Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 58
Текст из файла (страница 58)
= ~~1 с„Т", (5436) «=в где под Т понимается метрический тензор Е, а с„- константы. о Твогима 5.18. Функция (5.499) является изаптропной. и Пействительно, так как при замене Т на С2~ Т ° Ц, где Я - произвольный ортогональный тензор, тензорные степени преобразуются как Я~.Т. (3)" = (От Т О) бает.Т.С3 ... (3т Т Ч = а, следовательно, полиномиельная функция (5.436) удовлетворяет ус- ловию (5.9): У(б)т Т О) ~~~ Щт Т С))« «=о = Я~ ~ ~с„Т" ° С) = С~т ° У'(Т) ° Я.
и »=о (5.437) Записывая тензор Т в собственном базисе (1.174): з Т ке ~~~ Лаеа Э е (5.438) а«а Тиовема 5.17. Всякая изотрапная тензорная функция (5.390), свяэываюитая симметричные тпенэоры второго ранга, может бытпь представлена в виде (5.499), который являетпся частным случаем предстпавленин в птенэарнам базисе (5«997). Представление (5.433) отличается от представлений в других классах: оно содержит только три базисных тензора. Функции т)тв (5.435), вообще говоря, не являются потенциальными. 5.7.
Непотениипппные тенер ные нинин 373 любую целую степень Т" также можно представить в виде диагональ- ного тензора в том же базисе (1.180): з Т" = ~~1 Лпеа йи е'*. (5.439) а=1 Тогда полиномиапьнел функция (5.436) может быть представлена в виде: Я = ~~1 ~~ спЛа~ еа Э е = ~п 1(Ла)еа ® е, (5.440) а=1 п=1 а=1 где У(Л) = ~ .пЛ". (5.441) п=1 Я=э!пТ=Т вЂ” — Т + — Т +...=~~~ Тпа, (5442) 3 1 5 ( 1) зпе1 3. '5. '' ' (2п+ 1)(' "косинус от тензора": Я = соэ Т = ~ — Тз", ( 1) 2 .=о (2,4)1 (5.443) "логарифм от тензора": ( цп — 1 б=)п(К+т)=~ ) Т", Я =о (5.444) Таким образом, всякой полиномиальной изотропной тензорной функции У(Т) (5.436) может быть сопоставлена обычная функция ДЛ), которая имеет аналогичную структуру, если аргумент Т заменить на Л.
Очевидно, что верно и обратное утверждение: по всякой полиномиальной обычной функции можно образовать изотропную тензорную функцию (5.440). Используя это свойство изотропных функций, можно построить тензорные функции — аналоги элементарных функций. Для этого надо представить эти функции разложением в степенные ряды (5.441) в окрестности точки Л = О, сходящиеся в некотором интервале (Л! < Ло, а затем, заменяя Л на Т, построить тензорную,функцию - аналог (5.440). Например, функция "синус от тензорап будет иметь вид: Рпппп З.
тепзо пые пк пп 374 "экспонента от тензора": Б = ехр Т = ~~~ —,Т". 1 п=о (5.445) Юля экспоненты от тензора, очевидно, выполняются свойства обычной эксроненты, например: 1 ехР (Тз + Тз) = ~~~ — (Тз + Тз)п = п=о и 1 = ~ — (т" +ит" ° т +...+ит т" +т") = и'. п=о т —,Т~ ° "~ —,Тз — — ехр Тз ехр Тю (5.446) п=о п=о Транспонируя (5.440), устанавливаем важное свойство полиномиальной функции: В~ = (3с(т)) = л-(т~). (5.447) Пусть теперь тензор Т = Й вЂ” кососимметричен, тогда по (5.447): (ехр Й) = ехр Й = ехр ( — Й). (5.448) Умножая теперь ехр Й на транспонированный к нему, по (5.448) и (5.446) получаем: ехр Й ° (ехр Й) = ехр Й ° ехр Й = ехр (Й вЂ” Й) = Е, (5.449) таким образом, экспонента от кососимметричного тензора образует ортогональный тензор. Вернемся теперь снова к полиномиальному представлению (5.436) и воспользуемся теоремой Гамильтона-Кали (см.
п.4.5.4), которая справедлива в том числе и для несимметричных тензоров Т (см. упр.4.5.12). Согласно этой теореме, любую тензорную степень Т" выше второй: и > 2, можно выразить через Тз, Т и ТО = Е. Тогда из представления (5.436) вытекает следуюшэл теорема. В = Г(т) = р,Е+ р,т+ ю,тз, (5.450) Творима 5.19. Всякую изотропную тензорную полиномиальную функцию (э.доб) всегда можно представить в виде: ЗЛЬ Непотенниииьные тенер ные нинин 272 где ~р - сиаиярные дзуниции ота инеарианнзое взензора Т: 1оа — 1оо (11(Т), 12(Т), кз(Т)) . (5.451) Сравнивая (5.450) с формулой (5.433), которая была выведена для симметричных тензоров, получаем, что разложение изотропной тензорной функции по базису Тз, Т и Е возможно и для несимметричных тензоров, но только для полиномиельных функций (5.436). Заметим, что для симметричных тензоров условие полиномиальности не использовалось.
