Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Темза ные нк ии ззб 3 Ф = ~~~,(-Л Хд~)~+Лз+ 1~~ )1~~))+2Л»1» )+2ЛбХз~ + а=1 + 2ЛэХ4 + 2Лэь»1»™14 + 2ЛдзХе ) + тРо. (5.216) Тензор производной от этой функции дает линейную функцию (5.215) с тензором 4С, определяемым по (5.73). (0)-Оридоттдроммый класс: Потенциал линейной функции имеет вид: 1 ть = ~~~ — Л»1» ) + Лз+»1р 1» ) + 2Ле+»1»+з) + Фо (5.217) 12 аад Тензор производной от этой функции образует линейную функцию (5.215) с тензором 4С (5.74). Частные производные дф/д1» приводят к формулам (5.207), в 10) которых все Л следует положить константами. (Т)-Тстарагональный класс: Потенциал линейной функции имеет вид: тр = — (Л 1~™+ Л 1~~™) + Л Хтт)Хтт) + 2Л 1~~ ) + Л Х'т)+ 2 +2Ле2~1 )+Л»1~1 )+фо. (5.218) Для того чтобы тензор производной от этой функции привел к линейной функции (5.215) с тетрагональным тензором 4С, определяемым по (5.75), необходимо положить: Лз = Ля+ ЗЛд+ 2Лз+ Лз+ 2Лб~ Лз = Лз+ Лд, (5.219) 1 Л4 = Л4+ Лб, Лз = -Лз+ Ле 2 В этом случае частные производные )о» = дтр(дХ» приводят к дт) формулам (5.206), в которых все Ла также следует считать константами.
(М)-Момоклимнытд класс: Решением дифференциальных уравнений (5.212) с правой частью из (5.209) явлкется следующая скалярная функция: З.4. Кввзилинейиые теиза иые икиии зг7 (Кз)-Квазитрансверсально-изотропный класс: Потенциал имеет вид (5.218), но Лг = 0: д)д = -(ЛдХ( )г + ЛгЕг ()г) + Лз1д( )1г( ) + 2Л41 + 2 + Л41(К) + 2Лв14( ) + д)до (5.220) Тензор производной от д)) приводит к тензору 4С в виде (5.76), а частные производные дд)д(дХз приводят к формулам (5.205). (К) (А)-Ролебоэдрический класс: Потенциал линейной функции имеет вид: "дде = -(Лд1д + Лг1г ) + ЛзЕд 1, + 2Л41з + 2 + 2Лз14( ) + Лв14( ) + 2Лт1в( ) + 4о~ (5.
221) Лг = Лг+ЗЛд+2Лз+2Лв, Лз = Лд+Лз, Ле — — Ле+ Лв. Тензор производной от (4 образует линейную функцию с образую- (А) щим тензором 4С в форме (5.77), а частные производные дЯдХт приводят к формулам (5.203). (В)-Ролдбоздрический класс: Потенциал имеет вид (5.221), в котором Лг — — 0: ф = -(Лд1( )г+Лг1( ) )+ЛзХ( )1( )+2Л4Хз + 2 + 2Лз14 + Лв1з + Фо (5.222) Лг = Лг +ЗЛд+ 2Лз+ 2Лв. Лз = Лд+ Лз, Ле — — Ле+ Лв ему соответствует тензор четвертого ранга 4С (5.78) и коэффициенты (5.201). (Н)-Гексагональный и Тз-Трансверсально-иэотропный классы: Потенциал имеет следующий вид: (Л 1(н)г+Л 1(н)г)+ Л 1(н)1(н) + 2Л 1(н)+Л414( )+д)до, (5 223) 2 Лг = Лг -(- ЗЛд + 2Лз -(- 2Лз, Лз — Лд + Лз, Ле — — Ле + Лз Гневе З.
Тенге ные ненни зга ему соответствует тензор четвертого ранга е С (5.79) и коэффициенты (5.198). (К)- Кеозиизотпропный класс: Потенциал имеет вид: тр = -Лг1г + (Лг+ — )1г + 2Лг1з + 48, (5.224) ему соответствует тензор еС (5.80) и коэффициенты р„(5.196). (1)- Кзотпропный класс: Потенциал имеет вид: 1 гр = -(Лг+ Лг)1, — Лг1г+ тро, 2 (5.225) Ф = -'С Т Э Т+ Фо. 2 (5.226) В самом деле, рассматривая тр как скалярную функцию квадратичного типа (5.116), можем вычислить тензор производной согласно (5.121): дат — Сг) ° Т= С Т=Я, дТ (5.227) так как С является симметричным тензором четвертого ранга. Та- ким образом, (5.226) действительно является потенциалом для всех линейных функций (5.227).
