Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 68
Текст из файла (страница 68)
упр.1.2.6) получим: т=В (Схк).—. Йк 41 в (7.25) Подставляя вместо С и к ик выражения (7.10), (7.12) через радиусы- векторы к, имеем (7.26) то дифференцируя соотношение Ь Ь = 1, получим аналогично (7.13) и (7.14), что Ь ортогонален ЫЬ/с(з = т. Таким образом, т ортогонален Ь и С, следовательно, коллинеарен вектору нормали ьч тд. К ивые в евкнивовоми оет внетве 445 3аметим, что смешанное произведение в (7.26) представляет собой объем параллелепипеда, построенного на векторах — „",, з,т и з,т, поэтому (7.26) можно представить в виде: (7.26') т=В «)ев 7.1.6. Формулы Френе Формулы Френе-Серре позволяют выразить производные от векторов сопровождающего трехгранника через сами векторы Ф, Ь и и. Из (7.12) и (7.17) следует первая формула Френе-Серре: (7.27) Из (7.19) и (7.22) вытекает вторая формула Френе: (7.28) — = — ти.
«)з Дифференцируя первую формулу (7.18') с учетом (7.27) и (7.28), получаем: ««и — = — Йи х Ъ+те х и. (7.29) «Ь Еще раэ используя формулы (7.18) и (7.18'), получаем третью формулу Френе-Серре: Й~ — = — асс+ тЬ. (7.30) «)з На формулы Френе-Серре (7.27), (7.28), (7.30) можно смотреть как на дифференциальные уравнения относительно векторов Ф, и и Ь, тогда если известны две функции Й=й(з), т=т(з), во<в<вы (7.31) то с помощью формул Френе-Серре можно полностью определить кривую б с точностью до положения в пространстве. Такой способ задания кривой Е называют естеставенныв«.
7 1.7. Механический смысл формул Френе Рассмотрим движение по кривой б от точки з = зо. Если при движении длину дуги в трактовать как ивремя", то величины (««к/««в), (««Ъ/««в) и (Ыи/«1з) - есть "скорости" изменения векторов сопровождающего трехгранника. Главе 7. Геомет их к ивмх и нове хносеей 446 Согласно первой формуле Френе (7.27) за малое "время" Аз изменение вектора к на величину А4 = ймлз происходит в направлении нормали и.
Кроме того, вектор ЬЕ, представ- ляющий собой разность схс = Е(з + скз) — е(з), пересекает касательную с направляющим вектором з(з). Отсюда следуРис. 7.4'. К оноелелению мехе- ет, что ЬЕ лежит в соприкасающейся ническосо сммсле формул Френк плоскости, содержащей векторы м и С(з) и ортогональной вектору бинормали Ь (рис.7.4). Иначе говоря, в течение малого "времени" лз изменение вектора касательной 4 происходит путем вращения в спрямляющей плоскости, т.е.
вокруг оси бинормвли Ь(з), называемой мгновенным положением бинормали. Абсолютны угловая скорость этого вращения ~(~й/бз)~ согласно (7.27) равна кривизне: ! — (= й. ос с(з (7.32) Совершенно аналогично из второй формулы Френе (7.28) можно показать, что бинормаль Ь в течение малого "времени" сзв вращается вокруг мгновенного положения касательной С(з) с угловой скоростью равной кручению т: дЬ ( — ! = т. бз (7.33) Так как сопутствующий трехгранник движется как жесткое целое вдоль кривой Ю, а оси бинормзли и касательной при этом испытывают мгновенное вращение с угловыми скоростями т и Й, то в целом трехгранник вращается с суммарной угловой скоростью !ю~ = Гту+ йз (7.34) вокруг оси, направление которой определяется вектором Дарбу (7.35) ш = тй+ кЬ.
