Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Юля векторов и тензоров такого совпадения, как увидим далее, уже нет. ед. Коне иеитиоепи е еи и оиеиие 40» 8.1.6. Набла-оператор и градиент вектора ОПРЕЛЕЛЕНИЕ 6.2. На ба а — о и е р а т о р о м (г р а д и е н т о м) в е к т ар а а называютп тпензорное произведение векторов взаимного базиса В» и частпных производных да/дХ»: тт Э а ео К Э вЂ” = К Э К 'о'»ат. да дХ (6.21) Раскроем физический смысл градиента вектора. Вычислим дифференциал вектора аа, рассматривая его как приращение вектора а, обусловленное переходом из точки М с координатами Х» в близхую точку М1 с координатами Х» + дХ»: да „ дХ» (6.22) Если в качестве а выбрать радиус-вектор х, то получим: с(х = — дХ» = К»дХ".
дх дХ» (6.23) Умножим (6.23) слева и справа на К;, тогда К' ° дх=К' ° К дХ =К' ° К о дХ = у'-ды»дХ» = б»дХ» = дХ'. (6.24) Следовательно, (6.22) можно преобразовать следующим образом: аа(Х ) = с(х ° К» — = дх ° В.» Э 'й»ауКу —— » да дХ» = дх Ч»ауК Э Ку — — дх ° тт Э а. (6.25) В итоге получим: да = (тд Э а)т дх. (6.26) да (1е Э а) = а 9 Ч = — „Э В,» = ту»ау К Э К".
дХ" (6.27) Таким образом, градиент вектора (%' Э а) связывает приращения вектора а с соответствующими приращениями радиуса-вектора х при переходе от материальной точки Х к Х + ЫХ~. Для тензора (Ч Э а)т на основании (6.15) справедливо следующее формальное представление: з'лннн В. 'Гензо ный анализ 406 Теогвмп 6.2. Градиент вектора згЭа является тензором второго ранга, а ковариантные н<аэ, 17<а и контравариантные з7'аз, ~7'ай производные являются компонентами этого тензвра.
з То, что зГ Э а - тензор, следует, например, из (6.26) по обратному тензорному признаку. Следовательно, при переходе из одной системы координат Х' в другую Хн его компоненты преобразуются по тензорному закону. Но из (6.21) следует, что его компонентами являются и;а., н,аУ и Ч'ау, зуза в соответствующих базисах: н Э а = "7;а К' Э Кэ = '7;аУК' Э К = з7'а К; Э Ку = '7'ауВ.; Э В.. (6.28) Следовательно, в отличие от частных производных да'/дХг и да /дХ, ко- и контравариантные производные являются компоненг тами тензора. а Поскольку физические законы описываются, как правило, инвариантными дифференциальными уравнениями, то в них используют именно ковариантные (а не частные) производные.
6.1.7. Ротор вектора ОПРЕЕЕЛЕНИЕ 6.3. Р о т ар о м вектора а называется вектор, определенный следующим образомз да 'Р х а = К' х —. = го1 а = 2из. дХ' (6.29) Используя определение (1.33) векторного произведения, находим компоненты ротора: 1 ня 17 х а = — е'з"Ч;а В.г. /д (6.30) 1; да й = Е х из = -К; Э К' х К' х —. = 2 ' дХз' = -К, Э В,' ° —. КУ вЂ” (К' КУ) —. 1 / да да з~ 1 = — ~ —. Э Ку — Ку Э вЂ”. / = — ((17 Э а) — з7 Э а) .
(6. 31) 2 ~дХУ дХ1 ~ 2 Вектор ел называют вектором виара. Как всякий вектор, образованный векторным произведением двух полярных векторов, ю является аксиальным вектором, т.е., вообще говоря, псевдовектором (см. 31.9). Кроме того, ы является вектором, сопутствующим некоторому кососимметричному тензору 41, который по (1.203) можно образовать следующим образом: Ец. Кеве ценен»ели е енни »»ение 407 Здесь использовано свойство (1.46) двойного векторного произведения, а также определение (6.21) градиента вектора. Кососимметричный тензор й, определенный формулой (6.31), называют тензоро в виера, с его помощью транспонированный градиент вектора всегда можно представить в виде: (тгЭа)т =в+а, (6.32) где 1 е = деГ а = — ('17 Э а + (з7 ® а) ) 2 (6.33) — симметричная часть, называемая линейным тензором деформации над а.