г 5.5. Спектральное представление тензоров второго ранга 5.5.1. Определение спектрального представления Для квазилинейных потенциальных функций можно дать еще одну форму представления, основанную на так называемом спектральном представлении тензоров. Дадим определение этих представлений. Рассмотрим пространство симметричных тензоров второго ранга (г) з ему соответствует тензор еС (5.81) и коэффициенты рт (5.194). С использованием тензора четвертого ранга С потенциал тр для линейных потенциальных функций всех классов симметрии можно представить в виде: З.З. Слевт ельное и елетввлеиие тенер ое Творима 5.12.
Пространство ЯзД ) можно разбитое на прямую сумму ортогональных подпростпранстпв Р(о), инвариантных относительно ненотпорой группы преобразооаний С„являющейся подгруппой полной ортогональной группы преобразований )о. б~ =Р(г) ® "92з(~), О. С 1о. (г) (5.228) Иначе говоря, любой симметричный тензор второго ранга Т можно представить суммой и Т = ~~~ Р(о)1 (5.229) п<6, оьй где каждый тензор Р(н) обладает следующими свойствами: 1' (прямая сумма надпространств) Р(„) являетск симметричным тензором второго ранга, принадлежащим надпространству Р~о); 2' (ортогонвльность подпространств) Р( ) — взаимно-ортогональны, т.е. (5.230) Р( ) ° РО)) = О, если а ф,В; (3~ Р( )(Т) Я = Р( )Я~ Т Я), (5.231) где Я вЂ” тензор линейных преобразований, соответствующий группе преобразований С,; 4 тензор Р( ) является линейной тензорной функцией от Т: Р( ) = Р( )(Т) = Г( ) Т, а = 1...п. (5. 232) Заметим, что формула (5.231) действительно определяет линейное преобразование подпространства Р( ) в себя, если ее переписать в виде: (О ~ (~)(гезг) ..Р— Р' Р Р' а 'Р (5,231а) Поскольку Р~( ) — — Р(„)Ят Т Я) тоже принадлежит Р(о), то Р(о)— действительно инвариантное надпространство относительно преобразования (5.231а).
А так как (5.231а) имеет место для любого (в Е Се то Р( ) — инвариантно относительно группы преобразований. Возможность представления (5.229)тензора Т докажем ниже конструктивно, т.е. построив в пп.5.5.3 — 5.5.8 эти представления для различных групп симметрии. 3' (инвариантность подпространств) Р( ) является индифферентной тензорной функцией относительно группы преобразований С„т.е.
Глава з. кензо ные негин 330 Опгвдилинии 5.10. Представление (5.229), обладающее свобст вами Р— 4з, называют спектральным представлением симмепзричногв тензвра второго ранга. Впервые спектральное представление (5.229) было установлено Б.Е.Победрей. Тензоры Р(а) называются обобщенными девиаторами или р-тензорами, причем еГ( ) — некоторые постоянные тензоры четвертого ранга, не зависящие от Т, а только от образующих тензоров О,(з) группы симметрии (',. Среди этих еГ(а) имеются приводимые, т.е.
полученные тензорным произведением некоторого симметричного тензора второго ранга а(а): 1 Г(а) з а(а) Э (а)з и = 1...т < п. (5.233) аз, Для тензоров 4Г(а) и а(а) вводятся инварианты: Г(а) — — 1'(а) ° ° ° ° Г(а), о = пз+ 1...и, (5.234) з 1/3 аа — (а(а) 'е(а)) з о = 1...т Из условия индифферентности функции Р( )(Т) следует, что тензоры 4Га и а(а) должны быть индифферентны сами, т.е.
