Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Согласно теореме 8.11, в каждой точке пространства 5 о можно выбрать такую систему координат Х', в которой символы Кристоффеля обращаются в нуль: ГД = 0 (и Г; в —— 0), такие координаты называют геодезическими. Заметим, что производные дГВз/дХ" в этих точках уже, вообще говоря, отличны от нуля, тогда на основании (8.97) имеем: дзГэь дгГтпь дХ дХв дХт дХг ' Меняя в этом выражении циклическим образом первые три индекса, а затем складывая полученные результаты, находим д'ГВ, даг;и, тс™ дХ»дХд дХудХв + .. + . — — О, дгГ з дгГ в дгГ тв дгГ дХгдХУ дХп дХ1 дХт дХ» дХч дХ» (8.109) откуда действительно следует тождество Бианки. а 8.4.5. Тензор кривизны пространства У" В римановом пространстве Чп связность Г~у является римановой, т.е.
1'; = Г;., где Г™ определяется формулой (8.19). Для тензора Покажем достаточность. Разобьем Бп на односвязные области, тогда каждая из этих областей имеет нулевую кривизну и по теореме 8.23 должна обладать абсолютным параллелизмом. Но в этих областях нет и кручения, тогда по теореме 8.15 они представляют собой локально-аффинное пространство. а Енк тенер Римана-К исто епп 557 Римана-Кристоффеля, порожденного этой связностью, будем исполь* зовать специальное обозначение В„ ! = Вп; , где дГм! Гбй+ Гй; = —. + — ( —.
— — + — — —.) = —.. (8.111) ддей 1 !' ддй! дд ! дд!! дд« 'г дд й дХ! 2 ~, дХ' дХ" дХ" дХ!,l дХ! Чисто ковариантные компоненты тензора Римана-Кристоффеля определяют следующим образом: !!д(Г!г!д"") д(Г»«!д ') '1 дХ" дХ! / + д (Гйг!Гавай 1 гп!Ге!«) (8.112) Используя соотношение д„,«(дд ~7дХ") = — д !(дд «7дХ") = — д '(Г и«+ Г«„), приводим Впгг«к виду Вп,г„- " .
- Гьп(Г„», + Г«п )д + + !Г (Г«1 + Г «) + дм(Г«ВГеы Гы!Г 3«) дГ!гй дГ!»й т! — — — — д (Гйпг1'йгт — Г!г[Г«пм) (8.113) Подставляя теперь вместо производных от Гбй их выражения (8.18) через метрическую матрицу, находим 1 7 дгде« дгд«1 д'де« 2 ~ дХ! дХ" дХ'дХ» дХ" дХ" дХ" дХ! дУ«п дУ;» дХ! + дХ«дХ ) +У ( йп! «гт б! «пт)— 1 ! дгдй! дгдй дгд!п дгд«п 2 ~ дХ! дХ» дХ дХ! + дХ«дХ! дХ! дХ! ) + д (1 !»гГ«гм Г77!Гйпм)1 (8.114) таким образом, получаем следующую теорему. Поскольку ГД связаны с метрической матрицей, то и В»1™ можно выразить через метрическую матрицу: Ь'папа В. Тепао ы а ныапоаых п оет ствах 528 ТеОРемА 8.26. В римановом пространстве Ч" ьпснэор кривизны Римана-Кристофбьавя можно выразить с помощью метрической матрицы дьь.
1 ь' дьдйу дгдйп дздьп дздьу 2 ь дХ'дХ" дХьдХ1 дХ" дХУ дХйдХп + д ' (1'ьпьГйуы — ГцьГйппь) . (8.115) Определение 8.21. Локально — свклидовььм (иви уплощенным) Ч~~ называют пространство Уп, для каждой точки М б Чп которого сущсстпвуст такая система координат Х", что метрическая матрица дь (М) является постоянной в некоторой окреспьности точки М. Очевидно, что уплощенное пространство представляет собой локально-аффинное пространство с римановой связностью (8.18) Теорема 8.27.
