Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Кривая .Сп, построенная таким образом, называется индоноуарисоа Дюпена. Получим ее уравнение. (Х1 + ЫХ1 Х2 + 1)Х2) Нх = руНХ~, (7.169) тогда 1(зз = ох ° е)х = оуудХ~ИХ (7.160) Согласно определению индикатрисы Дюпена это расстояние равно еЬ =,/Ьг„. Тогда имеем: дууНХ~НХ = хгв. (7.161) Причем при г„> 0 следует брать знак " +", а при гв ( 0 — знак "-". Или, переходя х нормальной кривизне й„, получаем й„у„дХ'ЫХ' = +1. (7.162) Это и есть искомое уравнение индикатрисы Дюпена. Поскольку всегда в малой окрестности точки М поверхности выполнено кроме того уравнение (7.140), то из (7.162) получаем еще одну форму записи индикатрисы Дюпена: Ь е(Х дх~ = Ы. (7.163) В главных осях (Х'1, Х'2) тензора В это уравнение будет иметь вид; й (е)Х' ) + й (дх'2) = Ы. (7.164) Отсюда следует, что если точка М является эллиптической, то индикатриса Дюпена есть эллипс, и в правой части следует брать опре- ДЕЛЕННЫЙ ЗНаК (в+" ИЛИ "—" В ЗаВИСИМОСтИ От ЗНаКа Й1).
ЕСЛИ тОЧКа Рис. 7. И. К уравнению инпиквтриеы Дюпе- не Обозначим координаты точки М на поверхности как (Х1,Х ), а координаты точки М' как Расстояние между этими точками оз вычисляем как длину радиуса-вектора е1х, связывающего точ- хиМ иМ'. Гвввв 7. Геонет вк к ввых в вове хвеетей 478 (дар)г = ~ —, Р Ф а. 1 йр' (7.165) Знак в правой части (7.165) в этом случае не меняется для всей кривой и выбирается "+ ", если кр > 0, или " — ", если йр ( О.
Обозначим хк = 1/1г, тогда из (7.165) получим: дХ'Р = Ы. (7.166) Это есть уравнение двух параллельных прямых в окрестности точки М. Во всех трех случаюс точка М является центром симметрии кривой Дюпена. 7.3.7. Линии кривизны Опгеделение 7.16. Линиями кр ив из н ы называютп таакие кривые хг = х(ХггЫ) Хгг(5)) 7 1 2 (7.167) на поверхности Е, направления касательных к которым в каждой таочке совпадают с одним из направлений главкой кривизны.
В (7.167) функции Хг~(С) обозначают криволинейные координаты Х, изменяющиеся вдоль кривой в зависимости от некоторого параметра с и соответствующие 7-ой линии кривизны. Поскольку направления главной кривизны соответствуют направлениям собственных о векторов рг тензора В, то будем иметь два семейства линий кривизны на поверхности, причем эти семейства взаимно ортогональны. Получим дифференциальное уравнение линий кривизны.
Согласно определению этих линий, направление касательной к ним, определяемое вектором дх/дс, пропорционально главному направлению, о задаваемому вектором рг, т.е. дх дХ7 о = 7Р7 дХз д5 (7.168) где 7 - коэффициент пропорциональности. о Разложим векторы трг по локальному базису Рг. ~Р7 = Аг Рз о 7 (7.169) М является гиперболической, то индикатриса Дюпена представляет собой две сопряженные гиперболы. Если точка М - параболическая, то, как было показано в п.7.3.5, для нее хотя бы одна из главных кривизн равна нулю, тогда иэ (7.164) получаем: 7.3. К ивые попове хноети 479 дХ7" — р,=л,р„ д~ (7.170) или дХгг/д( = Лг~. (7.171) Это и есть дифференциальное уравнение двух линий кривизны: 1 = 1, 2.
