Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Эта поверхность определена с точностью до перемещения в пространстве как жесткого целого. и Лля доказательства теоремы воспользуемся результатами п.7.2.12, из которых следует, что если выполнены условия интегрируемости (7.115) и (7.116), то деривационные уравнения (7.96) имеют решение относительно функций рг и и, причем рг обладает симметричной производной: дрг др,2 дхз дхг ' (7.125) Если теперь на (7.43) посмотреть как на систему уравнений относительно функций х(Х, Х ), то опять получим переопределенную систему первого порядка. Ее решение существует, если функции рг, считающиеся известными, удовлетворяют условию (7.125).
Но это условие действительно выполнено, как было отмечено выше, таким образом, существует вектор-функция (7.124), определяющая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. А Глава 7. Геомет на к ивыя и лове кностей 466 Упражнения к 5 7.2. Упражнение 7.2.1. Используя формулы (7дб), (7.45) и (1.50), яоказать соотношение (7.56а). Упражнение 7.2.2. Используя формулу (7.67), показать, что координатные линии на поверкности Е пересекаются лод углом )(: д12 . д 008 )( =, 31П;( = 1/дггдгг ~ д11дгг' Упражнение 7.2.3. Доказать формулы Риччи (7.100) в двумерном случае, используя определения (7.98) и (7.89). 'УПРажнение 7.2.4. Обозначим компоненты объекта Руу в декартовом базисе как дхг дХуд.г( У Показать, что из (7.77) следует формула для коэффициентов второй квадратичной формы; й 1 дуг = — шеейР.уАР2 Л Упражнение 7.2.5.
Показать, что формулу, приведенную в упр.7.2.4 можно представить также в виде: 1 2 3 Руу Руу Руу г з Р1 Р2 Рз 1 оуу= ~ з(1 = Х1 Хг = х2, з з( г,г) Показать, что при этом векторы локального базисе ру имеют вид; дкз Ру = еу+ — ез дху в метрическая матрица вычисляется следующим образом: д з Упражнение 7.2.6. Явным способом задания поверкности называется случай, когда 7.2. Позе хности в евклидовом и ест анстве 887 охпрежнение 7.2.7. Показать, что длм поверхности эллипсоида вращения, задвннойв неявной форме — + — + — =1, а >с, параметрическая форма имеет следующий вид: хя = авзпХ вшХ2, хя = ссовХ . х = асо8Х 81пХ Ъ'ПражНЕНИЕ 7.2.8.
Показать, что для зллипсоидв вращеним (см.упр.7.2П) матрицы коэффициентов локальных базисов р'1 имеют славуюпзий вид; (г — а вш Х1 81п Х2 а соя Х1 вш Х2 0 1 асояХ1совХ2 асовХ1совХ2 — свшХ2 чогпрезинение 7.2.9. показать, что коэффициенты первой квадратичной формы для эллипсоида вращения имеют вид: / Ы Х 0 (руу) = ( 0 а' 'Хз+ С281рвХ2 а обрвтиам метрическая матрица имеет вия: 0 (а2 совя Х2 ф ся 81пз Х2) 1 чогпрезинение 7.2.10. Показать, что коэффициенты второй квадратичной формы для эллипсоида вращения имеют вид: 81п2 Х2 0 ас (Ьуу) = Ъгпражнение 7.2.11, Поверхностпью вращения'называется поверхность, явное задание которой имеет вид: (х) +(х) =у (х), где 1 (х~) - некоторая неотрицательная функция, ось Ох явлается осью врюце- 8 ния. Показать, что в параметрической форме поверхность вращения можно задать следукицим образом: х1 = Х1 хя = У(Х1) сов Х2, хя = ДХ1) вш Хв.
Гнева Т. Геомет ия к ивых и паве «ногтей Упражнение 7.2.12. Показать, что матрица коэффициентов Ру локального базиса дпя поверхности вращения имеет вищ (1 /'соеХг /'езпХг 1 где /' = д//дХ . 'Упражнение 7.2.13. Показать, что метрические матрицы дпя поверхности вращения имеют вид: 1+ /гг 0 1/(1+ Гг) 0 у = (1+ /')/'. Упражнение 7.2.14. Показать, что дпя поверхности вращения коэффициенты Руу имеют вид: (О 0 1 г (/нсозХг — ('е(пХг'1 Б!ПХ / соя Х УпРажнение 7.2.16. Исповьзуя резувьтаты упражнений 7.г.з, 7.гдгг.где, показать, что коэффициенты второй квадратичной формы двя поверхности вращения имеют вид; ггн Ьы ес —, Ьгг сз —, Ьгг = О.
/ /1 1+ /эг /з/~1 + ~~г УнрагКНЕНИЕ 7.2.16. Используя формулу (гцге), показать, что компоненты гзхуус действительно явпяются компонентами тензора четвертого ранга. г 7.3. Кривые на поверхности 7.3.1. Векторы нормальной и геодезической кривизны Пусть имеется некоторая кривая С на поверхности Е, заданная параметрически как функция длины дуги: х = х(Х'(з), Х" (з)).
(7.126) Используем аппарат, разработанный в г 7.1 для описания кривых в пространстве. Дифференцируя (7.126) по я, получим вектор касательной к кривой Е: з(х НХУ с = — = Ру— (7.127) <Ь дя ' дифференцируя еще раз, получим вектор кривизны кривой ь": с(ь аХ аХ пгХ зс = — = Рту — — + Р1 дз дз дз Нег Здесь мы учли (7.43) и (7.74). т.э. К ивые попове «ности Тногнмп 7.6. Вектор кривизны к кривой на поверхностпи всегда можно однозначно представитпь в виде суммы двух ортпогональных векторов, называемых вектором нормальной кривизны к„и вектором г е о д е з и ч е с к о й кривизны кв (рис.