Риманово проспьоанство У" является уплощенным тогда и только тогда, когда тснэор кривизны еГь в нем тождественно обращается в нуль: вН = О. у Необходимость очевидна, так как если Ч" — локально-евклидова, то в каждой точке М б Ч" можно найти такую систему координат Х", что дб = сопгй в некоторой окрестности точки М, поэтому все частные производные от д; обращаются в нуль. Следовательно, Г.у = 0 в этой системе координат, и по (8.110) получаем, что Лп ьй = 0 в системе Х", а значит и в любой другой.
Покажем достаточность. Пусть вйь = 0 в Чп. 'Гак как Чп можно рассматривать как пространство 1.п со специальной связностью Г™ и без кручения (см. теорему 8.3), то согласно теореме 8.24 оно является локально-аффинным. 'Гогда в каждой точке М этого пространства Ьь" существует такая система координат Хн, в которой Г™ = О. Но тогда, используя формулу (8.111), получаем дм —— Г; й + Гйу, = 0 в окрестности точки М. Откуда получаем, что дьй = солей в этой окрестности, что и доказывает локальную евклидовость данного пространства т'и. а Теорема 8.27 обобщает доказанную ранее теорему 7.14, имеющую место для пространства У~, т.е. для двумерных поверхностей в пространстве Газ. 8.4.6.
Свойства тензора Римана-Кристоффеля Теорема 8.28. В проспьранствс 'Чп компоненты тснэора кривизны В„уьй имеют симметрию по парам индексов п,7' и ь, й, а ьпакжс кососимметрию по индексам п, у и ь, йь (8.116) Кпуьй — Вьйаэ~ Влк тента Римана-К исто ена 599 Лпзнй = Впдйн Кьэзй = Дупйн (8.117) а тпанже имееп» местно следующее тождество Риччи: (8.118) Лп Чй + Щпй + Рипуй — 0. у Доказательство очевидно следует из формулы (8.116), например, поскольку в тождестве Риччи четвертый индекс й стоит на месте, а три другие меняются круговой перестановкой, то из индексов иу» один равен й. Тогда положив, например, и = сс и й = а, получаем сумму: Ловче + Нэчоо + В»оуо.
Несложно проверить, что второе слагаемое и сумма первого и третьего действительно обращаются в нуль. а 8.4.7. Тензор кривизны пространства Аг Рассмотрим теперь риманово пространство абсолютного параллелизма А" . Тно«нма 8.29. Тензор Римана-Кристоффеля 4П относительно связности Г';" (8.$6) в пространстве Ап~ тождественно равен нулю. т Поскольку пространство А" является одновременно пространством абсолютного параллелизма А", то утверждение данной теоремы является следствием доказанной выше теоремы 8.23. Проверим однако теорему непосредственным вычислением, которое представляет и самостоятельный интерес. Из формулы (8.66) находим, что (Я )»; = Г~у(К )»т. Дифференцируя это соотношение по индексу и,получаем ( ) 1дп Г»А (~ ) +Гб( ), (Г»', +ГПГ )( ) «' (8.119) Поменяем здесь индексы у н п и получившийся результат вычтем из (8.119), тогда получим (Я-')й»д„— (З-»)', „, = (Г„.
„— Г,.пу+ Г;,Г„п — Г,",',Г'1)(К-»)й„= «(К-»)й (8.120) Поскольку левал часть этого выражения тождественно обращается в нуль (так как там стоят обычные частные производные), то и выражение в правой части должно быть нулем. Но (5»)й не может быть « тождественным нулем, поэтому получаем, что Я, „« = 0 для любого МЕА". а Гпвваз. 'Хенов ыв нмановыхп ест анстввх 530 Поскольку в пространстве Ин кроме связности Г,"' определены символы Г~у (см.
(8.69)), то с их помощью по формуле, аналогичной (8.97), можно образовать тензор четвертого ранга вй. с компонентами Ще = Гег 1 Ге1 в + ГМГм1 ГеуГонч (8.121) который однако уже не является тензором кривизны пространства тЧ" (т.е. Лу;,» ф В1;,~). Лля этого тензора имеет место следующая теорема. Теогемя 8.30. Тенэор ей. (8.121) в пространстве А", вообще говоря, отличен от нуля и опреоеляется коэффициентами вращения Риччи: т Так как тензор 4Н.