Условие полиномиальности является существенным, так например, линейнел изотропная тензорная функция Я= С ° Т, связывающая несимметричные тензоры Б и Т (где еС - тензор четвертого ранга, индифферентный относительно полной ортогональной группы и не обладающий симметрией вида (1.264), не является полиномиальной и не может быть представлена в виде (5.450). Пусть теперь известен вид (5.436) полиномиельной функции У'(Т) с коэффициентами сь Найдем функции ьо (5.451) в соответствующем представлении (5.450). Пля этого подставим разложение (5.438) тензора Т по собственному базису в (5.450): з Б = У(Т) = ~~' (1оо + т'1ла + <Рэли) ео З е (5.452) о=1 Сравнивая (5.452) с представлением (5.440) функции (5.436), получа- ем, что должны выполняться равенства коэффициентов при собствен- ном тензорном базисе: Ро+ 1озло+ ~тзЛо = 2 (Ла)~ 12 = 1,2,31 (5.453) где функция ДЛ ) определяется по (5.441).
На (5.453) можно смотреть как на систему трех линейных уравнений относительно у1 . Определитель этой системы имеет вид: 1 Л Л2 1 Лг Лз 1 Лз Лз = (Л1 — Лз)(Л2 — Лз)(Лз — Л1) (5.454) и называется ооределитаелем Ваидермоида. Как и ранее при рассмотрении тензорных базисов в п.5.7.4, мы предполагаем, что тензор Т содержит максимально возможное число ненулевых и различных компонент. Тогда все Л„отличны от нуля ревев Э. тенко ные ие ии 37В и различны.
Следовательно, дЛ ф 0 и существует решение системы (5.453) относительно удьлд 1 7 дро:, ~ ~(Лд )ЛзЛэ(Лэ — Лз) +~(Лэ )ЛдЛз(Лд — Лз) + )(Лз )ЛдЛз (Лз — Лд) -д~ удд — — (~(Лд)(Л~ ~Лзз)+~(Лз)(Л~з Лз)+ДЛз)(Лзд — Лз)), (5.455) 17 ~рз — — фЛд)(Лэ — Лз) + ДЛг)(Лд — Лз) + ДЛз)(Лз — Лд)). 11~ Поскольку Л являются инвариантами тенэора Т и выражаются через 1д(Т), 17(Т) и 1з(Т) (см. (4.156)), то и уд Явлнютсн фУнкцинми 1 (Т). з 5.8. Пифференцирование тензорных функций по тензорному аргументу 5.8.1. Определение производной от тензорной функции по тензорному аргументу по тензорному аргументу Т. Введем зти производные.
В компонентной записи функция (5.456) в базисе Вв имеет вид: Кц -д тд -д (Тьп д ) (5.457) Всегда можно вычислить дифференциал этой функции, рассматривая ее как обычную функцию многих переменных: ду""з" ддоц "з" = .. д(Тд'"". дТдц -.з" (5.458) С помощью производных дУ' -'" (ОТз' -'" можно определить следующий объект: д~н..з Ят = .. В.;, Э... Э В<„Э Вд' Э... Э Вд, (5.459) называемый тензором производной тензорной функции по тензор- но,иу аргументау. Очевидно, что д"+ дБт является тензором и имеет ранг (и+ т). В 75.2 было введено понятие тензора производной ™1т для скалярной функции в = 1('"Т) от тензорного аргумента.
В механике часто возникает необходимость определения производной от произвольной тензорной функции (5.456) З.а. дн е еннн нонне но тенео нем е г мент 377 Составим теперь дифференциал тензора доБ, используя определение (5.89): Н" Б = НУ'"и" В;, Э ° Э В '. (5.460) и подставим в него (5.459). Преобразуем получившееся выражение следующим образом: дУ" -'" д"Б = .. В„, Э...ЭВ1„оТ15" 1 дТ15 -д — В1 Э ° ° ° Э Вя 51 ° ° ° о1 дт дУ"' "'" дТзму '1 ''' ' ь1''' ь дУ*м и" К;, Э...ЭК;„ЭЖ' Э... ЭВ.1" В. Э...ЭВ.~ БТь'"ь" (5.461) Используя определение (5.459) тензора производной, этому выраже- нию можно придать следующий вид: доБ (н+м) Б ~(тТ)(н1...1) т:. н1 (5.462) где п( .
Т)(~" ц — транспонированный тензор от дифференциала Т (см. (5.89) и (5.90)). Формула (5.462) дает инвариантное определение производной тензора функции по тензорному аргументу. Фактический способ опредепения этой производной дает формула (5.459). В частном случае, если п = га = 2, то формула (5.462) принимает вид: дБ = еБТ Ытт, (5.463) где еБт — тензор четвертого ранга, определяемый по (5.459): дуб Бт= — К1ЭВ. ЭВ~ЭК~ = — ~К'ЭВ1ЭК~ЭК~ (5464) дТм ' дТ" ' 5.8.2.
Лифференцирование функций от симметричного и кососимметричного тензоров (5.465) Если Т вЂ” симметричный тензор, то также как и для скалярной функции (см. 55.2) необходимо симметризовать аргумент функции Глава З. тенко ные нинин 378 а затем, после вычисления производных в (5.464) по каждой из девяти компонент, учесть симметрию Ты = Т~~. Формула (5.459) в этом случае примет вид: Бт = — — „~К'ЭВз Э(Кь ЭХ+В! ЭВь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
