Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Спектральный квадратичный инвариант определяем по (5.239): 1(2) — (Р)2) ' 'Р(2)) (5.254) з Тг = У~ = Р|дру = ~;- Р.'„+2(Р22+ Рг + Рг,), (5.255) о=д но Р;, = Т; — (1(3)Тьзб;дч поэтому 1 - — — 1 Р» = Тдд — -(Т» + Тгг + Тзз) = — ((Тдд — 2гг) + (Т» — '1зз)), 3 3 Р22 — — — ((Тгг — Тдд) + (Т22 — ТЗЗ)), Рзз = — ((Тзз Тдд) + (Тзз — Т22)), (5.256) Р = Т»н Рдз = Тдз, Ргз = Тгз Этот инвариант называют интенсивноспдью тензора Т, вычислим его в декартовой системе координат: Гневе З.
Тенер ные ненни Тогда, подставляя (5.256) в (5.255), после приведения подобных членов получаем Т„= — ((тгг — т ) +(т — т ) + (т — т ) + з~ + 6(Тгг+ Угз+ Угз)) (5.257) 5.5.4. Квазиизотропный (кубический) класс Как показано в п.4.1.8, в квазиизотропном К-классе также имеется только один образующий тензор второго ранга — это Е, поэтому в спектральном представлении число пг = 1 и а00=Е, аг=сГЗ, га=1. (5.258) Следовательно, первый обобщенный девиатор Ррб такой же, как и в классе изотропии: 1 Р~г1 = — Уга~ц, Гз (5.259) где 1' (Т) = — Уг(Т).
1 ~Г~ (5. 260) Однако, по сравнению с г-классом, в квазиизотропном случае существует еще один дополнительный образующий тензор четвертого ранга — это Ол (см.п.4.1.8), следовательно, появляется возможность построения еще одного девиатора: (5.261) Ррб=т-о,"Т. Второй девиатор при этом принимает вид: 1 Р(г1 = Т вЂ” Р00 — Р(з) = Ол .Т вЂ” — УгЕ (5 262) 1ГЗ Соответствующие тензоры еГ<е1 выражаются следующим образом: еГ00 = Ол — -ЕЭЕ, Г(з) = А — Ол (5263) 3 Следовательно, общее число обобщенных девиаторов для квазиизотропии - и = 3. часто используемое представление второго спектрального инварианта в декартовой системе координат. 5.5.
Слевт вльное л елетввленне тенер ов 335 У~ Р(1) ''Р(з) = — Е (Т вЂ” О» 'Г) = 13 з = 1,(11 — беу ~~~ б' бзаТ ) = 11(11 — 11) = О, аа1 1 Р(1) Р(г) = Р(1) Т вЂ” Р(1) Р(1) = -(11 — 11) = 0 (5 264) 3 1 Р(з) Р(з) = (Т вЂ” О». Т) (О» Т вЂ” -11Е) = 3 з ~) '.(Та -Т.'.) — -11 + -11 = 0 аа1 Спектральные квадратичные инварианты имеют вид: 1(з)=Т' (Т вЂ” О» Т) Тз Š— О» (ТЭТ)=21з ) 1 з УР) = Т (О» ' 'Т вЂ” -11Е) = О» '(Т Э Т) — -15 (5 265) 3 3 Запишем теперь обобщенные девиаторы и инварианты в компонентах: з Р1(1 ) —— ~~ б' б) Т вЂ” — Узб;, аа1 -(1) ~'~ Р; = — б11, (5.266) з Р: Т13 ~~~ б'абуаТаа, -(з) аа1 Тензоры 5Г(а) имеют следующие компоненты: 1 1'(з)туы = Х~~ б|абуаб1аб»а б|уб»1~ 3 аа1 а(1)11 = б13, Проверим, что Р( ) обладает всеми свойствами (5.230) — (5.232).
Свойство (5.232) очевидно, так же как и индифферентность всех функций Р(а)(Т), так как тензоры Г(а) состоят только из индифферентных относительно К-класса образующих тензоров Е, Ь и О». Покажем взаимную ортогональность Р( ), используя свойство (5.241): Гневе З. $'ензо ные нк ии ззе з Г(з)1311 = -(быб11+ бнбуз) — ~~~ б;„б „б1 б1н. 2 а=1 (5.267) Линейный У1 и квадратичные Уг, Уз инварианты Уз = 1/2(Т11+Тгз+Тгз) (5.268).