7 1 1) с (7.129) к = к„+ кя, где к„= й„п, кв — — йвп х С, а йв и йв - некотпорые козфутициенты. (7.130) 7.3.2. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности Выражая к через вектор нормали ы к кривой Е, запишем (7.129) в виде: йи = п„п+ хвп х С. (7.130) и Лля доказательства утверж- дения (7.129) достаточно пока- и зать, что все три вектора к, к и и и х С лежат в одной плос- В ! п«С кости, тогда они являются линейно зависимыми, и один из М них действительно можно вы- разить через два другие. Но ! все эти векторы ортогонельны I вектору касательной С: вектор Е нормали и — по определению ортогонален любому вектору из касательной плоскости Еп в том числе к С; вектор к = ИС/дв ортогонапен С согласно (7.14); а и х С ортогонален С в силу свойств векторного произведения.
Тем самым, действительно, векторы и, к и (и х С) лежат в одной плоскости, а значит разложение (7.129) имеет место. а Опгнднлвнив 7.12. Плоскость, содержащую вектор нормали и и вектор касательной С к кривой Е, называют плоскостью нормальногого сечения поверхности. Заметим, что поскольку кривая В на поверхности была выбрана произвольно, то через фиксированную точку М поверхности можно провести сколько угодно таких кривых.
Следовательно, в одной и той же точке М существует бесконечное множество плоскостей нормального сечения, каждая из которых проходит через один и тот же вектор нормали и и различные векторы касательной С. Гпввв 7. Геоиет ик к ивых и иове хиоетей 470 Умножая (7.130) сквлярно на вектор и или (и х с), получим связь кривизны й с й„и йв.' й„= йсовд, (7.131) (7.132) й = йз)пд, сов д = (и ° и), вшд = и ° (и х С), (7.133) где д - угол между соприкасающейся плоскостью кривой С в данной точке и плоскостью нормального сечения. Таким образом, из (7.131) и (7.132) проясняется смысл коэффициентов Й„и Йя.. они характеризуют кривизну кривых, являющихся проекциями кривой,С на плоскость нормального сечения и соприкасающуюся плоскость в данной точке М.
Опгеделение 7.13. Коэффициенты в представлении (7.1дд) называют Ʉ— кривизной нормаль ного сечения или нормальной кривизной, а Йв - геодезической кривизной кривой Е на поверхности (7.131). Радиусом нормальной кривизны г„и геодезической кривизны тв называют обратные к й„и Йг величины: т„= —, тя —— —. 1 1 (7.134) йв Йя Из формул (7.131) и (7.132) следует, что й„и йя, а также г„и т, могут иметь как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от знака сов д и сйп0. Напомним, что кривизна й кривой всегда неотрицательна. Если проекция нормали кривой м на нормаль и к поверхности отрицательна, то сов д ( 0 и радиус нормальной кривизны г„отрицателен.
Формула (7.131) составляет содержание следующей теоремы. ТЕОРЕМА 7.7 (МЕНЬЕ). Нормальная кривизна й„поверхности, коз торрю имеет кривая С на плоскости нормального сечения равна кривизне Й этой кривой, умноженной на косинус угла д. Из этой теоремы также следует, что если провести через данную точку М кривой С плоскость наклонного сечения, проходящую через вектор касательной $ и составляющую некоторый угол сов д' с плоскостью нормального сечения, то кривизна й' наклонного сечения будет связана с Й„формулой: й„= й'сов д'.
(7.135) Получим еще одну формулу для нормальной кривизны й„. Подставляя (7.133) и (7.128) в (7.131): ас дХ7 дХз Й„= йи и ех — ° и ое рзэ ° и — —, (7.136) дв дз дв ' 7.3. К ввые вв лове хвосту 471 а затем выражая ргз и согласно (7.75) через Ьгз, а двг согласно (7.61) через дгз, получим: Ь~дХ'дхз д„дХ1дх' (7.137) Таким образом, пришли к следующему утверждению. Твогема 7.8. кривизна Ье нормального сечения поверхности Е в точке (Х1,Х ), плоскость которого проходит через бесконечно близкую точку отпой поверхности с координатами (Х1+ дх1, Хг + дХ ), равна отношению второй и первой квадратичной форм, построенных на прира1цениях координат дх Очевидно, что меняя направление касательной в данной точке (Х1,Х ) (т.е. меняя значение дх ), получаем различные значения ь„.
Обозначая вторую квадратичную форму как дг47 = ь их дх7, (7.138) формулу (7.137) можно записать в виде: Ь„= дгу/двг. Можно также представить (7.137) следующим образом: (7.139) (܄— Ь„Р„)дХ'дХ' = 0. (7.140) 7.3.3. Главные кривизны поверхности г в = ь р' э р' = 'Я ь.р. 8 р., (7.141) он1 причем )рг) = 1. Таким образом, в каждой точке поверхности М существует бесконечно много нормальных кривизн Ьв, но оказывается среди них существуют две преимущественные кривизны.
Для их установления рассмотрим тензор второй квадратичной формы В (7.80) с коэффициентами Ьгз. Так как В является симметричным тензором второго ранга и определен на поверхности (т.е. в двумерном пространстве), то согласно г 1.6 у него имеется два действительных собственных значения Ь1 и Ьг и собственный базис из двух взаимно-ортонормированных е векторов р1, т.е. В можно представить в диагональном виде: Гпввв 7. Геомет ия к ивык и паве хноетей 472 Определение 7.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
