицей д; (в общем случае отказываемся от (8.18)). Более того, понятие метрики в М" может вообще не вводиться, а коэффициенты связности, тем не менее, используются. Г/ю р1 ре дю Гг + 6)пз рг Гд и У г 12 г з1 (8.42) Функции Г~у, заданные в )(.", называют козффициенгпами аффиннвй связноспзи (или просто аффинной связностью).
(Мы перешли от обозначений ГД к Г~у с той целью, чтобы сохранить Г,у для случая, когда соотношение (8.18) все же имеет место, см. об этом далее). Так же, как и для многообразия М", для 1." можно определить тензорное касательное пространство 7а ~~'(ТмЪ,"), построенное с по- ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.13. Элементарное п-мерное многообразие М" называютп просгпранствам аффинной свдзносзпи 1.", если в каждой точке А4 й М" с координатами Х' задана сисгпема функций ГД, квпзорые 1' делаются непрерывно-дифференцируемыми функциями, 2е при переходе к другин координатам Хн преобразуются следую- и)им образом: Глава Е. '1'саво ы в имановых и ест ствах 508 мощью, касательного пространства Тм Ъ.": Т1Рв1(ТмК.") = Тм3. Э ° ° ° Э Тм3.
ЭТмЪ." Э "° Э Тм1'" (8 43) Р в Лпя тензоров ьА из Таг~~(Тлд.") определены все те же алгебраические операции, что и дпя тензоров из Т~в (М") (см. п.8.1.7). 8.2.2. Ковариантное дифференцирование в 3 " Наличие связности Г™. в 3." означает, что в этом пространстве определена операция ковариантного дифференцирования. Опгндндвнин 8.14. Кввариантанвй производной втп кввчпвнентп тензвра "А Е Т„~~~(ТмЪ.,"), )с = р+ д, (или иначе кввариантнвй производной втпносиптелвнв связностпи Г)'-') называют следующий обьект: Р ° 'Р1А""" = А""" + ~ ~Г" А""" то дч тз- тчд 11- тч р=1 Ч -Е . ча чм чр — Г;;А р=1 (8.44) * ч Э "А = 1тчА""'Р ет Э е;, 9...
Э е;, Э ет' Э... Э е" р+д =1. (8.45) Поскольку скалярное произведение в 1." у нас не определено,то, в отличие от (8.33), абсолютной производной тензора зй, заданного в 1.",назовем тензор Й-го ранга 7Уз г1 зз11" "з; т""т'е;,9...9е; 9е" Э...Эетч, р+д= к,(8.46) где Трт 1""'". тм"тч чо,11чо чр (ц д~ ' 11-дч Аналогично теореме 8.4, несложно показать, что ковариантная производная (8.44) от компонент тензора й-го ранга является компонентами тензора ()с+ 1)-го ранга зр Э ьА в Ь", называемого градиентом тензора: Э.г.
П ест внствв вввойсввввоств 509 Тогда уравнение параллельного переноса относительно связности Г;. для тензора ~й вдоль кривой С имеет вид: З~й/д5 = О, (8.47) где а = (дХ'/дС)е5 — касательный вектор к Ю. В частности, уравнение параллельного переноса вектора вдоль Е имеет вид, подобный (8.38): д,, дХь д5 ' а~ — ос+ Г'.,— ПУ = О. (8.48) Из (8.47) следует, что для одного и того же многообразия М", вводя различные связности Г,у, получаем различные способы параллельного переноса тензоров. 8.2.3.
Геодезические линии в 1." Опгидндннин 8.15. Кривая Е в пространстве 1." называется ге одеэичес кой линией, если любой ненулевой вектор а, касательный к.С в некоторой точке М, является касательным нри параллельном переносе вдоль Е. Найдем уравнение геодезической линии в 5.". Тнорнмй 8.9. ЯиЯЯеренииальное уравнение геодеэической линии в 5." имеет вид: дгХ " дХ' дХ1 — + Г; — — = О, 5 Е [6,5г]. Кг (8.49) т Лействительно, всякую кривую в 2." можно задать в параметрическом виде (8.4): Х' = Х'(5), 5 Е [5м Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
