Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Геоиет и«к ивы«и паве «ноетей 4В4 ОПГЕДЕЛЕНИЕ 7.19. Окрестпквс«пью поверхности Е (7.166) называют трехмерную область в евклидовом првстпранстпве )йз, каждая точка М' в которой имеееп радиус-вектпвр вида: х = р(Х",Х ) + Хзп(Х', Х ). (7.187) Здесь и - вектор нормали к поверхности Е (рис.7.14), проходящей через точку М', р - радиус-вектор точки М на поверхности, из которой выпущена эта нормаль, а Хз - третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности и изменяющаяся в некоторой области: з < Хз < (7 188) 2 2 Значение Ь может быть константой (Й = сопз1), Рпс. 7.
Ц. К опрелелеиию окрестности тогда говорят об окрестное попер«ности ти (оболочке) постоянной толщины; если и - переменнал: Ь = л(Х~, Хз), тогда говорят, что окрестность (оболочка) имеет переменную толщину. Термин "окрестность" подразумевает, что максимальное значение Й мало по сравнению с характерным размером Йип Е поверхности Е: (7.189) гпах й «Йш Е, где под дпп Е понимается, например, наибольшее расстояние между любыми точками поверхности Е. Таким образом, если радиус-вектор р(Х~,Хз) точек поверхности Е зависит только от двух координат, то радиус-вектор х(Х'), 1 = 1,2,3, определяемый по (7.187), зависит уже от трех координат, но специальным образом. 7.4.2.
Векторы локальных базисов и метрические матрицы в окрестности поверхности Применим теперь к соотношению (7.187) аппарат гл.1. Дифференцируя (7.187) по Х~ (е' = 1, 2,3), получаем с учетом определения (7.43) и (7.70): дх Вв = — = рг+Х~пг. дХ7 (7.190) 7.4. Геомет ик в ок естности нове кирсти 485 Используя деривационные формулы (7.96), преобразуем (7.190) к виду: ХзЬх (БЯ ХзЬЯ) (7.191) Дифференцируя (7.187) по Хз, имеем Из = и. (7.192) Формулы (7.191), (7.192) определяют векторы основного нонавьного базиса в окрестности поверхности. Перемножая В.г и Кз скалярно, получаем: дгг = гсг гсз = (бг †.Х Бг )(бз Х Ьз)два = = дгз — 2ХзБгз + (Хз)гБкЬкз (7.193) дгз = Вг Из = (б~~ — Х Ь~~)рз п = О, дзз — — ккз ° екз = и ° гг = 1. дгз = дгз — 2Х~Ьгг дгз = О, дзз = 1 (7 194) Определитель д метрической матрицы д; вычислим, используя свойство (1.55): Я= (Иг х Иг) и = (51с — ХзЬ1г)(бгз ХзБгз)(рг х рс) ° и.
Учитывая, что ро х р„= О, а также определение (7.56) вектора нор- мали рг х рг =;/дп, получим: /д = Я(1 — Х Ьг~+ (Х~)~(ЬгЬ вЂ” Ь~гЬ )) . Переходя согласно (7.154) к инвариантам Н и К, имеем окончательно: Я т,Д (1 2Х577 + (Хз)гК) (7.195) — компоненты трехмерной зсетричеспой матрицы в онрестности поверхности ду. Здесь мы воспользовались формулой (7.73). Формулы (7.193) показывают, что ду выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичной форм поверхности Е. Свойство (7.189) "малости" окрестности поверхности является основанием для использования здесь и далее линейного приближения по координате Хз, при котором слагаемые при (Хз)г и выше отбрасываются. 1'ак метрическая матрица в линейном приближении имеет вид: Глава 7.
Геомет ива ивых и лове хиоетей 488 дюэ дскб + 2Х86гэ дюз 0 дзз 1 (7 198) которые проверяются непосредственным вычислением: 9ы9эк (дгэ — 2ХзЬгэ)(9" к + 2ХзЬэк) б к + 2 Х з ( 9 г э 6 з к д э к 6 г э ) 6 к ( 7 1 9 б ) Векторы вэаивеиого базиса К' в оиресозносозв ооверяносоеи, используя линейное приближение по Хз, вычисляем следующим образом: щК (~~э + 2Х86л)(хк = (Ь', + Х'6',) р'.
(7.197) Трехмерный метрический тензор Е в окрестности поверхности, имеющий компоненты доь в локальном базисе К.' Э Кд записывается в линейном приближейии следующим образом: Е =К; Э К' = д,у К' Э Кд = Кг Э К~ + п Э п = =(Б~~ — Х 6~~)рэЭ(Б»+Х 6»)р +пЭп= оо рг Э р + Х ( — 6»рэ Э р + Ькрэ Э р ) + п Э п, или, используя определение двумерного метрического тензора Е из п.7.2.3, получим Е = Е+пЭп. (7.198) 7.4.3. Леривационные формулы в окрестности поверхности Рассмотрим вторые производные от радиуса-вектора х точек из окрестности поверхности: дзх дК; дХ'дХ1 дХ1 Подставляя вместо х его выражение (7.187), получим с учетом (7.191) и деривационных формул (7.81) на поверхности: хгэ = — э(рг — Х Ьг рк) = рщ — Х ( — + Ьг ркэ Хз 6» Рк яЬм + + (6гэ — ХзЬгкЬ»э)п, (7.200) Компоненты обратной метричесиой моторины д'~ в окресозностпи поверяносози при сохранении только линейных по Хз слагаемых определяются по формулам: 7.4.
