Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 57
Текст из файла (страница 57)
тензо ные нинин (А)-Ромбоэдрический класс (пг = 2, пгг = 4, пгз = 0): Я = ф1Е+ фее~э+ (фз(О1 Э О1+ Ог Э Ог)+ + ф,йз+ фз ~+ фбйзе) "Т, У' = Фгб" + фгбЯ + фзТо+(2фзТгз — 2фбТ11+ + у1е(Т11 — Тгг) ) (бэба + бз бе ) + (6А + бзбг ) (2грзТгз+ + фе(Т11 — Тгг) + 2 зэбТ11) + 2(6161 — бгбг) ( тбТ1з+ ФбТгз)+ + 2(6161 + бэба)(1рбТ1з — 'фяТгз). (В)-Ромбоэдрический класс: Б = ЗЗ1Е+ Зггез+ (Фз(О1Э О, + Ог Э Ог)+ + г'лаз + з зЛ) ' 'Т + ФбТ В ~ = 1к16 1 + Фгбзбз + 2(ФзТгз — ФеТггНбгбз + бзбг)+ + (2гбзТгз + фе(Т11 — Тгг)) (616зг + бзб~г) + фзТи+ + 241(Т1з(б'61 — бгбг) — Тгз(616~1 + 6161)) + фбТ'зТ '.
(К)-Кеаэиизотпропный класс: Б = гб1Е+ (фее+ фзОе) ..Т+ + (ФЕ Оп + ФЗ О~п + Фб~ .61) .Т Э Т, з 116 + Ф12п + Х~~ (ФЗ + ФеТоо)богбо1оо+ о=1 + тбТьТ + — (ТггТ1з(бгбз+ бзбг)+ + Т11Тгз(бгбдз + бзбг) + ТгзТгз(б',б~г + б'611)). Все скалярные функции ф-, в этих формулах являются функциями соответствуюпгих инвариантов 1; (Т).
Однако, в отличие от потен- 00 циальных функций гг.„это могут быть любые наборы независимых злп Нецатенциеиьные генка ные ницци Зег инвариантов в классе, не обязательно те, которые представлены в (5.174) - (5.183), так как для нелотенциальных тензорных функций базисные тензоры На, вообще говоря, не связаны с инвариантами (*) 1~(*)(Т). 5.7.5. Трансверсально-изотропные и гексагональные тензорные функции Эти два класса симметрии отличаются от остальных, рассмотренных выше, тем, что функциональный базис независимых инвариантов (Т) у них состоит из пяти, а не из шести элементов.
Поэтому если (*) тензорный базис Н выбирать только из тензоров производной от (е) инвариантов,то этот базис может оказаться неполным. Действительно, для Тз-класса тензоры Н , построенные указан() ным способом, имеют вид: Нг — — Š— ез, -г -г Нг =ез, пг = 2, 1 Нз= — (ОгзОг+Ог®Ог) Т, 2 (5.417) Не = (2кее — (Ог З Ог — Ог ® Ог) — 2езг 8 егз) .Т, Нз — Т вЂ” 1г(Т)Т + Е1г (Т), К ним можно присоединить еще один тензор Не, являющийся квадратичной тензорной функцией: Не = (Е З Е 8 егз) ° ° ° Т 8 Т. (5.418) В декартовых компонентах эти тензоры имеют вид: Нгп = бзбз, Йг' = б" - бзбз, ЙзУ = (бгбгз + баб~э)Тгз + (бгб~з + бз(бгг)Тгз, Йе' — — 2(Т" — Тззб" — Нз ), (5.419) Не — — Т зТ з.
Йзб = Т(ьТзг — 1гТВ + 1гб'1, Все шесть тензоров являются линейно независимыми, в чем можно убедиться непосредственно, составив определитель матрицы Й з размером 6 х 6 с компонентами (5.411), а в качестве Й'У использовав (5.419). Этот определитель, очевидно, будет отличен от нуля, если Глава З.