Уг = — ИТи — Тгг) + (Ти -Тзз) + (Тгг — Тзз) ) ч'3 Матричное представление обобщенных девиаторов: 0 0 О Тгг 0 1 0 Р(з)б = Ти О Тгз 0 1 Тгз Тгз 0 (5.269) 5.5.5. (Н)-Рексагональный и (Тз)-Трансверсельноизотронный классы В этом классе существует два образующих тензора второго ранга О(,)г (см.п.4.1.8) — зто Е и езг, поэтому можно образовать два тензора а(в). а(ц =ез и а(г) =Š— ез, го=2, -г -г (5. 270) причем нх инварианты принимают следующие значения: а(1) — — езЭез езЭез=)ез~ =1 г — - — — — е (5.271) а(г) — — (Š— ез Э ез) ° (Š— ез Э ез) = 3 — 2ез ° ез + 1 = 3 — 2+ 1 = 2. Им соответствуют линейные спектральные инварианты тензора Т: 1 Уг = — Т (Š— егз) 1/2 У,(Т) = Т "е'„ (5.272) и обобщенные девиаторы Р(е) 1 Р(ц =УгезЭез, Р(г) = — Уг(Š— езЭез).
~/2 (5.273) 1 1/3 1 Ти + Тгг + Тзз (1)(1 = 3 1 Р(г)б = 2Ти — Тгг — Тзз 0 3 0 2Т вЂ” Т вЂ” Т 0 0 0 2Тзз — Ти — Тгг З.з. Свект вньнов н ввотввввннетензо ов ззг Полное число ортогональных подпространств Р~ 1 в данном случае равно п = 4, а оставшиеся два р-тензора вычисляют следующим образом: 1 Р(з) = Т вЂ” — Уг(Š— ез) + Угез (Т ее+ ез ' Т) (5 274) ~/2 Р~е~ = (Т ° егэ+ егз Т) — 2Уге~з. Г(з1 = ~ — -(Š— еэг) Э (Š— езг) — езг Эе — -(Ог Э Ог+ Ог Э Ог), 1 Г~в> = -(Ог Э Ог + Ог Э Ог). 2 (5.275) То что эти тензоры соответствуют девиаторам (5.274), проверяется непосредственно умножением Г~ ~ на Т, при этом следует учесть 4 очевидное соотношение: 1 Т ° ее+ ез ° Т = (2ез Э ее + -(Ог Э Ог + Ог Э Ог)) Т.
(5 276) 2 Справедливость (5.229) следует из построения тензоров (5.273) и (5.244). Проверим ортогональность Р~ >.. РО1 "Рбб = — езЭез" (Š— езЭез) = — Оез~ — (ез~ ) = 0 (5 277) УгУг УгУг г с/2 ~Г2 т.к. ~еф = 1. Аналогично можно установить ортогональность других тензоров Р~ р Запишем выражения для двух спектральных квадратичных инвариантов: Уе — — Р<4~ 'Рщ = (Т ° ее+ ез ° Т) ° (Т ° еэ+ ез Т)— — 4Уг(Т ° ез + ез ' Т) езг + 4Угг (5.278) Учитывая, что (Т егз) (Т 'йзг) = (ез Т ° ез)г Уг (Т ез). ез = (ез Т) езг= Уы (5.279) Тензоры Гр~ и Г<ер соответствующие этим девиаторам имеют следующий вид: Гаека 3.
тенко иеее икиии ЗЗЗ (ез Т) (Т. ез) = ез .Т, получаем У12 = 2е ° Тг+ 2У12 — 8У1" + 4У12 = 2(е ° .'Гг — У12). (5.280) Выражение для инвариантов Уз получим с помощью соотношения (5.242): узг 1 (Тг) уг 1 г уг (5.281) Запипгем компоненты тензоров а1 1 и Г( ~ в декартовой системе координат: арцг' = б1збгз, арц = 1, а12рг = б11б11+ бсгб 2, арц = з/2, (5.282) 1 1 Грц гы = -(бееб11+ бпбгз) — -(бзгб11+ бега)(бспб11+ бсгбгг)+ 2 2 1 1 + бьзбгзбгзб з — -(быб1з + бпбьз)б з — — (бьгб1з + б11бзз)б1з, 1 1 Г(еруы = -(бнб13 + бл без)ббз + -(бйуб!3 + б11 бзз)б1з — 2бззб1зб1збгз.
Выражения для обобщенных девиаторов произвольного симметричного тензора Т имеют вид: Р(ц11 = Тззб1збгз, Т11+ Т22 Т11+ Т22 Р(грг = 2 2 (б11 — б1зббз) = (быб 1+ бсгб 2), Ты+ Тгг Р(зр, = Ту— 2 (белб11+ бсзбгг) + Тззбгзб1з — (Тзбгз + Тгзбгз), (5.283) Р(2рг — — Тгзббз + Тг збгз — 2Тззбгзбг з = = Тгз(бмбгз + б1зб11) + Тгз(б12бгз + б1збг2). Инварианты У тензора Т вычисляются следующим образом: 1 — 2'ы + Тгг 1'1 = Тзз, Уг = =Т1,(б;, — б<збгз) = 2/2 2/2 З.З. Снект ввьное и еиетвввение теизо ов 339 Уз = тд ту — Тзз — -(Ты + Тгг) — 2твзТдз + 2Тзз = 2 ((Ты — Тгг) г + 4Тдгг) 2 (5.284) Уег 2(тьзТ~~ Тзгз) 2(Тг + Тг ) Матричное представление обобщенных девиаторов имеет вид: Р1д)<; = О О О, Р1г16 — — О 1 О, (5.285) о о т 2 о о о (Т» — Тгг)/2 Тдг О Р1зрд = 2ю (Тгг — 2ы)/2 О О О О о о т, Р1416 = О О Тгз Тдз Тгз О 5.5.6.