7Л. К ивые в евкпидовом п оет анетве 447 7.1.8. Уравнения касательной, нормали и бинормали Если зафиксировать точку Мо с координатами х' = хо на кривой С, то уравнение касательной к кривой, проходящей через эту точку Мо и содержащую вектор касательной в этой точке Фо, будет иметь вид (см. рис.7.6): х — хо = (и (7.38) и бинормзли (7. 39) х — хо — — сЪ к кривой ь" в точке Мо. Упражнения к 2 7.1.
Упражнение 7.1.1. Разпожим векторы еопровождающего трекгрвнника с, зз и Ь по векторам неподвижного декартова базиса Йп Ь=й;е;. кщ(;е;, им р;е;, Показать, что дпя деквртовык компонент (о Рз и е; имеют место выражения через компоненты радиуса-вектора: ох' ч г(з 1 Нзз! — 1 г(х3 82ху 3 ): ~-'' йб' Ь Ьз' Упражнение 7.1.2. Показать, что из фармуп Френе (7.27), (7.28) и (7.30) следуют уравнения дпя координат векторов сопровождающего трекгранника: Рис. 7.5. К выводу уравнения каеатепьной к кривой .С х — хо = ~со (7 36) или в декартовых координатах х' — хо = 4Ро (7 37) Здесь хо, $~ фиксированы для точки Мо, х' - переменные, а ( - переменный параметр.
Совершенно аналогично запи- сываются уравнения нормали Глава 7. Реомет ия к ивык и позе «ноетей 445 'Упражнение 7.1.3. Используя формулы Френе из упр.7.1.1, доказать, что вели вдоль кривой С кривизна 6 = О, то зта кривая С суть прямая линия. 'Упражнение 7.1.4. Используя упр.7.1.1, доказать, что если вдоль кривой Е кручение 7 = О, то зта кривая 1. суть плоская кривая. 'Упрежнение 7.1.5.
Показать, что из (7.2) выражение для параметра Ив/1(~ имеет вид: з(в/зЦ = )х), Упр 7.1.7. Показать, что выражение для Й, представленное в упр.7.1.5, может быть также записано следующим образом: )Х()Х) — (Х Х) ( (в Упражнение 7.1.8.
Используя результаты упр.7.1.5 и 7.1.5, показать, что если кривая 1. задана в виде (7.1), то из (7.25) можно получить следующее выражение для кручения: ХХХ Х )х х х)2 Упражнение 7.1.9. показать, что для кривой Е, представляющей собой впнтаоеую линию, для которой уравнения (7.1) имеют вид: е~ щ авзпС, яв щ ЬС, а > 0 и = асов(, (еели 6 > О, зто правая винтовая линия; еояи 6 < 0 — левая), длина дуги з пропорциональна С: з — ~~/а2 + 62 Упражнение 7.1.10.
Показать, что для винтовой линии кривизна 6 и кру- чение Т поотояины и равны: Ь 22 ).62' Ьщ аг+ 62' УПР 7.1.П. Показать, что из (7.9) и (7.27) следует формула: г х = вг+ — зз В называемая формулой разложения ускорения движущейся точки на тангенлиал~ ную и нормальную еоставляющую. где х = дж/з(ьг. 'Упражнение 7.1.6. Иглользуя результат упр.7.1.5, показать, что если кривая ь'. задана в виде (7.1), то из (7.1б) н (7.15) следует такое выражение для кривизны й: й = )х х х)/)х)~.
7.2. Паве кирсти в евклидовом и ест анстве 449 Упражнение 7.1.12. Локвзатьа что если три вектора а, Ь и с лежат в одной плоскости (ортогональной некоторому вектору 1/), то а х Ь ° с = О. Показатсн что это выражение эквивалентно следующему: 111 112 сгз веь Ь' Ьг Ьз = 0 1 с2 сэ 3 7.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 7.2.1. Способы задания поверхностей Опгвдвлвнив 7.5. Пусть и — открытая область в двумерном пространставе Рсз, тогда пов ерхноспзь ю Е в трехмерном пространстве 312 называют отображение Е: ю — + йз, которое эадается с помощью вектор-функции (7.40) х = х(Х,Х ), (Х,Х ) к ю С Й или с помощью тарех числовых функций хр = хр(Х',Х ), з' = 1,2,3, (7.41) зависящих от двух аргументов Х1 и Хг.
