Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ОПРЕдЕПЕНИЕ 7.7. Тенэорным касатпельным пространстпв ом Т„(Ст(в)) называют тензорное произведение линейного (г) пространства ьт(к) на себят Т„(ьт(к)) = ьт(х) З ьт(к)~ х ч Е. (г) Переходя от одной точки х поверхности Е к другой х', получаем различные тензорные касательные пространства. Определение 7.7 корректно, поскольку операция тензорного произведения вводится согласно определению 2.25 как фактор-пространство и-ой степени (здесь и = 2) декартова квадрата пространств: Ет(„)ЭГт(„) = [(ьт(„) хСт(к))г) по отношению к введенной в определении 2.24 эквивалентности.
А согласно теореме 2.29, Т„(Ет(„)) действительно является линейным (г) пространством, причем т)(щ Т„ = 4. (г) и' Гпввв 7. Ге»нет ик к ивык и иове хиоетей 452 Базисные диады в 7» (Сц„)) введем аналогично (2.118): тг) рз Э рк = (рт(д зрк)] или явным образом: р, Э р„= (р,р,рО], р, Э р, = (ргргргО], Рг Э Рг — — (Ргбргрг], Рг Э Рг — — (ргбргрг]. Определение 7.8. Тензорами второго ранга на поверхности А(х) называютп злементпы тпензорных касатпельных простпранств 7» (Ст~х)), определенных для кагкдоп точки х поверхности тг) Е.
Согласно теореме 2.28а, всякий тензор А на поверхности можно в данной точке М представить разложением по диадному базису: А = Аг2Рт Э Рз. Аналогично вводят тензоры высших рангов. В силу положительной определенности дтз, все касательные пространства Ст)х) будут евклидовыми, тогда, согласно п.2.5.9, сопряженные пространства С;<„) совпадают с Ст)„), и для тензоров на поверхности А(х) в каждой точке х Е Е кроме операций сложения, умножения на число и транспонирования определены операции скалярного умножения и поднятия-опускания индексов с помощью матриц дтз и д -тз Также как и для трехмерного евклидова пространства с помощью векторов локального базиса рт и рт можно определить различные диадные базисы: РтЭРз р Эрз, р Эр, 1,дхе1,2, с помощью которых тензор на поверхности А можно представить в виде: А=А"ргэрз=Атз 'Эр'=Атзртэр'.
Тензоры на поверхности представляют собой инвариантные объекты, не меняющиеся при переходе из одной криволинейной системы координат Х в другую Х~т. Правило преобразования компонент векторов локальных базисов и тензоров при переходе из Х в Хл также сохраняется: (7.51) 7.1. Пове «ности в евклндовом л оет внетве 413 Мепгрическиб пгензор на позер«настал Е определяют по аналогии с Е: Е =дгур ЗР =дууру Эру = Р Зру.
Заметим, что хотя локальные базисы ру, ру и метрические матрицы дуу, дгг формально введены по аналогии с В.;, В.', д;, дгй - трехмерными объектами, но, вообще говоря, их соответствующие компоненты различны, так как поверхностные объекты определены для функций (7.40) специального вида. 7.2,4. Касательные плоскости и вектор нормали Получим уравнение касательной плоскости Е1 в точке Мо с координатами х'. Выберем произвольную точку М с координатами х', лежащую в касательной плоскости Ее к точке Мо (рис.7.7), тогда три вектора х— хо, рг и Рг лежат в одной плоскости Ее. Определитель, составленный из компонент этих векторов, будет равен нулю (см. теорему 2.10): хо з з ,з з (7.52) =0 или в векторном виде (х — хо) х рг . Рг = О.
(7.53) А1(х1 — хо1) + Аг(хг хог)+ + Аз(хз хоз) 0 (7 54) где г 3 3 г А1 — — ргрг — Ргрг, Рис. 7.7. К выводу уравнения квевтельной ллоекоетн Аг — — -(рггрзг рзгргг) Аз = рггрг рггрг. (7.55) В уравнении (7.54) хо - фиксированы, а хг - переменные. Нормалью к поеерхноспги Е называется прямая, проходящая через точку М поверхности и ортогональная к касательной плоскости Ее ,1 1 хо Р1 Рг 1 г г о Р1 ,г Разрешая (7.52) относительно ко- ординат х', получим уравнение плоскости Е1, касательной в точ- ке х~р.
Главе 7. Геомет ив к ивмки иове киоетей 454 поверхности в этой точке М. Очевидно, что единичный еектиор нормали и ортогонален векторам рГ; определим его как 1 и= — рз х рз. (7.56) ~4 Используя определение (1.33) векторного произведения, можно показать (см. упр. 8.2.1), что формула (7.56) эквивалентна следующей: Рз х аз )р1 х рз( (7.56 а) откуда вытекает, что вектор и действительно единичный: и ° и = 1.
Если зафиксировать точку Мо на поверхности Е, то уравнение нормали, проходящей через эту точку Мо и содержащей вектор по, будет иметь вид: х — хо = (по (7.57) или *' — хо = ало. (7.58) Здесь х~о и в~о - фиксированы, х' - переменные, а С - переменный параметр. 7.2.5, Первая квадратичная форма поверхности Рассмотрим кривую Е на поверхности Е. Уравнение этой кривой можно записать в параметрическом виде: Х' = Х'(() еЬ = )Их! = Их ° Их. (7.60) Подставляя (7.59) в (7.60) для квадрата дифференциала длины дуги Ызз, получим оэ = ргя6ХгбХУ (7.61) в криволинейных координатах Х' поверхности, или в декартовых координатах: х = х(Х1К),хзК)). Возьмем две близкие точки М и М' с радиусами-векторами х и х', лежащие на этой кривой С (рис.7.8).