Подставляя разложение (6.32) в (6.26), получаем формулу Гелем гольца: Иа = (з7 Э а) ° дх = Т ° Их + й ° дх = Т ° с)х + ев х дх, (6.34) каторга определяет приращение вектора а в окрестности точки М через тензоры линейной деформации и вихря. 6.1.8. дивергенция вектора Опгвдвпвнив 6 4. Дивергенцией вектора а называют следуюеций скаляр: да з7 ° а = Н' ° —. = '74а' = й» а.
(6.35) дХ' С учетом (6.11) и (6.17) выражение (6.35) можно представить в виде: '17 ° а = — —, 1 дд»7Уаз (6.36) зур дХ' 6.1.9. Набла-оператор — самостоятельный вектор Набла-оператор 17 можно формально рассматривать как самостоятельный вектор, компонентами которого являются операторы коваРиантной или контравариантной производной: (6.37) »' Э а = ес е'ь Э а~ Р. = зуьау 1»~ Э Нз, Лля набла-оператора справедливыми являются все операции умножения и сложения, как для обычных векторов. Например, легко провеРить, что формулы для градиента (6.21), ротора (6.29) и дивергенция (6 36) будут справедливы при формальном умножении з на вектор а: Глава 8. Тензо нмн анализ 408 'Р ° а= К»17» ° а»В. = ~7»ауК~ К- = 17»а~, (6.38) чу х а = К~ 17» х аУК = и»ауК" х К = Яе~д Р»ауК В отношении '17» действуют обычные правила перемещения компонент векторов в любое место по отношению к знакам операций Э, ° или х.
Однако и» нельзя перемещать по отношению к компонентам других векторов, так как по определению ~7» действует на стоящий справа от него символ компоненты тензора (напомним, что обычные компоненты в тензорах и их произведениях можно перемещать друг относительно друга). Формула (6.14) для градиента скаляра тоже может быть получена формальным путем, так как согласно (6.15') и»уз = д~р/дХ".
При формальном подходе можно произвести операции умножения (6.38) в обратном порядке: аЭ з = аУК Э К»з7» = К ЭК»ад~7», а ° зг = аУК ° Как» = К ° К»аУи» = аЧ;, (6.39) 1 а'х ~7 = аУКу х К»17» = К1 х К~а,~у» = — К-81~~а»Ч». 3 / 3 Здесь мы опять поступаем с ~7» как с обычными компонентами вектора, однако перестановка по отношению к а', как указывалось выше, недопустима. Чтобы формальные операции (6.39) не потеряли смысл при их расшифровке в физических соотношениях, справа от операций (6.39) обязательно должен стоять какой-либо тензор, вектор или скаляр. Таким образом, "странные", на первый взгляд, операции умножения (6.39) являются вполне допустимыми и используются в дальнейшем. Лля них применяют следующие названия: правый градиент вектора, правая дивергенция вектора и правый ротор вектора.
6.1.10. Нелинейные дифференциальные операции над вектором Все рассмотренные выше дифференциальные операции над вектором: з7 х а, 'Р а и ЙеГ а — являются линейными, однако в механике широко применяются и нелинейные дифференциальные операции. Наибольшее распространение имеют четыре такие операпии: 1 1еГ» (а) = йеГах -(з7Э а) (з7Э а)т, которые называют левым положительным (или отрицательным) тенэорвм деформаций над а и ге»» (а) = с1е1 а х -( и Э а) ° (з Э а) 1 2 ба.
Кона иантнсе и е енин рвание 409 правым положипзельным (или отрицательным) тенвором деформаций над а. Компоненты этих тензоров в базисе К; имеют следующий вийи )е14 (а) = -(гу;а + и а; щ ч;ай т а" ) Гь' Э 112, 2 ' Я 1 ге1й (а) = -(гуго + 27уа; щ 17йа;г(7~ау)К' Э Кг. 2 Упражнения к 3 6.1. Упражнение 6.1.1. Используя формулы (6.8) и (Влз), а также результаты упрл Л.в, доказать, что символы Кристоффеля при перексде из системы координат Х' в Хл преобразуются следующим образом: 2 ляг й й ю в л д Х й Гоу=Р,Я й Я1Г „+ гзз+ д дХ.
