Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 54
Текст из файла (страница 54)
д/2 Уд = Тзз, (5.298) Квадратичные инварианты в (Кз) имеют вид: Уз =, У4 = д/2(тд~з+ Тгз))д~, Уь = д/2~Тдг). (5.299) ,/2 Линейные инварианты тензора Т совпадают с линейными инвариантами в (Тз)-классе: Гневе 3. тенер ные нинин 342 5.5.1. Ортотропиый класс В этом классе имеется три индифферентных симметричных тензора второго ранга: ег, общее же число обобщенных девиаторов максимально и равно шести, т.е. (5.300) п1=3, п=б. Тензоры а(а) и Г(а) имеют вид: а(а) йа> 11 ее 1> 2> 3> 11(а) ее 1> -2 (5.301) е 1 Г(а) О -3 Э О -з, а = 4, 5, 6.
Обобщенные девиаторы определяются следующим образом: Р( )=Ге«, -г (5. 302) а=1,2,3, где У =Т ° ег (5.303) — линейные спектральные инварианты, а также Р(а) = — О з(Т ° О з), а = 4> 5, 6. (5.304) 1 2 е 3 ,"" Р(а) = ~~(К*на+ -Оа+з(Т Он+3)) = а=1 ««1 з (Т аб'61 +($61~+б'б~)Т 3) = Т, (5. 305) а«1 а г- )3 г- 7 г= а, а,)9,7 = 1, 2, 3. Индифферентность функций Р( )(Т) - очевидна, т.к.
все тензоры ег„О Э О индифферентны относительно класса ортотропии. Взаимная ортогональность Р( ) вытекает из ортогональности векторов базиса е : Р(а) Р(е) = е 'ер = О, а ф >б> а>(3 = 1,2,3, (5.306) Проверим, что все свойства р-тензоров (5.229) — (5.232) выполнены. Спектральное представление (5.229) проверяем, переходя к компонентной записи: З.З. Слект вльное и енетввление тенер ов 343 Р< ) ° Р(»г+3> = е ° ОЗ вЂ” — е Э еа .(ет Э ез+ ез Э ет) = = 2(е ет)(е ез) = О, а, Д у,б = 1, 2,3, )3 ф ч ф б ф,8, Р <»+3» ' 'Р»»»+3) = Оа ' 'Ое 0 а ф Д а 8 — 1 2 3.
Квадратичные спектральные инварианты определяются по формулам (5.241): Уг = Р~а) ° .Т = -(Т ° Оа з)г, а = 4, 5, 6. 2 (5.307) 1 Г»а»»б⻠— — -(бв»»б»» + бьгб»»»)(б»ебгт + б»тб»в)~ »г ф»8 ф у г'- а. (5308) 2 Обобщенные девиаторы и инварианты имеют вид: Р(арб = Таабгаб»а~ »г = 1~ 2~ 31 Р14)»1 = Тгг(б»гббг + б»гб»ч)1 Р»з»»» = Тгз(б|гбуз+ б;зб»г), Р(ерб = 'Ггз(б;гб»з+ б;зб»г), (5.309) У» = Таа, а = 1, 2, 3; Ув — — ь»2(Тгг), Уз — — с»2)Тгз», Уе = з»2»Тгз) Обобщенные девиаторы имеют следующее матричное представление: РОО", = 0 0 0 Р»г)»1 = 0 Тгг 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О Т О Р»з><» = 0 0 0 ~ Р(4)»1 = Тгг 0 0 (5 310) 0 0 Тзз 0 0 0 0 0 Тгз 0 0 0 Р(з)»1 = 0 0 О, Р(ер» = 0 0 Тгз Т,з 0 0 0 Тгз 0 5 5.8.
Триклинный класс В этом классе имеется шесть индифферентных симметричных тензоров второго ранга: е Э е»», следовательно, все числа т и и совпадают и равны шести: тл = и = 6, (5. 311) Запишем также все введенные тензоры в декартовой системе координат: а(адб = б»»б»а~ а = 1, 2, 3, аа = 1~ Глава З. Тенко ные ницци 344 а обобщенные девиаторы являются линейными. Тензоры а1„1 имеют вид: а( 1=е~, оке1,2,3, о~ 1=1, (5.312) 1 1 а~а+з1 = -(ее З ет + ет З ее) = -О, а~а+з1 = 1. 2 2 Спектральные инварианты определяются по формулам: Уа ке Т ез = 1~~11, Узе — — -Т Оа ке 73+, о = 1,2,3. (5.313) Поэтому обобщенные девиаторы имеют вид: 1 1з1а1 = 1аеа 1з(з+а) = -Уз+аО, а = 1,2,3.
