Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 56
Текст из файла (страница 56)
(5.386) Здесь э/2Уэ = ((Т11 — Тгг) соз 2ф — 2Т1г зш 2ф(, зу2У5 — — ((Т11 — Тгг) ьйп 2ф+ 2Т1г соэ 2ф(. (5.387) Укороченное спектральное представление (соотношение (5.336) между девиаторами) для тензорной функции (5.374) и плоского состояния приобретает вид: З.7. Неаотенинаоьные тенор ные нкиии 359 Важный частный случай представляют соотношения (5.386) при ф = к/4: Ягг + Ягг = Сгг(Тг, + Тгг), Я',г = Сзз(1+ ыз(Л~Тгг)))Тгг (5.388) Ягг — Ягг = Сьз ~1 — ыз ( — '~у= (Ты — Тгг) ъ~2 )) таким образом соотношения (5.388) являются двойственными к (5.382), записанным в осях анизотропии Ох'.
'3 5.7. Непотенциальные тензорные функции 5.7.1. Представление непотенциальных функций в тензорном базисе (5. 389) 5 = Г(Т) или У =Г'(Ты), (5. 390) где Б и Т вЂ” симметричные тенэоры второго рангщ тогда эту твензорную функцию всегда можно представить в виде суммы: о В=~ ф.НР1, (5. 391) о=1 где гр - скалярные индифферентные относительно С, функции инеариантов тензора Т: = ф (гг('1(Т),...,гР1(Т)), сз =1..., (5.392) а тенэоры Н~' являются либо тензорами-константамиг (5.393) Наиболее часто в механике и физике применяются рассмотренные выше потенциальные тензорные функции, однако в ряде случаев встречаются также функции, не обладающие потенциалом гр. Рассмотрим зти функции. Творима 5.14. Пусть имеется тснзорная функция (5.1) второго ранга, являющаяся индифферентной относительно некоторой группы О, (т.е.
для нее выполняются условия (5.8) и (б,р)), но, вообще говоря, не обладающая свойством потенциальности (б,Ц1)г Глава 3. Тенва ные нилин збо либо линейными пзензорными функциями оп1 Т: НР)= Н11 ° .Т, а = т+1...9, (5. 394) либо квадрапьичными пзенэормыми функциями: На ~= НД~ ТЭТ, а=9+1...л. (5.395) Число и, очевидно, не может быть больше 6. Тензоры Н1о) вН11) и вН111 (5.396) В=~ ф.(71')...14 1)Н1о1+ ~' Ф.(7,"...ф1)'Н~'1 "Т+ аа1 лат+1 + ~ Ф.(710'...701)вНД) ""ТЭТ.
(5.397) аия+1 Покажем теорему 5.14 и возможность представления (5.397) конструктивным способом, т.е. указав метод построения тензоров Н 1о1 вН~ 1 и вН~„~. Этому посвящены пп.5.7.2 — 5.7.5. 5.7.2. Триклинные тензорные функции е Рассмотрим вначале тензорную функцию (5.390), индифферентную относительно триклинного Е-класса. Лля тензора Б, как для всякого симметричного тензора, можно записать его представление в диадном базисе, выбирая в качестве векторов базиса ем с которыми связана группа симметрии С,: я = Узе; 8 е = у1(Т11)е; 9 е . (5.398) Если этот тензор Б зависит от тензора Т, то компоненты УУ в этом представлении являются функциями от компонент т11, что и отражает второе равенство в (5.398).
Введем теперь обозначения: у. а(Ты) фа+э — 2Г~~(Т ) а 13'7: 1 2~3 аф)Зфу (5. 399) являются индифферентными тензорами относительно группы С, и состоят из образующих тензоров группы С,. Подставляя (5.392) — (5.395) в (5.391), получим предспзавление непопьенциальмой функции в пьензорном базисе." 2.7. Нецотенциеиьные тенко ные акции Зб1 тогда (5.391) можно записать в виде: (5.400) где О иеееее,+е-,®еи (см.
табл.4.1). Сравним теперь это представление (5.400) с представлением (5.174) в тензорном базисе для потенциальной тензорной функции, индифферентной относительно Е-хласса. Формальные записи этих представлений совпадают, причем в (5.174) коэффициенты у, а = 1... б, являются скалярными индифферентными потенциальными функциями инвариантов тензора Т относительно Е-класса, т.е. зависят от всех компонент Т;,. В представлении (5.400) Ф также согласно (5.399) зависят от всех шести компонент Тз'. Если кроме того мы потребуем от тензорных функций (5.390) индифферентности только относительно триклинного класса, то функции (5.399), очевидно, будут скалярными функциями, индифферентными тоже относительно Е-класса.
В самом деле, при переходе из декартовой системы координат х1 в другую Х', получаемую с помощью линейного преобразования (3.1) с матрицей В', соотношения (5.399) преобразуются согласно (5.9) следующим образом: В" В" У~'~'(Т1'1') = У'"(В" В2' Т""). Э, 2, 1~ 12 (5.401) Но для трихлинного класса В' = б12о поэтому соотношение (5.401) превращается в тождество и вйполняется всегда, следовательно, у будут индифферентными скалярными функциями. Таким образом, существует единственное отличие между (5.174) и (5.400): в первом случае функции 1о потенциальны, т.е. удовлетворяют условиям взаимности (5.184), а в (5.393) функции Ф вЂ” вообще говоря, нет. Они являются произвольными функциями инвариантов тензора Т в трихлинном классе: Фа — Фа (Т111 Т22, ТЬЪ Т22, Т21, Т12) (5.402) то, очевидно, представление (5.400) будет в точности совпадать с (5.391).
