Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Подставляя полученное соотношение в выражение для 61~2, получаем формулы преобразования при переходе к новой системе координат: ~~( д'к дХ» дхь р1 х рз ~Х дхкдхь дх'1 дх'2 )р1 х рз~ Ь дХк дХь = — — — Ьк . )Ь! дхм дхы (7.79) Согласно введенной в п.1.9.6 классификации, скаляр /д является относительным тензором веса ы = -1, а коэффициенты второй квадратичной формы образуют симметричный псевдотензор второго ранга: В = Ь„р' 8 р' = Ь" р 8 р . (7.80) (7.61), две метрические матрицы дгз и д~з — — р1~ р'„между которыми имеется следующая связь: 7.2.
Паве внести в евину оному ест внстве 459 7.2.10 Леривациониые формулы дрь дп дХЯ вЂ” =рьх, и пз= —. дХЯ Их всегда можно разложить по векторам какого-либо базиса, напри- мер, по сопровождающему трехграннику: Рьх = ГьзРк + 5лп, к пь = сьрх+дьп, 1 (7.81) (7.82) где Гкп бьх, сь и Нь - коэффициенты разложения. Установим вид этих к я коэффициентов.
Умножая (7.81) скалярно на п, в силу ортогональности рь и п получаем: рьх ° п = 5ьх. (7.83) Сравнивал (7.83) с (7.75), находим, что бы - зто коэффициенты второй квадратичной формы: ь„= ь„. (7.84) Умножая (7.81) скалярно на рь, с учетом (7.45) и (7.73) получаем: Рь~ . Рь = ГьДкь = Гьы. к- (7.85) Продифференцируем теперь (7,45): дую~ Рьь ' Ря + Рь ' Ряь = дХь (7.86) Меняя в (7.86) индексы д 44 Ь, получим: дяьь Рь + Рь ' Ряь = —. дХ~ ' (7.87) Если поменять в (7.86) индексы 1 <+ Ь, то дую Ры 'Ря+ Рь ' Рл = дХь (7.88) В каждой точке поверхности Е была определена тройка векторов рп рз, п, которая называется сопровождающим тарезграннином повсряноспси. Леривационные формулы Гаусса-Вейнгартена описывают изменение векторов сопровождающего трехгранника. Рассмотрим зти векторы: Гпввв т.
Гоомот нк к ввык в пове кноотой 460 Учитывая симметрию ртт, из (7.86) - (7.88) и (7.85) получим: 1 ддть дул, ддтз ~ 2 дХз дХт дХь,1 — + — — — = ртз'рь = Гтть (789) — выражение для коэффициентов Гттт,. Если сравнить (7.89) с выражением (6.13) для символов Кристоффеля Гтть, то увидим сходство этих формул с точностью до замены трехмерных индексов на двумерные. Таким образом, коэффициенты Гтзт, (7.89) естественно определить как двумерные символы Кристоффеля первого рода.
Символы второго рода получаются умножением на обратную метрическую матрицу: Гт т — — Гтп,д = -д ( — + — — — ) (7.90) к -ьк 1-ьк /дуть дузь ддтз'1 ( дХз дХт дХь) . Умножая теперь формулу (7.82) скалярно на и, получаем: (7.91) ит ° и = т1т. Но так как и ° и = 1, то (7.92) ит ° а = О, поэтому дт=О. (7.93) Наконец, умножая (7.82) на рк, получаем: ит рк = стдзк. т (7.94) Используя определение (7.72) коэффициентов 6тк, из (7.94) выражаем стт 1: ст — — — д «6кт = — 6тт, (7.95) ртт = Гтзрк+ 6тзи, к ит = — 6т~рт. (7.96) где 6т - смешанные коэффициенты второй квадратичной формы. Подставляя теперь (7.84), (7.93) и (7.95) в (7.81), (7.88), получаем следуюШую теорему.