(5.314) 2 Очевидно, что все свойства р-тензоров выполняются при таком построении. В декартовой системе координат введенные объекты имеют следующий вид: 1 о(адб = б~абба1 о(а~.здб = — (беаббэ + бстбул)~ 2 о, 1ээ, '~ = 1, 2, 3, а ф,б ф у ф а, (5.315) а также 1- Р1а) 1 = Уаб~абба~ Р1а+зуб = -Тдт(ббзббт + бевббз) ° (5.316) 2 Спектральные инварианты имеют вид У =Т, а=1,2,3, У4 = )Тзз(, Уз = )Тзз( Уе = (Тзз). (5.317) Матричное представление обобщенных девиаторов также очевидно: каждая матрица (Р<ару) имеет одну ненулевую компоненту тензора Т: Т О О О О О Р~цб= О О О, Р1знб = О Тзз О О О О О О О О О О О О О Р1з1 у = О О О, Р<41б = О О Тзз, (5.318) О О Тзз О Тзз О 5.5. Слект алоисе и едставлеиие теизс ов 345 о о тдз о т„о Р(5)В = О О О, Р(е)б = Тдз О О Тдз О О О О О 5.5.9.
Сравнение спектральных инвариантов У с инвариантами групп 1 Для триклинного класса спектральные инварианты У и 1о, вве(и) денные в п.4.5.5, как было показано в ц.5.5.8, совпадают. Для остальных рассмотренных классов: (1), (Н), (Тз), (К), (1дз) и (О), — число спектральных инвариантов У на один меньше, чем инвариантов 1„, причем отсутствует кубический инвариант в каждом (з) классе. В классе ортотропии — это 15 = ТдзТдзТзз, а в остальных— (о) это 1з = д(еьТ.
Этот результат естественнен, так как само построение инварнантов У предполагает, что могут возникнуть либо линейные, либо квадратичные инварианты. Вспомним теперь результаты 55.4, где было получено, что в построении квазилинейных тензорных функций участвуют как раз линейные и квадратичные инварианты. Таким образом, применение спектральных инвариантов является еще одним (весьма удобным, как будет показано в 55.6) способом для описания квазилинейных функций. На этом мы закончили доказательство теоремы 5.12, показав, что спектральное разложение (5.229) существует для классов: (Ж), (0), (145), (К), (Н) (тз) и (1). Заметим, что квадратичные спектральные инварианты 1' по определению (5.239) являются положительно определенными формами от Т;,ч т.е.
У ) О, сд = пд+ 1,...,л, поэтому для остальных классов: (М), (Т), (А) и (В)-классов, у которых имеются квадратичные инварианты, но не являющиеся положительно определенными (см.п.4.5.5), спектральные разложения не построены. й Упражнения к 5 5.5. Упралснение 5.5.1. Показать, что из взаимиай ортогоиальиости теизоров Р(о) следует Глава З. Теив ные нинин 346 3 5.6. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 5.8.1. Спектральное представление двух тензоров Спектральное представление, введенное в 25.5, обладает важным свойством: оно одинаково в рамках одной и той же группы симметрии 6, для всех симметричных тензоров. Это означает, что если имеются два симметричных тензора Б и Т второго ранга и фиксирована группа симметрии С„то спектральные представления этих тензоров записываются следующим образом: Т= ) )Р (т) (5.319) а=1 а=1 где Р и Р - обобщенные девиаторы тензоров: (5) (т) (а) (а) (5.
320) Р( „) — Р(а)(1Т) = Р(а) ' 'Т~ Π— 1 ° ° ° П. (2') .1 Иэ представления (5.320) следует, в частности, что тензоры Р и (5) Р(.,) взаимно ортогональны: (т) Р,, "Р(„- 0, ~ )9. (5) (Т) (5.321) У(т) — У (Т) (Р(т) Р(т))1/2 у(5) у (5) (Р(5) р(5) )1(2 а — а (а) (а) (5.322) Среди них имеются по ое линейных инвариантов, для которых (Т) 1'а (т) Р(а) — — — а( ), оа (5) Р( ) — — — а(а), о = 1...гл. (5.323) (5) 1а оа Спектральные инварианты тензоров Т и Б обозначим следующим образом: Зя.