Эти Х1, Хг представляют собой криволинейные координаты на поверхности Е. Соотношении (7.40) или (7.41) выражают параметрический способ задания поверхности. Три функции (7.41) предполагаются однозначными, непрерывными и имеющими непрерывные производные до второго порядка в некоторой области изменения аргументов Ху, 1 = 1, 2. Здесь и далее в этой главе заглавные латинские буквы в индексе пробегают значения от 1 до 2: 7, д, К, 5 = 1, 2, а малые латинские— как обычно от 1 до 3: з, у, Ь,1 = 1, 2, 3. Поверхность Е можно задать также неявным способом с помощью одной функции трех аргументов - координат х'5 (7.42) Ф(х') = О.
Если подставить функции (7.41) в (7.42), то получим тождество. Н уснюрнсс нс ~нонсенс Глава 7. Геомет нв к нных н паве хностей 450 7.2.2. Локальные векторы базиса и метрическак матрица на поверхности рг = дх/дХ~. (7.43) Эти векторы направлены по ка- сательной к координатным лини- ям Х = сопе1 поверхности Е. Компоненты локальных векто- ров рг в декартовом базисе е; обозначим как р~. рг = рг~ем (7.44) Введем метрическую матрицу поверхности: Рис. 7.б.
Поверхность в трехмерном евклнновом пространстве дгг = рг рг, (7.45) которая имеет размер 2 х 2. Определитель метрической матрицы дгг отличен от нуля: у = йе5 (угг) = уыугг — угг 74 О (7.46) полагаем, что дп > О, дгг > О, дыдгг — дгг > О. .Пля дг,у существует обратная метрическая матрица поверхности д с компонентами: -ы дгг У д гг Уы гг У ==~ У У Йг У (7.47) причем д' дгк =б'к Здесь бгк - двумерный символ Кронекера: (7.48) Г О, 1хеК, бк=~ е 1 1 Ф К (7.49) Подобно тому как в гл.1 вводились локальные векторы базиса К; для пространства Й, введем два локальных вектора базиса рг на з поверхности: Т.г.
Пове хвоств в евквкяовом и осе ввстве 4Ы Векторы взаимного локального базиса поверхностпи рт введем спедующим образом: т -тз (7.50) 7.2.3. Тензоры на поверхности ОПРЕЕЕЛЕНИЕ 7.6. Плоскость Ет, содержащую вектпоры рт, определенные для точки Мо поверхности Е, называют к а с атпель н ой ало с кос таь ю к поверхности Е в таочке Мо. Рассмотрим вектор а = а'е;, который лежит в касательной плоскости Ет, в данной точке Мо.
Тогда его можно разложить по базису Рт' а = а'Рт ТеОРемА 7.1. Множестпво всех вектпоров а = а'е;, лежащих в касатпельной плоскостпи Е„ в утиксированной тпочке Мс поверхности Е с радиусом-вектором х образует линейное пространство бт(„). Это пространство называют также касательным линейным пространством. у Пействитепьно, сумма двух векторов а и Ъ из касательной плоскости Ет всегда может быть представлена в виде а+ Ь = (ат + 5~)рт = с рт Е Ет, произведение вещественного числа Л на а также образует вектор Ла = (Лат)рт, лежащий в касательной плоскости. Свойства 1е — 8' линейного пространства очевидны, т)(ш ьт(в) = 2. А Тогда к пространству ьт(к) можно применить весь аппарат, изложенный в 12.5, в частности, образовать множество векторных наборов (атЬгагЬг), где ат Е ьт(в), Ьт е ьт(к), ввести на этом множестве операции (2.112) сложения и умножения на число и дать определение тензора, аналогичное определению 2.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