Твогнма 7.2. Изменение векторов сопровождающего тарехгранника описываетпся следующими соотношениями для производных: 7.2. Пове кноств в евкнндовом н ест внстве ва1 Соотношения (7.96) называют дериваиионными формулами, первая иэ которых была установлена Гауссом, а вторая — Вейнгартеном. Т.2.11. Ковариантное дифференцирование на поверхности Заметим, что в случае трехмерного пространства символы Кристоффеля Г,"- вводились согласно (6.1) как коэффициенты разложения производной дВ.;/дХУ по локальному базису В.;, а формула (6.8) связи Г";. с метрической матрицей дб была установлена в виде следствия. Лля случая двумерной поверхности аналогичное разложение (6.1) не существует; как следует из деривационных формул (7.96), двумерное дифференцирование локальных векторов базиса рт приводит к разложению по трехмерному базису рт,п.
Поэтому за определение двумерных символов Кристоффеля Г~~з более естественно принять формулу (7.90), являющуюся в точности аналогом трехмерного соотношения (6.8), тогда деривационные формулы (7.96) будут их следствием. Это и было проделано в п.7.2.10. Далее с помощью двумерных символов Кристоффеля можно определить ковариакткую производную от компонент вектора на поверхности Е. Опгнднлннии Т.11. Ковариантноб производной на поверхностна ота контравариантных и ковариантаных компонент вектора называюта следующие величины: да з '71а = — + Гтка дХ1 да,т ~7таз = — — Гтзал, (7.97) дХт а от контравариантных и кввариантных компонент тензора вто- рого ранга — следующие: ттт гу т — +г т +г т (7.98) дт хунт„= — г„,т„- г„,т„. Здесь ат и Т вЂ” компоненты вектора и тенэора на поверхности: тз а=игр =а рт, Т=Тгзр чзр =Т рт®рз (799) Аналогично определяются ковариантные производные на поверхности от других компонент. Если в качестве Т взять метрический тензор Е, то будут иметь место важные формулы, являющиеся аналогом формулы Риччи (6.54) в трехмерном случае.
Гаева Т. Геоыет ве «ивы«в вове «костей 4ег ТеОРемА 7.3. Ковариантная производная на поверхности от компонент метрического тензора на поверхности равна кулю: Укдп = О, Чкдп = О, Чкд = 0 (7 100) Доказательство этой теоремы оставим в качестве упр.7.2.3. Дифференцирование векторов и тензоров на поверхности отличается от трехмерного случая. В самом деле, например: да д(аь рь) даь аХк дХк дХк рь + — рь+а (Г~~»рь+ Ьькп) = (Яка )рь+ а Ьгкп, (7101) дХ» т.е. частная производная от вектора а на поверхности уже не является "вектором на поверхности". 7.2.12. Ъ'словия интегрируемости дг аг (7.102) дХздХ» дХ»дХз ' дгп дга дХьдХ» дХ»дХь ' Вычислим эти производные. Дифференцируя (7.96), получаем: д дГь, - дЬп к рп = — крь + Гпрьк+ к а+ Ьппк (7.104) д дЬьз дХк дХк Подставляем сюда выражение для рьк и пк из (7.96), тогда имеем д (' аГмз аХк рп — а, к +ГпГьк — ЬпЬк рм+ / дЬп +~ +Гпь» (,ахк (7.105) Вернемся теперь вновь к деривационным формулам (7.96) и посмотрим на них как на систему дифференциальных уравнений относительно векторов сопровождающего трехгранника рп п.
Очевидно, что эта система будет переопределена: она содержит пять векторных уравнений относительно трех векторных неизвестных, значит ее решение существует не всегда. Поскольку система имеет первый порядок производных относительно рп п, то условием ее интегрируемости будет равенство вторых смешанных производных: 7.К Повн «ности в ев«видовом и ест внстве вез ць = — ~ + Гмкьь ! Рь — Ьььзкп (7 106) Подставляя теперь (7.105), а также формулы (7.105) с заменой индексов 7 <-+ К, в условие интегрируемости (7.102), получаем уравнение, которое должно выполняться при любых рм и и.
Тогда приравнивая коэффициенты при рк и ц нулю, получаем условие интегрируемости (7.102) в виде: дгьз -ь -м дгьк -ь -м м м д к+~мгь — д у -~ькгьз- м . м = ЬьзЬк — Ь|кьз, (7.107) дььз дььк ь — — — +Г Ьь — Г Ьь =О. дХк дХз (7.108) Подставляя (7.106) в (7.103) и приравнивая коэффициенты при рз и и нулю, получаем вторую группу условий интегрируемости: дь~ь дЬк -з м -з м — — — + Гмкьь — Гмььк = О, дХк дХь (7.109) ь,'ь, -ь'ь„=о.
