Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Направления, касательнылои к которыле яво ляются векторы рг, называют г л а в н ы ле и. Если известны коэффициенты квадратичных форм Ьгз и дгз в каком-либо базисе Р, то собственные значения й тензора В находим 1 из характеристического уравнения: бе$( — й Е)=0, (7.142) или 11ез (Ьгз — й дш) = О, а = 1, 2; или в матричной записи Ь11 йад11 Ь12 йа912 Ь12 йад12 Ь22 йад22 (7.142') Ф о локальный базис которой рг совпадает с РР В этом локальном базисе о в силу ортонормированности рг метрическая матрица дгз оказывается единичной: о о Е = дгзР1 Э Рз -р о о 912 =Р7'Рз =Рг'Рг =вгз~ (7.144) базис р также совпадает с рг, а вторая квадратичная форма Ьгз со- 7 о гласно (7.141) является диагональной: ь' =й, ь' =о.
(7.145) Выберем также в качестве бесконечно близкой к М точку М1 с ко- ординатами (Х1'+ ЫХ1',Хз'). Тогда подставляя (7.142) и (7.145) в (7.137), получаем, что кривизна нормального сечения, проходящего через точки М и М1, вычисляется по формуле: (ц Ь'„(е)Х1 )2 й К (зх1 )2 й1' (7.14б) Выбирая нормальное сечение, проходящее через точки М и Мз с ко- ординатами (Х1', Хз'+ е1Х~'), совершенно аналогично получим, что (7.147) Таким образом> доказана теорема. Выберем теперь в точке М новую локальную систему координат Х~'.
Хл = Хп(Хз), (7.143) 7.3. К нвые нв нове хностн Творима 7.9. Лва собственных значения Йг тензора второй квадратичной формы В представляют собой кривизны двух нормальных сечений, плоскости которых проходят через бесконечно о близкие точки М1 и Мз, лежащие на собставенных направлениях р7 тензора В (или, иначе говоря, через векторы касательной ь, совпа- в дающие с рг).
Опридилинин 7.15. Собственные значение Йг тензора В Йз и Йз называют главными кривизнами поверки о стаи. Плоскости нормальных сечений, соответствующие главным кривизнам Йг, т.е. проходящим через точки М, МгиМ, Мз, называют главными нормальными сечениями Ег. Выберем теперь нормальное сечение Е', проходящее через бесконечно близкую к М точку М' с координатами м и зР 2/ Рис. 7.19. норывпьные сечения поверх- (Х + аХ ~ Х + аХ )1 ности тогда кривизна Й~ этого нормального сечения согласно (7.137) будет иметь вид: Ь„(йх',)з+ Ь;,(дХ")з Уз„(дХ ) +ббюз (дХ")' Так как метрическая матрица ддд - единична, то вводя угол а между главным нормальным сечением Е1 и сечением Е' (рис.7.12), формулу (7.148) можно записать в виде: Й„= Йзсов а+Йзв1п а, (7.149) где НХы лХ7~ сова = вша = (7.150) ,Лзх "рт(ях~)",/~~»' )'.~ ах*7 ' Таким образом, мы пришли к следующей теореме. Глава 7.
Ге»нет ик к кеык к поье »»остей 474 ТеОРемА 7.10. Кривизна й„произвольного нормального сечения поверхности связана с главными кривизнами поверхности по формуле (7.ЦУ), которую называютп формулой Эйлера. Теогема 7.11. В направленивх главных кривизн кривизна нормального сечения поверхности й„принимает экстпремальные (максимальное и минимальное) значения, равные й1 и йг. 7 В самом деле, пусть для определенности йг ) йг. Рассмотрим й„ как функцию угла а, тогда из формулы Эйлера следует: й„(а) = (йг — йг) совг а+ йг.
(7.151) Отсюда следует, что Ча йг = й» Ы ~~ й»(а) ~ й„(0) = йг, 12/ это и доказывает утверждение. А 7.3.4. Гауссова и средняя кривизны Тенэор второй квадратичной формы В, как всякий двумерный симметричный тензор второго ранга, имеет два независимых инварианта относительно группы преобразований координат, порождаемой (7.143). В качестве этих инвариантов могут быть выбраны главные кривизны йг.