должны удовлетворять условиям (4.7), (4.12): Я~.а( ) Я = а( ) еГ( ) = вГ( )""ЯЭЯЭ(4Э(4)(~зз'гввг) (5.235) или в компонентном виде: а(а) = а(~.)е! Эе,, а(~) = а(~~)А'гА (5.236) Г""" = Г!''д'А" ...А!з (а) (а) )з ''' з (а) — з (,„) ез, Э е(з Э ечз Э е!з~ где А!г - произвольная матрица преобразований из группы С,. 5.5.2. Инварианты, связанные со спектральным представлением Введем с помощью тензоров Р(а) инварианты тензора Т, обозначим их в отличие от инвариантов, введенных в 14.1, как Уа(Т). Для тех Р(а), у которых еГ( ) является приводимым, инвариант У вводится как У (Т) = — а(а) 'Г, а = 1...т, 1 (5.237) аа 3.3. Спект впвпое п епетввпеппетепво ов 331 причем из (5.232) и (5.233) следует, что 1 Р (а) — 1 па(а) ~ оа (5.238) Уа(Т) = (Р(а) 'Р(а)) (5.239) и называются спентпральными неш)рппеичными инеерипнтоми.
Заметим, что для линейных инвариантов (5.237) также справедлива формула (5.239). С учетом (5.238), разложение любого тензора второго ранга Т (5.229) может быть представлено в виде 1в и Т = ~~~ — У (Т) + ~ Р( )(Т). а=1 аапв+1 (5.240) Отметим два важных свойства спектральных разложений, которые будут использоваться в дальнейшем. Умножая скалярно Р(а) на Т, с учетом представления (5.229) и ортогональности Р( ) получаем: в Р(а) ° Т = ~~~ Р( ) Р(р) = Р( ) ° Р( ) =Уз, а = 1...п. (5.241) Ф-1 Рассмотрим теперь скалярный квадрат тензора Т Т и подставим вместо Т спектральное разложение (5.229), тогда с учетом ортогональности Р( ), получим: 11(Т ) = Т''Т = ~ Р(а)''Р(р) = ~ Р(а)''Р(а) = ~~~ Уз (5 242) а=1 аа1 а,па1 т.е.
сумма квадратов всех спектральных инвариантов Уа всегда об- разует один и тот же инвариант — след от квадрата тензора: (5.243) а=1 а скаляр (5.237) называется спенпзральным линейным инеарианпзом. Для остальных Р(а), а = т+1... п инварианты вводятся формулой Гневе 5. Тенко ные нкцнн ззг 5.5.3.
Спектральное представление для класса изотропии и Докажем теперь теорему 5.12. Покажем, что введенные в п.5.5.1 спектральные представления существуют. Начнем с класса изотропии - (г). Образующий тензор О,>-,> в этом классе только один (см.п.4.1.8)- это тензор Е. Тогда существует только один тензор второго ранга а>н1, а арц - его инвариант: иг = 1> арц = (Е ° Е) 473 = з/3. (5.244) арц = Е, 1 1 1 Уг(Т) = — абц ° .Т = — Т Е = — 1>(Т).
(5.245) абЦ Л Л Сооответствующий ему тензор Рбц определяется формулой (5.238): 1 1 Рбц = — Угабц = -14(Т)Е. >'3 (5.246) Второй обобщенный девиатор строим следующим образом: 1 Рбц = Т вЂ” -14Е. 3 (5.247) Соответствующий ему тензор Гбц имеет вид: 4 Г>г> = кз — -Е>8> Е. 3 (5.248) В декартовой системе координат тензоры абц и 4Грц имеют вид: (5.249) Г'~ = -(у" бд+ бпу") — -54гбы.
<31 2' 3 Других обобщенных девиаторов в этом классе нет, т.е. число и = 2 для класса изотропии. Покажем, что построенные таким образом тензоры Р>н~ являются обобизенными дееиаторами. Спектральный линейный инвариант определяется следующим выра- жением: 5.5. Спект впьное i енетввпенне тенко ов ззз Проверим справедливость формулы (5.229). В самом деле, складывая тензоры Р< ), получаем: 1 1 Т = -12Е + (Т вЂ” -12Е) = Ррц + Р)2). 3 3 (5.250) Проверим ортогональность Рдд) и Р<2), т.е. справедливость (5.230): 2 21 Р(д) ° .Р(г) = -1дЕ (Т вЂ” -1дЕ) = — (122 — 12-Е ° Е) = О, (5.251) 3 3 3 '3 т.к. Е Е = 3. В компонентной записи Р)о) тензоры имеют вид: 1 Р'д) — — -1дбдд, 3 (5.252) )1 )д' )д 1 ту д) б(ц + бр) 31~5 + Р<г)' (5.253) Представление (5.253) называют разбиениезд тензора на дааровую и девиаторную части.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