Их также можно записать в виде: дХг Лг дХг Лг = (7.172) Функции Л можно выразить через коэффициенты первой и второй квадратичных форм. В самом деле, для нахождения собственных веке торов рп тензора В имеем уравнение: ( — й Е) р ='О. (7.173) Или в компонентах, используя (7.169): (ь„— й.д„) л.' = о. (7.174) Независимое уравнение в (7.174) только одно, например: (Ьы — йоУы)Ло + (Ьгг — йодгг) = О. (7.175) Главные кривизны й являются собственными значениями тензора В и определяются из (7.142): (Ьы йпдгг)(Ьгг йоугг) (Ьгг йодгг) = О. (7.176) Выражая из (7.175) й через Л„и подставляя их в (7.176), получим квадратное уравнение для нахождения Л: (дыйгг — УггЬы)Л +(дггйы — дыЬгг)Л +дггЬгг — дггЬгг = О, (7 177) решая которое, находим два значения Лг и Лг через коэффициенты форм дгг и Ьгг.
где Лг~ - некоторая матрица коэффициентов. В силу того, что и рг, и о рг лежат в касательной плоскости к поверхности, разложение (7.169) действительно имеет место. Тогда (7.168) с учетом (7.169) и (7.43) можно представить в виде: Глава 7.
Геомот вв «ввы«в вове «вестой 480 7.8.8. Геодезические линии ОПРЕДЕЛЕНИе 7.17. Геодезическими линиями (или просто геодезическими) называют такие кривые на поверхносгаи Е, у которых в каждой таочке нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности. Уравнение геодезической удобно задать в параметрическом виде (7.126). Получим дифференциальное уравнение геодезической линии. Из определения геодезической следует, что для нее в каждой точке выполняется соотношение: п=м, илн Йп=к. (7.178) Воспользуемся теперь разложением (7.129) для вектора кривизны к кривой по поверхности, тогда (7.178) можно представить в виде: (7.179) Йп = Й„п+ кв.
Поскольку вектор кв ортогонален к п, то из уравнения (7.179) следует, что кво«Йзм=0, Й=Йв, Йв— - О, (7.180) т.е. вектор геодезической кривизны вдоль геодезической линии равен нулю, а кривизна геодезической совпадает со своей нормальной кривизной. Геодезическая кривизна Йв также равна нулю. Подставим теперь в (7.179) вместо к его выражение (7.128): дхг дХз дзХ7 ргз — — + рг = Й„п, дв сЬ двз (7.181) и воспользуемся деривационными формулами (7.81), тогда к "Х дХ' дХз дзХ' Г~гз — — Рк + 878 — — п+ Рз = Й„п.
(7.182) дв дв дв сЬ Ь2 в 2Хк — дХ дХ вЂ” + Г~к~ — — = 0 д82 д8 дв (7.183) — дифференциальное уравнение геодезической линии. Учитывая, что дпя нормальной кривизны Й„имеет место формула (7.137), в которой сЬ2 = дгздХгдХз, получаем окончательно: 7.8. К ввые вв вове ввоетв 481 7.3.9. Асимптотические линии Опрнднлвнин 7.18. Асимптотической линией называют кривую на поверхности Е, нормальная кривизна которой Ьв в каждой точке равна нулю. Направления касательных к асимптотическим линиям называются асимптотическими направлениями поверхности. Из определения следует, что вдоль асимптотической линии согласно (7.137) вторая квадратичная форма равна нулю: Ь АХ АХ =О. (7.184) Отсюда, в частности, получаем дифференциальное уравнение асимп- тотической линии: ИХ1'1 аХ1 Ьы ~ — / + 2Ьгг — + Ьгг = О.
'1,АХ / АХ (7.185) Из определения эллиптических точек поверхности (п.7.3.5, Ь > 0) следует, что в них не может быть действительных решений уравнения (7.185), т.е. асимптотические линии - только мнимые. В гиперболической точке знак квадратичной формы (7.185) меняется, поэтому имеются два различных действительных асимптотических направления. В параболической точке одно направление, в котором Ьв ет 0 и имеется единственное решение уравнения (7.185).
Следовательно, в параболической точке адать одно асимптотическое направление, которое совпадает с направлением касательной к главному нормальному сечению, имеющему нулевую кривизну. 7.3.10. Примеры поверхностей Н Т в срнрс всснслс и До сих пор мы говорили о свойствах поверхностей в окрестности локальной точки. Рассмотрим теперь с помощью введенных характеристик - инвариантов К и Н - примеры описания поверхностей в целом. Если в каждой точке поверхности инвариант Н = О,то такая поверхность называется минимальной.