Важную роль играют два других инварианта тензора В: Н(В) = -В ° .Е, (7.152) К(В) = йег (В) = с1еь (Ь|з). е Записывая эти инварианты в собственном базисе рг тенэора В, получим иэ (7.141), (7.144): 2 2 Н = — ~ й (р ® р ) ~~~ (рр З рр) = й1+ йг, (7.153) »=1 Р=г К = ае1 ('~, й р Е р = й,йг. Таким образом, доказано следующее утверждение. 7.3. К ивые нв лове хноети ТЕОРЕМА 7.12. Инварианта Н тпензора второй квадратличной формы В естпь полусумма главных кривизн, и поэтпому называелтся средней кривизной поверхностпи, а инварианта К(В) - естпь проэведение главных кривизн, и называется полной или гауссов ой кривизной. Записывал зти инварианты через компоненты тензоров в произвольной системе координат Х ,получаем: -тз 1 т Н = -Ьтэд = -Ьт = =(Ьыдгг + Ьзгды — 25зздтз), 2 2 2д К = йе1 (Ьткдкэ) = — т)е1 (Ьтк) = —, -кз д д' (7.154) где Ь = де1 (Ьтк) = ЬыЬзг — Ьзз.
(7.155) Вспомним теперь, что согласно уравнению Гаусса (7.115) Ь выражается через компоненту тензора кривизны Лтзтэ, тогда (7.154) можно записать в виде: пзззз/д (7.156) Из формулы (7.156) следует теорема. ТеОРемА 7.13 (ОснОВнАЯ теОРемА ГАУссА (ТнеонемА ЕОН- ептпм)), Гауссова кривизна поверхности К зависит таолько ота коэффициентпов первой квадратпичной формы поверхностпи дтз и их первых и втпорых производных. т Действительно, так как Лззтз согласно (7.111) выражается только через Гтз и их производные, а символы Кристоффеля, в свою очередь, м только через дтэ и их производные, то из (7.156) вытекает утверждение теоремы. А Из основной теоремы Гаусса следует, что кривизна К поверхности может быть определена только по измерениям на поверхности без выхода в окружающее пространство йз. 7.3.5.
Классификация точек поверхности Зафиксируем теперь какую-либо точку М с координатами (Хт, Хз) на поверхности В и возьмем произвольную бесконечно близкую к ней точку М' с координатами (Хт + дХ', Хз + ЫХз), соединенную с М некоторой кривой ь. Кривизна нормального сечения Ьв, плоскость которого проходит через нормаль к поверхности в точке М и точку М', вычисляется по формуле (7.137). Нас будет интересовать вопрос о значениях Ь„, если кривую С выпускать из точки М во всех возможных направлениях. Гпввв 7.
Геомет ие к ивых и иове хиоетей 47б Поскольку в знаменателе (7.137) стоит квадрат длины дуги кривой т1эг, то он всегда положителен, и знак йв опРеделЯетси знаком числителя. В числителе же стоит вторая квадратичная форма: бг,. = 6„(«д, «г)б«'б»' (7.157) которал при фиксированных значениях Х и переменных т1» представляет собой алгебраическую поверхность второго порядка (тензорную поверхность Коши) в пространстве (о«~, тд« ). Вид этой поверхности зависит от детерминанта: бед (Ьт т) = Ь = ЬддЬгг — Ьгдг.
(7.158) 7.3.6. Индмкатриса Дюпена Рассмотрим произвольную точку М поверхности Е и построим касательную плоскость Ет в этой точке. В касательной плоскости Ет в малой окрестности точки М построим вспомогательную кривую ьр (рис.7.13) следующим образом: расстояние от точки М до любой точки М' на кривой Ср равно дЯг„, где и„- радиус кривизны нормального сечения, плоскость которого проходит через точку М и точку Если 6 > О, то знак этой формы при любых значениях Ы«д всегда одинаков, следовательно, кривизна йв любого нормального сечения имеет один и тот же знак.
Такая точка М поверхности называется эллиппдичесиотв Если 6 < О, то знак формы (7.157) меняется при произвольных значениях Н«~, следовательно, в данной точке М имеются нормальные сечения с противоположными значениями кривизны Ь„. Такая точка М называется гиперболичесиодд. Если 6 = О, то форма (7.157) представляет собой полный квадрат и, следовательно, йв не меняет знака для всех т1», т.е.
при произд вольных нормальных сечениях. Однако имеется одно положение нормального сечения, при котором йв обращается в нуль. Такая точка М поверхности называется параболической. Если Ьдг = О,то кривизна й„ для всех НХ равна нулю, и поверхность в окрестности точки М представляет собой плоскость. Такал точка М называется точкой иплоидеиия. Точка поверхности, в которой нормальные кривизны йв одинаковы для всех нормальных сечений, называется омбилическоб (или точкой закругления). Для омбилической точки главные кривизны совпадают Ьд = Ьг. Поскольку д > О, то согласно (7.154) знак 6 полностью определяет знак гауссовой кривизны К, следовательно: ° в эллиптической точке: К > 0; ° в гиперболической точке: К < 0; ° в параболической точке: К = О. 7.2. К ивые нв паве хнаети 477 М'. Знак (х) выбираем так, чтобы под радикалом была положительная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