Геомет ии в ок естности нове внести 487 а также при других комбинациях индексов: д хгз = — (рг — Х'57~ рк) = — 57~ рк, дХз дВ.з хзг = — = пг = — Ьг рк хзз = 0 (7 201) дХ7 Формулы (7.200) и (7.201) представляют собой деривационные формувы в окрестности поверхносгпи. Из них при Х = О, очевидно, следуют деривационные формулы Гаусса-Вейнгартена (7.96), если учесть, что Хгг~ = Ргг.
(7.202) 7.4.4. Линии кривизны в качестве криволинейных координат дгг сс О, д'2 = О, Ьгг —— О, (7.203) и собственные направления тензора В совпадают с направлениями координатных линий. Главные кривизны поверхности Ь находим из уравнения (7.142), которое в данном случае имеет вид: ! Ьы — /сады 0 = 0 0 Ь22 Ь д22 а (7.204) Из (7.204) получаем: Ьаа 1 Ьа — = даа Ва (7;205) Введенные по (7.205) величины В называют гловнвьни радиусами кривизны поверхности.
Гауссова и средняя кривизны в данном случае имеют вид: Ьыьгг 1 дггдгг В2Вг (7.206) Часто в механике используют частный случай криволинейных координат Х поверхности, у которых координатные линии Х = сопз$ совпадают с линиями кривизны этой поверхности. Запишем основные соотношения в окрестности поверхности для этого случая. Как было отмечено в п.7.3.7, линии кривизны взаимно ортогонэльны, поэтому координатные линии Хг также будут ортогонвльными.
Тогда метрические матрицы дгг, дгг и вторая квадратичная форма Ьгг являются диагональными: Гневе 7. Геомет ик к ивых и нове ддиоетей еаа 1/1 Н= (Ь„д„+Ь„ды) = — ( — + — ). 2д11дгг 2 (В1 Вг) Введем параметры Ламе Н в окрестности поверхности и А на поверхности: (7.207) Тогда коэффициенты второй квадратичной формы поверхности можно представить в виде: Ьаа Аа/Ва. (7.208) Согласно (7.194) в линейном приближении Н будут иметь вид: н = ~ д -дх д = ддд — — д , (д.ддд) Хз даа Используя (7.207), (7.208), получаем: и =А (1 — — ).
(7.210) Используя свойство (7.203), из (7.90) получаем выражение для ненулевых символов Кристоффеля: 1 дд 1 дА 2д дХ" .4а дХа 1 ддгг Аг дАг Ггг = 2ды дХ' Аг дХ (7.211) 1 дды А1 дА1 Г 2дгг дХг Аг дХг ' дд.. 1 дА. Г = — — = — —, ф)г. 2д дХв А дХЯ ' Запишем уравнение Петерсона-Кодалли, используя форму (7.108): дЬаг дЬаг -1 —, — — + Г гЬ11 — Г Ьдг = О, а = 1,2 (7.212) дХ1 дХг 1 На — Даа— ~дав 1 А =~у ~/д аа 7.4.
Геомет ия в ок естности паве хности 489 и уравнение Гаусса в форме (7.107): < м — — — + Г12Гвг — Г11Гвг умг = — уК (7.213) дГгг дГмы -в -м -1 -м Учитывал (7.203) и заменяя 6 согласно (7.208), а Г~~у согласно (7.211), получаем уравнение Петерсона-Кодацци в виде: Уравнение Гаусса (7.213) после аналогичных преобразований принимает вид: Уравнения (7.214) и (7.215) находят широкое применение в механике. Упражнения к 2 7.4.
Упражнение 7.4.1. убавиться непосредственно, что из (7.212) следует (7.214), а из (7.218) следует (7.215). Упражнение 7.4.2. Показать, что для поверхности вращения ненулевые символы Кристоффеля имеют вид) ~)~О Г1 Гг 22 1+ гх)г) Упражнение 7.4.3. Используя результат упр.7.4.2 и (7.182), показать, что если поверхность вращения - цилиндр (У = сопзг), то геодезическими линиями являются винтовые линии (см.
упр.7.1.9)) х' = ()4, хг = у со84, х = 78(п4. Гневе г. Геомет их х ивых и иове хиостей 490 г 7.б. Уплощенные поверхности в Рз Для произвольной поверхности Е в Гсэ, вообще говоря, нельзя ввести ециные прямоугольные декартовы координаты Х', с помощью которых можно было бы измерить расстояние между точками поверхности по прямолинейным отрезкам, не выходя при этом с поверхности Е. В частном случае, однако, такие поверхности Е существуют — это плоскости в Й~.
На всякой плоскости тензор кривизны ~ге тождественно равен нулю, поскольку на ней всегда можно ввести прямоугольные декартовы координаты Х'г, в которых Ггьз = 0. Обратное же утверждение, вообще говоря, не верно, так как тензор Римана-Кристоффеля ей обращается тождественно в нуль не только для плоскостей, но и для более широкого класса поверхностей, которые обычно называют уплощенными.
е Оцгиднпвнии 7.20. Поверхность Е в ееэ называют уплощенной, если в окрестности каждой ее точки Х существует прямоугольная декартова система координат Хн, в которой метрическая матрица единичнаю доз — — бгз, а расстояние дз между бесконечно близкими точками определяется формой: двг д' дХпдХы (дХл)г+ (дХп)г (7 210) Кроме плоскостей уплощенными являются, например, цилиндрические поверхности: если взять за ЫХ' = з длины дуг вдоль оси цилиндра и в окружном направлении, то действительно получим: дг дг+дг г в каждой точке цилиндра. Тиогимй 7.14. Тензор Римана-Кристоффеля 4Й тождественно е равен нулю на уплощенных поверхностях Е и только на них: (7.217) еХ бЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
