Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Римвново п ест истаа е в инной связностью 515 Поскольку левая часть этого выражения симметрична относительно замены з ~+ у, то и правая часть также должна быть симметрична. Чтобы проверить это, умножим выражение для связности ГЯ1 = — (Я 1)'",о» 1 (см.
упражнение 8.2.1) на Узо15: (8.68) Поскольку по условию теоремы Г„= Г1'„то выражение в правой части (8.68) симметрично по з, у, и, тем самым, симметрична правая часть (8.67): ЯЯ;1 Я~ = о» 1 5~1. Это условие является условием интегрируемости системы (8.66), которое обеспечивает существование ее решения с начальными условиями: Хпв = ХД, Х'» = Хй в некоторой окрестности точки М. Следовательно, существует и обратная функция Х" = Х" (Х"). Воспользуемся теперь тем, что система координат Х', в которой записано выражение (8.66) для связности, была выбрана произвольно, а система Хл определяется по Х' указанным выше способом. Тогда выберем в качестве векторов базиса е; касательные векторы к координатным линиям Х', а сами координаты всегда можно выбрать совпадающими с Х".
В этом случае получим, что е; = е;, т.е. Уз = бз,, и, следовательно, Г»1 — — — (5 )™, Я~ 1 — — 0. Поскольку существование системы координат Х" нами показано в некоторой окрестности точки М, то и тождество Г;1 — — 0 будет выполнено в этой окрестности, что » и означает локальную аффинность пространства А" без кручения. й Упражнения к 5 8.2. Упражнение 8.2.1.
Показать, что связность пространства А" (8.58) можно представить в виде: Г;, = -(З-1)»,. З™„.. »ор 5 8.3. Риманово пространство с аффинной связностью 8.3.1. Определение пространства тт' В римановом пространстве т'» у нас была определена метрика д; (ей соответствовала вполне определенная связность ГД), в простран- стве же )).в — только связность Г™. Можно однако построить такое пространство, в котором будет одновременно определена и метрика ц Рлвввв. 'Гвнзо ыв имвновыхл оот внотввх 516 Ни одно из соотношений (8.18), (8.20) и (8.21) для ГД, вообще говоря, не имеет места.
Однако поскольку в Я" определена метрическая матрица дттч то ничто не мешает нам образовать из нее символы Г,у по формуле (8.19): 1 Г,' = -д (д;ьд+ д;я„- дб,ь). от мь 2 (8.69) Символы Г)'" .уже не являются связностью: Гтт ф Г;ти т,е. параллельный перенос в ЪЧ" осуществляется с помощью операции ковариантного дифференцирования т7 (8.44), но не операции 17, выражаемой формулой (826) (хотя сама операция т7 (8.26) также определена в%и). Этим пространство Ив отличается от и'". Но И" отличается и от Ь", так как в Я" с помощью дтт можно уже ввести скалярное произведение по формуле (8.10).
Тензорное касательное пространство на от'" определяем также, как и на римановом 'Ч": 7„" (ТмРУ" ) = Тм ~И" 8 ° ° Э Тм%в, тУМ б Рди. ПРичем с тензоРами 'А б Т„(Тм%в) опРеделены не только алгебь (ь) раические операции сложения, умножения на число, транспонирования, симметрирования, альтернирования и тензорного произведения, но и скалярного умножения, и поднятия — опускания индексов, подобно тензорам на Ч". 8.3.2. Рнманова связность Риманово пространство Ув является частным случаем пространства %" т о чем свидетельствует следующая теорема.
Теогемя 8.16. Пространство тдв является римановым Чо тпогда и только тогда, когда оно обладаетп свойстпвамит дб, и некоторая "самостоятельная" связность Г,у, для которой уже не имеют места соотношения (8.18), согласующие Г;. и д;т. Определение 8.19. Элементарное и-мерное многообразие М" называют р иман ос ым про стар анстпвом с аффинной связносптью Ю", если в каждой тпочке М Е М" с координаптами х' * заданы две систпемы функций дту и ГД, вообще говоря, не связанные никаки.ни соотношениями и удовлетворяющие свойстпвам 1о — 4о иэ определения В.б и 1о, 2о из определения 8.13, соответпственно.