(7.110) Введем обозначение: м л ° = — — +г г - — г г . (7пц м дгьсз дгьк ь м ь м 1«=зскм Р ЭР ЭР Эрм = зсклмр ЭР ЭР ЭР Полностью ковариантные компоненты тензора кривизны Лкзьь вычисляем путем умножения (7.111) на метрическую матрицу: мЛкзьь = Йкм Умь (7.112) С учетом (7.111), (7.112), формулы (7.107) можно представить в виде: Ььзькь — ЬькЬзь = Вкзьь. (7.113) Компоненты Вкм являются компонентами тензора 4Й четверм того ранга на поверхности Е (см.упр.7.2.16), называемого тензором кривизны поверхности или тензором Римана-Кристосрсрела Гпово 7. Гоомот их х ивах и поре хноотой Уравнения (7.108) с учетом определения (7.98) ковариантной произ- водной и симметРии символов КРистоффелЯ Гака — — Гьак можно пРед- ставить в виде: С7 Ь вЂ” С7,Ь =О.
(7.114) Заметим, что (7.113) содержит всего одно тождественно не равное нулю УРавнение. Ььз — ЬыЬзз = П,з, 3 а (7.114) - два таких уравнения: (7.115) 17гьгз — 17зьгг = О, 7 = 1, 2. (7.116) Уравнение (7.115) называется уравнением Гаусса, а (7.116) - уравнениями Пепзерсона-Кодацци. Рассмотрим теперь две оставшиеся группы условий интегрируемости (7.109) и (7.110).
Уравнения (7.110) выполняются всегда, при любых комбинациях индексов, в чем можно убедиться непосредственно, перейдя к ковариантным компонентам: д (ь ь — ь ь )=о. (7.117) дьгм дькм) му Ь /дд ' Гг -ьм'1 ВХ~ дХ',) + "г" (,дХ» " Гмкд,) /дды — Ькь ~ — +Гмгд~~ = О. (7118) '1, дХг Учитывая свойства (7.100) метрической матрицы, выражения в скобках во втором и третьем слагаемых преобразуем следующим образом: о Ы „, -, зм дК» + Гмкд = Гмкд (7.119) тогда (7.118) будет иметь вид: с дьгм дЬкм ь -ь '1 ьм к г + Гмгькь — Гмкьгь) д = 0 (7 120) Сравнивал (7.120) с (7.108), заключаем, что условие интегрируемости (7.120), а значит и (7.109), удовлетворяются, если только выполнены условия (7.108).
Таким образом, условия (7.109) и (7.110) не вносят никаких новых уравнений дополнительно к уравнениям Гаусса и Петерсона-Кодацци (7.115), (7.116), и мы доказали следующую теорему. В уравнениях (7.109) также перейдем к ковариантным компонентам Ьга, произведем диффереНцирование по частям и сгруппируем слага- емые следующим образом: 7.2. Пове «иоети в ев«видовом и оет вистве Теогема 7.4. Иеобходимыми и достаточными условиями интегрируемости деривационных формул (7.96) относительно векторов сопровождающего трехгранника рг, и являются уравнения (7.116) и (7.116).
7.2.13. Основная теорема теории поверхностей Зададимся теперь вопросом о возможности определения самой поверхности по известным функциям первой и второй квадратичных форм. На этот вопрос положительно отвечает следующая основная теорема теории поверхностей. ТЕОРемА 7.5. Пустое заданы дважды непрерывно дифференцируемые функции у„= угз(хз, х') (7.121) и один раз непрерывно дифференцируемые функции: ь„= ь„(х', х'), (7.122) для которых выполнены условия интегрируемости Петерсона-Кодацци (7.116) и Гаусса (7.116), а также условие положительной определенности: угз652 > 0, 52 + 52 Ф 0 (7.123) для всякого ненулевого вектора 62, тогда существует поверхность х = х(Х~,Х ) (7.124) трижды непрерывно дифференцируемая, для которой угз и Ьзз являются коэффициентами первой и второй квадратичной форм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