Для нее, очевидно, главные кривизны равны и имеют разный знак. Свое название минимальная поверхность получила из-за следующего свойства. Пусть имеется некоторая замкнутая кривая в пространстве (контур). Можно бесконечным числом способов построить поверхность в виде односвязной области, край которой был бы ограничен данной кривой, но наименьшей площадью будет обладать именно минимальная поверхность. Поверхность, для которой инвариант К одинаков во всех точках К = сопз1, называется поверхностью постоянной кривизны.
Глава 7. Геомет ия к ивых и паве хностей 452 Упражнения к 2 7,3. Упражнение 7.3.1. Используя (7.142) и (7.154), (7.155), показать, что главные кривизны Ко являются корнями следующего квадратного уравнения: )со — 2Нко + К = О. Упражнение 7.3.2. Показать, что матрица коэффициентов Лу ортонорми- и е рованиых собственных векторов 5эу может быть вычисленас помощью следующей системы уравнений: Л1„/Лг, = Ло, дууЛ1Ло = 1, сг = 1, 2, где Ло определяется из уравнения (7.177).
Упражнение 7.3.3. Показать, что каждая точка минимальной поверхности является либо точкой уцлощения, либо гиперболической точкой. Упражнение 7.3.4. Показать, что для минимальной поверхности и только для нее асимптотические линии образуют ортогональную сетку. Упражнение 7.3.3. Показать, что для сферы и только для нее все точки ловеркности являются омбилическими.
'Упражнение 7.3.6. Доказать, что координатные линии Х = солэ1 явля- Ху— ются линиями кривизны тогда и только тогда, когда ЬэгщО, дгг=О вдоль этих линий. Упражнение 7.3.7. Доказать, что координатные линии тогда и только тогда являются асимптотическими линиями, когда вдоль них Ьгг ма, дэг = О. Упражнение 7.3.8. Показать, что если координатные линии Х = сопзэ являются линиями кривизны, то главные кривизны вычисляются по формуле: ьа — оаа/дал ~ Упражнение 7.3.9.
Показать, что для зллипсоида вращения (см. упр.7.2.7- 7.2.10) главные кривизны вычисляются цо формулам: К1 —— а ас (аг собг Хг + сг 5(пг Хг)5(г Упражнение 7.3.10. Показать, что для эллипсоида вращения (см.упр.7.2.7. 7.2.10) меридианы (кривые Х = сопэг) и параллели (кривые Х = сопзэ) яв- 1 2 ляютса линиями кривизны, главные направления совпадают с касатеээьными к меридиану и параллели, гвуссова кривизна вычисляется следующим образом: К с2/(02 0052 Хг + с2 5)аХг)г 7.4. Геомет ия в ок естности повс хвосту 4бз н все точки поверхности — эллиптические. Упражнение 7.3.11.
Показать, что для поверкности вращения (см. упр.7.2.11-7.2.14) главные кривизны вычисляются следующим образом: ~И г(1 + угг)272 ' 1 )Сг Щ у /1+ юг' в гауссоза кривизна — по формуле: ~л эгг(1+ Уа)г' З 7.4. Геометрия в окрестности поверхности 7.4.1. Определение окрестности поверхности Во многих задачах механики требуется описание физических свойств трехмерного объекта, у которого один из характерных размеров много меньше двух других. Такие трехмерные тела называются оболочками, а математически их удобно рассматривать как окрестность некоторой фиксированной поверхности Е, задаваемой параметрически как и ранее некоторой вектор-функцией, но для которой будем в этом параграфе использовать специальное обозначение: рсз р(Х,Х ), (7.186) где р - трехмерный радиус-вектор точки М, принадлежащей поверхности Е, Х - криволинейные координаты на поверхности.
В компонентной записи (7.186) имеет вид: (7.186') Упражнение 7.3.12. Показать, что для кендой точки (Х, Х ) поверкиос- 1 2 ти вращения справедливы следующие утверждения: ° если 2 ~~(в) ( О, то это эллиптическая точка; ° если у з(я) э О, то зто гиперболичесиая точка; ° если у~~(в) = О, то это параболическая точка. Упражнение 7.3,13. Показать, что если для поверкности вращения уз = 0 зз (конус или цилиндр) в каждой точке, то у нее имеется единственное семейство асимлтотических линий: Х = солз1. Х2 Упражнение 7.3.14. Показать, что у эллипсоидв вращения нет всимптотических пиний. Глава 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