В.З. Римановов ост анствбса иннойсвваностью з17 т Необходимость. Условие 1' для пространства Ч" всегда выполнено в силу теоремы 8.3. Лля доказательства 2' рассмотрим два касательных вектора Ъ,с Е ТлсМ", параллельно переносимых вдоль произвольной кривой С, проходящей через точку М, т.е. эти векторы удовлетворяют уравнениям (8.36), (8.37): дХ1 — ч;61 =О, дХ' — ~71сз=0, 4м<1<Ы Образуем скалярное произведение этих векторов в каждой точке кривой С: Ь с = д1161с' и вычислим его абсолютную производную (8.33): Р ИХь ,. 7 .дХь , ,дХь — (Ь ° с) = — зуь(д;16'сз) = д;з ~ сз — ~7ь6'+ 6' — ~7ьсз = О.
К дс " "1. дс дс (8.70) Здесь мы воспользовались теоремой 8.5 Риччи о ковариантной постоянности д; относительно римановой связности. Таким образом, условие 2' доказано. Лостаточность. Пусть выполнены условия 1' и 2' в И", тогда в произвольной точке М Е %~" рассмотрим уравнение параллельного переноса двух векторов Ь и с: Э(Ь ° с) = — (д1161сз) = О. — |з Поскольку (Ь ° с) — скгляр, то по определению его абсолютная произ- водная (8.46) совпадает с полной производной по ~: ю — дс и — (Ъ ° с) = — (д;161сз) = — 'з +д;з ~ — сз+ — 6' = О. (8.71) Поскольку векторы Ь и с параллельно переносятся, то они удовлетво- ряют уравнению (8.48): доз . дхь ™ д~' *1 а1 д" ~ — = — Г' „6~ —.
ть ц Подставим эти выражения в (8.71) и учтем, что дд;з/дС = (дд11/дХь)(дХ~/д~), 1с его кручение тождественно равно нулю: П; т = О, 2с скалЯРное пРоизведение любых вектоРов Ь, с Е ТллМа, паРаллельно переносимых вдоль всюсой кривой,б, не меняется. Главве. телес ыв нмановыхн ест внстввх 518 тогда получим: < — "-Г™д -Г,д ) Ы вЂ” =О. дХЬ т' тнд 1' мт) (8.72) Поскольку это уравнение должно выпопняться при любых Ьт,ст и (дХь/Н6) (т.е. Оно представляет собой тождество), то это возмож- но только, когда скобка обращается в нуль: ддб —, = Гт,д, + Гу„д;. (8.73) * В силу симметрии связности Гу, это уравнение можно разрешить относительно Г;.
так же, как зто было проделано при доказательстве теоремы 6.1, в результате получим Г- = Г-.. = -д - —. + —. — —, * 1, Гддц ддсь ддтд '1 2 ~дХ1 дХУ дХь) ' (8.74) З дХ1'; ЫХ1 *;;* — (Ь ° с) = — т71 (дт 'Ьт ст) (дтт (т71Ьтст' + Ь'т7еот ) + (Чьдб)Ьтст) (8.77) но так как 17ед; = О, а Ь и с параплепьно переносятся,т.е. ЫХ" ЫХь — '71,Ь' = О и — 17ест = О, (Ц то выражение в правой части (8.77) обращается в нуль. Следовательно, 21 — (Ь ° с) =О т.е. связность в рассматриваемом пространстве является римановой, следовательно, в данном случае уу" совпадает с У". А ТБОРемА 8.17.
Простпранство %в яеляетпся риманоеым 'Ч" тогда и только тогда, когда 1о его кручение равно нулю: Птт. = О, (8. 75) 2' ковариантная производное опт метприческоб матприцы дб в Ян тождественно равна нулю: ~7едтт = О. (8. 78) т Если Я" — риманово пространство Ч", то в силу теорем 8.4 и 8.5 условия 1' и 2' выполнены. Лпя доказательства достаточности рассмотрим абсолютную производную от скалярного произведения двух векторов Ь и с, параллельно переносимых вдоль некоторой кривой ь: В.З.