тенер ные нации компоненты тензора Тб взять как максимально возможные (см. замечание к п.4.4.4). Заметим, однако, что все инварианты, образованные из тензора Не, например: Не 'ез = Тзз -г -з Не Е = Т'зТз, Н, "Т = Т зТ', Ту, (5.420) (з) (з) уже не являются независимыми и выражаются через 1, ...1з (см. упражения к з4.5). Тем не менее тензор Не, являясь индифферентным относительно Тз-класса (что следует из индифферентности Е и ез в (5.418)), замыкает систему (5.417) базисных тензоров Н и делает возможным при() менение далее всей процедуры выражения тензоров ез и Оа согласно (5.412). В итоге для трансверсально-изотропной тензорной функпии (5.390) доказываем возможность представления (5.414) и, следовательно, (5.391) и (5.397).
В явном виде это представление будет иметь вид: Я = ф~Е+ ф~е~~ + ~фз(Оз З О + Ог З Ог)+ + У)е Ь) ' 'Т+ У)зТ + Фе(Е З Е З езз)(ыеззз) ° Т З Т, (5.421) или в компонентах У~ = 4~5'У + ФгЮзбз + 2фз((бзбз + МЙТзз+ + (5',5з+5МТзз) + феТо + РзТ Т„' + РеТзТз, где все з)л являются функциями пяти инвариантов, например 1, (з) Фа = Фа (2ы+Тзз,Тзз,Тзз+ Тзз,Там + Тззз+ 2Т~~,с(е( Т), (5 422) а = 1,..., 6. Сравнивая (5.421), (5.422) с (5.182), находим, что в отличие от других рассмотренных выше классов симметрии, различие между потенциальными и непотенцизльными трансверсально-изотропными функциями заключается не только в том, что (в в (5.182) потенциальны, а у) в (5.421) — нет.
Для непотенциальной функции появляется еще одно квадратичное слагаемое и, соответственно, дополнительная функция Фе Все проделанные выше построения, а также итоговое представление (5.421) и (5.422), справедливы и для случал гексагональной тензорной функции, поскольку тензор Не является, очевидно, индифферентным и относительно Н-класса. На этом завершим доказательство теоремы 5.14, оставив изотропный случай как отдельное утверждение. А 5.7. Ненотенниеиьные тенер ные нинин збэ 5.7.6. Теорема об инвариантах тензоров, связанных тензорной функцией Перед тем как перейти к изотропным тензорным функциям, установим связь между инвариантами Хт(Т) тензора Т и инвариантами 1т(Б) тензора Б относительно одной и той же группы С„если эти тензоры связаны, вообще говоря, непотенциальной тензорной функцией (5.389), индифферентной относительно С,.
Каждый из инвариантов Хт(Т), у = 1...г, является, как было отмечено в п.5.2.1, скалярной тензорной функцией, индифферентной относительно группы С„т.е. удовлетворяет условию (5.856): .ЦТ) кк Х (6)' Т. 4~), ~Х~~ я (~,), (5.423) где ке - тензор линейных преобразований из группы С,. Построим теперь некоторый инвариант 1„'(Б) тензора Б относительно той же группы С,.
Знак "г" означает, что структура зависимости 1 от Б может отличаться от любой из функций Х„(Т), но из инвариантности Е, вытекает, что 1'(Б) = 1'Я Б 43), И3 Е (С,). (5.424) Так как Б является функцией от Т, то ~1 (Б) можно рассматривать как некоторую скалярную функцию от Т: (5.425) 1 (Б) — 1 (3с(Т)) — 1 (Т). Покажем, что эта функция 1'(Т) также является индифферентной относительно С,.
Используем свойство индифферентности функции (5.389), которое можно записать в виде: С~~ ° .г(Т) ° е1 = У(ь1~ Т ее). (5.426) Тогда инвариант ~1 при линейных преобразованиях в группе С, пре- образуется следующим образом: 1 (Т) — 1 (У'(Т)) — 1 Я У'(Т) Я)— 1 (У-Ят Т Я)) 1 (от Т ф (5 427) т.е.
удовлетворяет свойству (5.423). Но всякая скалярная функция от Т, индифферентная относительно С„является по определению инвариантом относительно этой группы. Таким образом, доказана следующая теорема. Глава 3. 'Генка аые напив 370 ТноРЕМА 5.15. Если два тензора Б и Т связаны индифферентной относительно Оо тензорной функцией (6.888), то любой инвариант от одного тензора 1 (Б) является одновременно инвариантом другого тензора Т относительно той же группы симметрии ок,.