Эти две точки связаны вектором 0х = х' — х. Переходя к пределу, получим элементарный радиус- вектор бх, связывающий две бесконечно близкие точки М и М' поверхности. Согласно (7.40) и (7.43) для Нх имеем выражение: с(х = ргЫХг. (7.59) Янина элементарного радиуса-вектора есть дифференциал длины дуги сЬ кривой ь': Т.з. Позе хвосту в евклидовом и ест анствс 455 Рис.
7.8. К определению элементарного радиуса-вектора, свхзывающего две близкие точки поверхности Рис. 7.9. К определению элементарной площадки поверхности Определение 7.9. Квадратичную форму (7.61) называют первой квадратичной формой поверяносгли, а ууз — коэффиц и е н гп а м и первой квадратичной формы. 7.2.6.
Элементарная площадка поверхности (здесь суммирования по сх нет). В предельном переходе описанная малы площадка превращается в параллелограмм, площадь которого ЫЕ, согласно (1.61), вычислим по формуле: пИЕ = с(хз х Ихз. (7.63) Вычислим длину векторов, стоящих справа и слева в (7.63), учитывая формулы (7.62), (7.66), а также тот факт, что ~п~ = 1. В итоге получим ИЕ = ~рг х рз)1Х~аХ = ЯИХ~дХ (7.64) — выражение для элементарной площадки поверхности. Рассмотрим на поверхности Е в окрестности точки М малую площадку, ограниченную двумя парами близких координатных линий ХУ (рис.7.9). Переходя к пределу, получим, что пары точек М, Мз и М, Мз соединены элементарными радиусами-векторами дхг и Нхз, причем Их =р ИХ, се=1,2 (7.62) Глава Х Геомет их к иных и позе хноетей 7.2.7. Угол между двумя кривыми на поверхности Пусть на поверхности Е имеются две кривые, пересекающиеся в точке М и заданные параметрически: (Х (5),Х (5)), = (Х'~(5),Х'~(5)) .
(7.65) Тогда элементарные радиусы-векторы, выпущенные из точки М вдоль этих кривых, согласно (7.58) имеют вид: с(х = ргЫХ~, Ых' = рр(Х' . (7.66) Косинус угла г между векторами Нх и нх' находим, используя ска- лярное произведение векторов: соз г— Ых Ых' д„дХ'дХ" (Нх0е(х'( (дкьйХкс)Хь)Цг(дммдХ'мдХв)цг' (7.67) ЫХ~ НХ" созХ = дгз— Нз Ыз (7.68) 7.2.8. Вторая квадратичная форма поверхности Лля двух близких точек поверхности М и М', связанных радиусом- вектором гах, рассмотрим векторы нормали и и й (рис.
7.10) и определим элементарный вектор нормали е(п как предельное положение разности нормалей: лгг ЬП хх П вЂ” П. Подобно (7.59) для элементарного вектора нормали имеем: Нп = пгс(Х, (7.69) Рис. 7.10. К опрелелению элементарного, вектора нормали где обозначены производные вектора нормали: дп пг = —. дХг (7.70) Если в качестве параметра ( в (7.65) выбрать длину дуги,то выра- жение (7.67) с учетом (7.11) можно упростить: г.г. Паве «ности в ее«видовом и ест внстве Составим теперь скалярное произведение дп и дх, с учетом (7.59) н (7.69) имеем: — Ых ° Ып = 6гздХ~ЫХ .
(7.71) 3десь введено обозначение для скалярного произведения: 6гз = — рг пз. (7.72) ОПРЕДЕЛеНИе 7.10. Выражение (771) называют второй квадратичной формой поверхности, а 6гз - коэффициентами второй квадратичной формы. Представим выражение (7.72) для 6гз в несколько ином виде. Вспомним, что векторы рп определенные в некоторой точке М, направлены по касательным к кривым на поверхности Е, совпадающим с координатными линиями Х = сопэ1. Тогда рг будут ортогональны вектору нормали и, выпущенному из той же точки, т.е. (7.73) рг ° и = О. Обозначим вторую производную от радиуса-вектора как дрг д'х дХз дХгдХз (7.74) Тогда дифференцируя (7.73) по Хз, получим (7.75) ры ° и = — рг ° пз = 6ы или с учетом (7.74): д'х дХг дХз (7.76) Из этого выражения, очевидно, следует симметричность коэффициентов второй квадратичной формы поверхности 6лп Подставим в (7.75) вместо и его определение (7.56), тогда выражение для коэффициентов 6гз примет вид: 1 6гз = — ссргз рг к рг.
т/У (7,77) 7.2.9. Псевдотензоры на поверхности Рассмотрим теперь кроме координат Х' на поверхности Е еще одни криволинейные координаты Х". Тогда в каждой точке М поверхности мы имеем два локальных базиса рг и р', связанных соотношением Глава Т. Геомет ие к ивык и вове «костей 45в дХк дх~ дх'1 дх'2 и два набора коэффициентов второй квадратичной формы: д х р1 х рз дх1дхз (р1 х рз(' Ь дхмдхм )р' х р') (7.78) Вычисляя по этим формулам детерминанты д и д', находим: 1 /дх"'~ ~/д' = — ~/д, где Ь = ЙеФ ) ) . Векторное произведение р1 х рз преобразуем с учетом определений (1.33) и (7.44): л „„дх' дяз „дХ' дХ~ дХ1 дХ" 1 = 121 Х РУ вЂ” 1 — 2 — — 191 Х Р2. Здесь учтено, что р х р = 0 (а = 1,2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