~ Упр 6.1.2. Используя формулу (В.в), показать, что в пилиндрической системе координат ненулевые символы Кристоффеля второго рода имеют внд: г 1 22 — т Ггг — 1/т а ненулевые символы Кристоффеля первого рода имеют внд: Гггг = т Гггг — — — т. 2 Гзйз = — твшгд Гзгз = — -в(п2д, 2 гг 'гг— Ггг — Ггз — )г Т 1 23 — сгв д~ г з 3 а символы Кристоффеля первого рода имеют вид: 1 г ° Гззг = — т в)п2д 2 Г331 = — тв!и д 12гг = — т, 1 2. 1'гзз = -т вш 2д. 2 Ггзз щ твш д, Г122 = г; Упражнение 6.1.3. Показать, что в сферической системе координат ненулевые символы Кристоффеля второго рода имеют вид: Главе 6. Тенер ный анализ 410 Упражнение 6.1.4. Показать, что дифференциал скеляра р(Х ) можно й представить в виде с((о = т7ср ° с(х.
Упражнение 6.1.5. Показвтсч что в декартовой системе координат градиент скаляра имеет вид: серж~~с — е . др ол1 Упражнение 6.1.6. Показать, что ~7 Э х = Е, ер ° х = 3, ч(7 х х = О. з ч / дар дат '1 гос а сз яу — — — е, а ф )у ф у ~ а. 'с, дхз дед ) ал1 Упражнение 6.1.8. Показать, что ротор вектора (6.29) можно представить в виде символического определителя: Н-1 112 В.з 271 272 172 ас аг аз 1 гос а =— Я где т'1 умножается на а слева, а правый ротор (6,29) — в аиде: Вс 192 Нз а1 62 аз сус 172 'уз 1 ах 17=— Л где (7,' умножветсянва справа. з 8.2. Дифференпирование тензоров второго ранга 6.2.1. Ковариантные производные тензора Определим ноеариантные производные тензора недорого ранее Длд этого вычислим производную от теизора Т(Хя), заданного кзк У'пражнение 8.1.7.
Показать, что в декартовой системе координат формулы (6 16) для градиента, (6 35) -для дивергенции и (6 29) — для роторе вектора имеют вил: дай да; Чсас = —., сйт а = — '., ддг ' дк" В.з. 31н е енцн оввнне тенер цвето ого внгв 411 функция от криволинейных координат Х»: (Т'3К,ЗКу) = 'К» ЗК +Т»у ' ЭК.+ дТ д," дТ'У . дК, дХ» дХ» ' дХ" ' дХ» дК дТИ дТП з, дХ" Здесь введено обозначение ковариантной производной контравариангпных компонент тензора второго ранга: " дТП (6.41) Ковариантные производные ковариантных компонент тензора определяют как дтку 27» Ту — д Х» — Тту1»» — Т»гцкз «, а ковариантпную производную смешанных компонент тензора следующим образом: дТ' (6.43) Умножая ковариантные производные на обратную метрическую матрицу у", получим контравариантные производные: 27 Т'У= у»Г7»Т", 17 Тб — — у '~1»ТИ ~7 Т' = у «~7«Т' .
«11~ (6.44) 6.2.2. Дифференциал тензора д" й = — дХ». д" й дХ" Используя формулу (6.24), получим д" й Н"й = »)х К Э вЂ” 1, = »)х. АЗ "й. дХ" Здесь введено обозначение для градиента тензора и-го ранга дей з7Э "й — К, Э дх« — С7»йи»н "К" З К3 З...ЭВ„. (6.45) (6.46) (6.47) По аналогии с дифференциалом вектора определим дифференциал тензора и-го ранга й" й, рассматривал его как приращение тензора "й, обусловленное переходом из точки М(Х») в близкую точку с координатами Х" +»)Х»: Глана б. танзо ный анализ 412 6.2.3. Дивергенния тензора Определение 6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