(Кз)-Квазитрансверсально-изотропный класс (5.286) тает 2, о=5, т.е. имеютсЯ два тензоРа а<о1 и тРи тензоРа 4Г1о1 четвеРтого Ранга. Тензоры а1о1 аналогичны соответствующим тензорам в (Н) и (Тз)- классах: -г аоо = ез, ар1 = Š— егз, ад = 1, аг = 2. (5.287) Линейные спектральные инварианты также остаются без изменений: 1 Уд —— Т ез Уг = Т (Š— ез). (5.288) д/2 Соответствующие девиаторы имеют вид: 1 РО1 = Удез, Роц = — 1'г(Š— йз). -г д/2 (5.289) В атом классе так же, как и в Н-классе, имеется два образующих тензоРа, Е и егз, но число индиффеРентных тензоРов четвеРтого Ранга увеличивается на один за счет тензора Ов.
Следовательно, в данном классе числа лд и и имеют следующие значения: Глава 5. '1'еиза неге ницци 340 Тензоры 4Г~а> для данного класса имеют вид: 1 ~Г(з1 = О» ез®ез (Е ез) 8(Е ез) 2 4 Г(4~ = -(О1 8 41+ Ог Э Ог) 2 (5.290) 1 Г(з) = А — О» — -(01 8 О1+ Ог ® Ог). 2 Соответствующие им обобщенные девиаторы выражаются следующим образом: Р(з1 = Т О» — Угез — — (Š— ез) ~Г2 РВВ = Т ° ез+ ез Т 2Угез Р(з) = Т вЂ” О» Т вЂ” Т ° ез гезг'Т+ 2У1ез (5.291) Уг 2(Тг ег Уг) (5.292) Вычислим инвариант Узг: Угг = Рбб Р00 = Т О» О» Т =+Угг+Уг — 2У1Т ° О» езг— 2 — — УгТ ° О» ° (Е) — езг) = 0» ° Т 8 Т вЂ” Угг — Угг. (5.293) 1/2 Пятый инвариант находим из (5.243): Узг 11(Тг) 2Тг .езг О» .
Т ® Т+ 2У11 (5 294 В декартовой системе координат тензоры а( ~ и Г( 1 имеют вид: а(191 = Азбгз а1гр' = 511а11+б'гагг, а00 = 1, арб = 1/2, (5.295) 1 Г(зргы = ~~' бвабгаз»аб1а (511511+ бпбгг)(Б»16ц + б»гАг), 2 а=1 Здесь учтено свойство (5.276). Введенные таким образом обобщенные инварианты обладают всеми свойствами (5.230) — (5.232) р-тензоров.
Поскольку девиатор Р(4) такой же, как и для (Н)-класса (см. (5.274)), то и соответствующий ему инвариант сохраняет свой вид (5.280): 5.5. Свект ввьиое и еиетвввевие тевэо ов 341 1 1 Г(ердьд = -(бйдб13+ Бибйз)бдз+ -(бьуб13+ бдббьз)Б13 — 2бьзбдзб1зббз, 2 2 1 Гдьрбьд = -(Бьдб11 + Бьгби)(бмбдг + бдгбгд). 2 Обобщенные девиаторы симметричного тензора Т имеют вид: т +т Рооц — Тззбьзбдз, Р г)11 —— 2 (бддбдд + Б1гббг) ~ Р(зу, = Т1бдз + Тбзб13 — 2Тззб;зб з, (5.296) Т„+ Тгг Р~4'дэ', = Тдб— 2 (бэдббд + бдгббг) + Тбзбдзбдз — Тд1(бддббг + бсгбд1), Р(ьуз = Тдг(бддбдг+ б<гб 1). Матричное представление этих девиаторов имеет вид: (о о о ~ (1 о од(- 1 т„+тгг Р(дрб = О О О, Рдгуб= О 1 О О О Тзз О О О (ты — 211)/2 О О Р<зддд = О (тгг — 211)/2 О О О О (5.297) о о т о т о Р141;1 — О О 2 гз, Р<5 рд — Тдг О О Тдз Тгз О ' О О О 1 Уг = — (Ты + Тгг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