Рнмоново и ост внстоо с я инной связностью 919 для любой кривой ь", т.е. выполнены условия теоремы 8.16, а значит 'твн — риманово пространство Ч". а 8.3.3. Риманово пространство абсолютного параллелизма Пространство тд" с римановой связностью нам уже было по сути известно, в п.8.3.2 мы лишь показали его место среди пространств с аффинной связностью. Рассмотрим теперь важный пример пространства ЪЧ"' с неримановой связностью. ОпРеделение 8.20. Пространство иго называют римановым пространством абсолютного параллелизма Аи~, если его связность ГД обладаетп свойством (8.66), т.е.
в каждой точке М б УУ сузцествует и линейно независимых касательных векторов е; = Я; еь, таких, что ь г™, = 6-ь(В-')ь,д (8.78) ь Здесь, как и в п.8.2.6, Я; — матрица компонентов векторов е; в базисе е; пространства ТмМ", а (5 ~)"; — обратная к ней матрица. Сравнивая определения 8.17 и 8.20, заключаем, что А",, — это пространство А" с введенной в нем метрикой, поэтому теоремы 8.12— 8.14 имеют место и в Аи~. Установим теперь свойства, присущие пространству А~. Введем кроме дб в пространстве А~, матрицы зц' ьн д е!.е и д''д ь 6'ь (8.79) Теогеый 8.18. В простпранстве А", метрические матрицы дб, дб и д,, дб — ковариантано-постпознны, зп.е. тождественно равны нулю их ковариантные производные: Ч;ды = О, Ч;дьз = О, Ч;ды — — О, Ч;доы = О. (8.80) т Используя формулу (8.45), вычислим Чды, рассматривая его как градиент от скаляра при фиксированных Й и 1: Чды — — Ч(еь ° ез) = (Ч 8 еь) е~ + (Ч 8 ез) ° еь = О.
(8.81) Здесь мы воспользовались теоремой 8.13. Тогда по определению (8.45) * получаем: Чдь, — — Ч;дые' = О, откуда следует Ч;дьз = О. Пифференцируя второе соотношение в (8.79), находим: (%д")ду = — (Чауй)дб = О, Глвввв. Ъ'свпо ыв вмпвовыхп осе паствах 520 * поэтому 'ч1дзз = О. Для доказательства первого соотношения в (8.80), используем связь * векторов е; и е1 из определения 8.17, тогда д;з —— е; ° ез — — (Я );(Я ) е» ° е1 = (Я )"1 (Б 1)' д»,. Поскольку матрицы (Б 1)"; и д»1 — ковариантно-постоянны (см. (8.68) и (8.80)), то и д;, а вместе с ней и д11 также ковариантно-постоянны. А Заметим, что хотя дб — ковариантно-постоянна, но кручение П1 "' связности (8.78) не равно нулю, поэтому пространство А"„не является римановым з'". * Установим теперь соотношение между связностью ГД и символами Кристоффеля Г,, которые определены в Аи~ формулой (8.19).
Будем, как и в пространстве з'", обозначать ковариантную относительно символов Г~у производную как чз, и введем новый объект: Т1п Бм 1у (Б-1)» (8.82) называемый коэффициентами враи»ения Риччи (если бы в этой формуле стояла производная чзч то все выражение обратилось бы в нуль), здесь 17 (5 ')"; = (Я 1)"; — Г; '(о 1)11. Тиориыя 8.19. Связность в пространстве А~ может быть представлена в виде: (8.83) з Для доказательства воспользуемся третьей формулой в (8.60), ко- торую умножим на матрицу Я». 0 = Ы .'171(я ')»; = я»(Б ')"; — Б „Г1 (я 1)'„= уп (оо-1)» Гп1 + Гм + Гп1 (8.84) Здесь мы добавили и вычли символы Кристоффеля Г;, тогда, срав- нивая с (8.82), получаем Г; = Г111+5»((5 1)»; — Г'; (Я )»1) = Г, +Т; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