5.7.7. Теорема о соосности тензоров, связанных изотропной тензорной функцией ТеОРЕМА 5.16. Пусть два симметричныя тензора Б и Т связаны тенэорной функцией (5.880), являюоцейся индифферентной относительно иэотропного класса 1 (такие функции будем называть иэотропными), тогда эти тензоры Б и Т являются соосными (см.
п.1.6.1), т.е. имеют один и тот же собственный базис. Ч Как было показано в п.4.1.5, всякий симметричный тензор Т обладает группой симметрии Од, принадлежащей к классу О-ортотропии, причем оси анизотропии е' совпадают с осями собственного базиса о о е„. Иначе говоря, Т индифферентен относительно О -класса, т.е. для него выполняются соотношения (4.17): Т = С~'т ° Т ° Я', ЧЯ' б (0~~), (5.428) где С)' - ортогональный тензор линейных преобразований из группы / о ортотропии Од с осями анизотропии вдоль е„. Составим теперь тензор: О'т ° Б ь)' и преобразуем его следующим образом: (3 Б (3'=(3~ ус(Т) Я'=У(б)~ Т Я') =Х(Т) =Б.
(5.428') Здесь учтено, что У (Т) - изотропная функция, следовательно, для нее второе равенство в строке имеет место для произвольного ортогонального тензора, в том числе и для Я'. Из соотношения (5.428') следует, что тензор Б индифферентен относительно той же группы ортотропии Од. Но ортотропный тензор второго ранга, как было установлено в п.5.1.7, имеет диагональный о вид в осях анизотропии, а значит оси анизотропии е' = е< совпадают с собственными направлениями тензора Б в силу единственности последних. Таким образом, действительно собственные базисы тензоров Б и Т совпадают, А 5.7.8.
Представление изотропной функции в тензорном базисе Рассмотрим вновь тензорную функцию (5.389), предполагая ее индифферентной относительно класса изотропии. Поскольку тензоры Б 2.7. Непотенниепьные тенко ные нкпии 371 и Т, связываемые этой функцией, соосны, то их можно записать в едином собственном базисе: з з Бек~~ Я е Эе, Тек~~ Те Эе . (5.429) «=1 «=1 Выберем в качестве базисных тензоров Н следующие: з з Н1 — Е = ~еа Э о«~ Нз — Т = з Таеа Э о«~ (5.430) а=1 а=1 з Нз — Т = ~' Т е«Эеа. «=1 Поскольку при изучении инвариантных характеристик мы рассматриваем тензоры с максимально возможными ненулевыми и различными компонентами (см.п.4.4.4), то эти тензоры На всегда будут линейно независимыми.
Тогда так же, как это было проделано в п.5.7.3, можно рассматривать (5.430) как систему линейных уравнений отноо о сительно трех тензоров е Э еа. Найдем эти тензоры: з о о еа Э еа = ~ ФавНВ~ 33«1 (5.431) причем коэффициенты 333 в зависят только от Т, которые являются инвариантами тензора Т: 333«В 'т«В(11(Т),12(Т), 12(Т)). (5.432) Подставляя далее тензоры (5.431) в (5.429), получим представление тензора Б по базисным тензорам НВ. Оно состоит из трех слагаемых: Б = 3)31Е + Ф2Т + 42Т~, (5.433) где 133 = Х~~ Ф«В'Ба ° а=1 (5.434) Рв = Ь(11(Т) 12(Т) 12(Т)).
Таким образом, доказана следующая теорема. (5.435) ПОСКОЛЬКУ 73«В яВЛяЮтСя фуНКцИяМИ От ИНВарнаитОВ тЕНЗОра Т, а СОб- ственные значения Я тензора Б согласно теореме 5.15, всегда можно считать функциями от 1 (Т), то функции 3)оя — тоже есть функции от инвариантов тензора Т: 1'н«««з. тенер ные нинин зтэ 5.7.9. Полиномиальные изотропные тензорные функции Рассмотрим непотенциальную изотропную тензорную функцию от несимметричного тензора Т, а именно полиномиальную функцию, образованную тензорными степенями: Б = ут(Т) = соЕ+с1Т+ сзТ2+ сзТз+ ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