в А1, тождественно равен нулю, то, используя его определение (8.97), получаем Согласно теореме 8.19, связность Г~у можно выразить через Гу и коэффипиенты вращения Риччи: Г,у = ГЩ + Т;.. Подставим эти соотношения в формулу (8.123) и выделим в ней компоненты тензора В~ч," (8.121): Поскольку символы Кристоффеля Гу симметричны по з, 1' (см. (8.69)), то в формуле (8.124) добавлено тождество ГуТь — Г чТь— : О. Заметим теперь, что выражение в скобках в (8.124) представляет собой ковариантную производную '7 (8.26) относительно символов Т~, т.е. Подставляя эту и альтернированную по в,1 формулу в (8.124), убеждаемся в справедливости соотношения (8.122). А азк тснзо Риманв-К исто сиз 531 Твогвмза 8.31. Тензор вВ.
в пространстве Ао, можно выразить с помои1ью матрицы Я~р. В и = Яр(о1171(Я 1)", — Ч Ч1(Я '),). (8.126) з Для доказательства вычислим ковариантные производные з71Ть от коэффициентов вращения Риччи (8.82): Т,',. = Я', Ъ(Я-1)Р, = -(Я-1)Р, ЪЯь„ (8.127) а также их произведения Т,"'Т;. Получим следующие выражения: ь 17 Т вЂ” 17.Я 17.(Я ) + Я 17 17 (Я ) (8.128) Т Т вЂ” — Я Ч(Я ) (Я ) ь7Я = — заЯ Ч(Я ) р 1 8.4.8.
'цензор Риччи В пространстве ЪЧ" из тензора Римана-Кристоффеля можно образовать несколько тензоров второго ранга. Свертка транспонированного тензора Римана-Кристоффеля вВ. с метрическим тензором образует тензор второго ранга: 4~(зззв) (8.129) называемый тензором Риччи. Компоненты этого тензора имеют сле- дующий вид: * ус = 1з11ез сэ е' '- Л;„„,<,е" 8 е" 8 е" еэ е" е ® еь = = Лааазаааабь зз е' '3 е = .%сэнсэе ® е'~ т.е. (8.130) Подставляя в (8.130) выражение (8.97) для компонент тензора Римана-Кристоффеля, получаем: (8.131) Подставляя эти и аяьтернированные по 1, у выражения в формулу (8.122), действительно приходим к соотнбшению (8.126).
а Гпввва. '»'свпо ыв вмввовыво ест ввстввх ззз Аналогичным образом, если вместо 4К использовать тензор »В, определенный по формуле (8.121), то можно ввести тензор Риччи относительно символов Г;, т.е. » »»гп Взч = В»гч = Вп~ч "»1 (8.132) и (8.133) Выражение для компонент тензора Риччи Язч в пространстве Ао находим, подставляя формулу (8.122) в (8.132): (8.134) Тензор В. в пространстве А~ тождественно обращается в нуль: К = О.
Так квк Вп и» = В„ч» = 0 в локально-евклидовом пространстве Уи~, то и тензор Риччи тождественно равен нулю в этом пространстве: Воч — Взч = О 8.4.9. Тензор Эйнштейна Тензоры Эйнштейна С и С образуются из тензоров Риччи К и Я, следующим образом: * 1 С = И вЂ” -Я.Е, С = Я. — -ЯЕ, (8.135) 2 ' 2 где Я = К Е и Я. = В. ° .Е (8.136) — свертки тензоров Риччи с метрическим тензором. В локально-евклидовом пространстве Уй тензоры Эйнштейна тождественно равны нулю: С = С = О.
В римановом пространстве Ч" * тензоры С и С совпадают: С = С, но, вообще говоря, отличны от тождественного нуля. Творима 8.32. В риманоеом пространстве Уп тенэор Эйнштейна С удовлетворяет следуюи»ему уравнению: 1 где С' = Я'. — -Вд' . 2 сусанн = О, (8.137) У Поскольку риманово пространство Ч" обладает нулевым кручени- ем, то его можно рассматривать как пространство Ео, в котором вве- дена специальным образом связность Г~у по формуле (8.74). Тогда для о'и справедливы тождества Бианки (8.107).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