Сплит вльные и етввленив кввъилинейнык нклий Зет 5.6.2, Спектральное представление прирапзения потенциала Пусть теперь два симметричных тензора Б и Т связаны потенциальной квазилинейной функцией: Б = У(Т) = —, дй дТ' (5.324) И4 = — НТ. ду) дТ (5.325) Здесь учтено, что Т - симметричный тензор. Если теперь подставить (5,324) в (5.325), то получим условие потенциальности в виде: (5.326) оу) = Б ° ЫТ. Подставляя теперь в (5.326) спектральные представления (5.319) тензоров Б и Т, получим в итоге и (з) „ (т) (а) (а)' аа1 (5.327) Дифференциал тензора с(Р( ) определен в п.5.2.2 и представляет (т) собой симметричный тензор: (т) б(т) (а) (а) у' (5.
328) .где Р ~~ - компоненты девиатора: 'у(т) (а) ,(т) Р(1(т) (а) (а) 1' (5.329) Очевидно, что тензоры НР( ) будут взаимно ортогональны к Р( ) (т) (з) (а ф )3),что и учтено в (5.327). Формула (5.327) называется спектральнььн представлением приращения потпеициела квазилинейной функции. где е( - потенциал. Составим дифференциал от функции ф, рассматривал ее как скалярную функцию от Т (см.(5.93)): Глава 8.
Теизо иые икаии 348 5.6.3. Вывод спектрального представления квазилинейной функпии Как было показано в п.5.4.1, потенциал у) квазилинейной функции может зависеть только от линейных и квадратичных инвариантов тензора Т. Выберем в качестве этих инвариантов спектральные инварианты Уа(Т) относительно какой-либо группы симметрии С,: й(у(т) у(т)) (5.330) Тогда а др (т) аег д1а (5.331) Лифференпиал дУ вычислим следующим образом: (т) дУ(т) = — дУ(~)~ а = 1...и т 1 а (Г) а ' 1 2У (5.332) но Уа является, согласно (5.239), квадратичной скалярной функпи(т)г ей от Р( ), поэтому ее дифференциал вычисляем по (5.93) и (5.123): (т) (т)г д1а = (т) дР(а) 2Р(а) ' дР(а)' и 1'' 'и' (5 333) (т)г дУа (т) (т) (т) (а) Подставляя (5.333) и (5.332) в (5.331), получаем: (5.334) Подставляя теперь (5.334) в (5.327), имеем: (5) ~Ра (Т) Р(а) щ (а)' а (5.336) В силу независимости приращений девиаторов из (5.335) вытекает следующий результат.
Творима 5.13. Обобщенные девиаторы двух симметричных тенэорог второго ранга, свээанных кваэилинейной потенциальной функциеб (8.324), пропорциональны друг другу: З.е. Спект епьные н епетеипени» кнезипинейиык нкний зйэ Коэффициенты пропорциональности являются скалярными функциями от спектральных инвариантов У (т) р( .) (т) (т) дф дУ (5.337) Умножая оставшиеся соотношения (5.336) при м = пь+1... и скалярно сами на себя, с учетом определения (5.322) квадратичных инвариантов получаем, что соотношения (5.338) имеют место и для оставшихся индексов а = тп+ 1...п.
Здесь учтено, что )о > О. Если подставить (5.336) в (5.319), то получим еще одно представление квазилинейной функции: 'э а (т),(т) (т) (т) ''' » ( ) .,Уа (5.339) Поскольку первым а = 1... т обобщенным девиаторам соответству- ют линейные инварианты (5.237), то это соотношение можно перепи- сать с учетом (5.238): ы ,(т) (т) (т) . (т) Б=~ 1 а ь 1 Р( ) (5.340) (а) + (т) (а).
аа1 а пи|+1 На практике используют одно из трех представлений квазилинейной функции (5.324): ° (5.340), которое называют полным спекпзральным представлением; ° (5.336), (5.337), называемые укороченным спектральным представлением (т.е. не.выписано явное выражение Я Т); ° (5.338), являющееся соотношением между инвариантами, когда не выписывают явным образом даже соотношения между обобщенными девиаторами. Очевидно, что все эти представления эквивалентны. Соотношения (5.336) называют спектпральным представлением квазилинейной тензорной функции (5.324).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