Отсюда следует, что для триклинного класса представление Следовательно, представление (5.400), полученное без каких-либо предположений, является общим представлением для индифферентной относительно Е-яласса тензорной функции. Из него, в частности, следует, что если функция (5.390) потенциальна, то коэффициенты ~р не произвольны, а удовлетворяют условиям взаимности (5.184). Если теперь в (5.400) обозначить тензоры хах Глава 5.
тенко ные нилин 362 (5.391) действительно существует, причем линейные и квадратичные тензорные функции в нем отсутствуют: Н»Ц =0 и Н» ) =0, ткал=6. (5.404) 5.7.3. Доказательство представления функций в тензорном базисе Докажем теперь возможность представления (5.397) для тензорных функций из следующих классов симметрии: М, О, Т, Кз, А, В и К, исключая пока трансверсально-изотропный (Тз), гексагональный (Н) и изотропный (7) классы.
Выберем для каждого иэ этих классов функциональный базис независимых инвариантов тензора Т: 7»') = 1»')(Т), а = 1...т. (5.405) Число т этих инвариантов относительно указанных выше классов, как следует из теоремы 4.24, максимально и равно шести. Данные инварианты являются линейными, либо квадратичными, либо кубическими функциями от Т (см. (5.169), (5.170)). Введем обозначения: т - число линейных и (д — т) - число квадратичных инвариантов. Дифференцируя инварианты (5.405) по Т, получим тензоры производной (см.п.5.2.2), для которых введем обозначения: дД;» Н~»= —, а=1,...,о, в=т=б.
(5406) дТ ' Используя правила дифференцирования инвариантов (5.171), получим, что НЛ„'~ = Н», ~ = йй'~, а = 1,, тл, Ни»') = 2 йи»')»0 ° Т, а = т+1,...,д, (5.407) Н»') =3'й»'И)""ТЭТ, а =д+1,...,в. Введем обозначения для тензоров-констант: еН»й = 2~й»')» ), а = т+ 1,...,д, (5.408) еН»2) = 3ей»'»»0 а = д+ 1 и Как было показано в п.5.2.6, для всех групп симметрии тензоры й», ~, ~йл» ) и ей» ), а, следовательно, и Ни» ', ~Ни» ~ и еН», ~ являются инднфферентными относительно соответствующих групп С,. Это означает, что и тензорные функции (5.407) также индифферентны.
Зоц Ненотениинньныетензо ные иннин зез Кроме того, тензоры Н„', а = 1...и, для фиксированной группы (~) С, — линейно независимы. В самом деле, в противном случае можно было бы выразить какой-либо тензор через все остальные: Н(*) = С й Н('). а=1 аД) Но согласно (5.406), тогда имело бы место соотношение между инва- риантами: 1 ' — ~~~ ' й ~1") = сопя), «=1 айй что противоречит условию о независимости 1 (~) Поскольку На являются симметричными тензорами второго ран(а) га, то их можно всегда представить в декартовом базисе: (5.409) Используя тензоры ез и О, это представление можно записать подобно (5.400): где обозначены компоненты тензора: (5.411) Йад = Йанн,,) = 1, 2, 3, Й вЂ” 2Йзз Низ 2Йо Йае = 2На . На (5.410) можно смотреть как на систему шести линейных уравнений относительно шести неизвестных тензоров ецз и О)з, )3 = 1,2,3.
Поскольку тензоры Н вЂ” линейно независимы, то решение такой сис() темы существует и его можно записать в вице: (5.412) а=1 О)) Х~~ фе.~.д а На( ~ )3 1~ 2~ 3~ аа1 Глава 5. тенко ные ницци зе4 где коэффициенты 5)5 )5 зависят от Й д и, следовательно, являются функциями Й", а значит и от компонент'Т11 тензора Т: "55ав = 5)5а~3(Т ) (5.413) Однако, вообще говоря, 5)5 д не являются функциями инвариантов 7" (Т). Используем теперь для тензора Б представление (5.400) в декартовом базисе и подставим в него выражение (5.412): з е 5=)') (5 5.5Н555-5.„5.,55в)'). 55.514) аа1еа1 Вводя обозначения для коэффициентов е 1 55=1 (5А 55-5 5,5), 5=1...5, 554155 2 аа1 из (5.414) получаем искомое представление (5.391). Коэффициенты 5))д В ЭТОМ ПредставлЕниИ действИтельНо яаляютея, в отличие от 5)5 и 5)5 в, индифферентными скалярными функциями от Т, так как Н„(Т) и сама Я(Т) по условию — индифферентные функ() ции.
Тогда 5)5в всегда можно считать зависящими от инвариантов 7,„' (Т) в виде (5.392). Таким образом, возможность представления тензорной функции в виде (5.391), а также теорема 5.14 доказаны. Подставим теперь выражение (5.407) в (5.397). В результате получим: В = ~~ ф.11(5) + ~~ 2ф.'11(5)( ) Т+ а=1 «а5и+1 + ~~5 3Ф а(„*)(') Т Е Т. (5.416) акя+1 Сравнивая это выражение с (5.172), убеждаемся в их формальном сходстве, однако в (5.172) функции (55 не произвольны, а потенциапьны, т.е. удовлетворяют условиям взаимности (5.184). На 5)) в (5.416) этого ограничения нет.
Итак, показано, что произвольная непотенциапьная, вообще говоря, тензорная функция (5.390), индифферентная относительно группы С„ З.т. Нецотеициеиьиые тенко ине акции может быть представлена в тензорном базисе в виде квадратичной функции (5.416). 5.7.4. Непотенциальные тензорные функции для различных классов симметрии Лля конкретных классов симметрии: Е, М, О, Т, Кз, А, В и К вЂ” представление (5.416) формально совпадает с соответствующими представлениями (5.174) — (5.181) для потенциальных функций, однако функции р в них уже, вообще говоря, непотенциальны. Учитывая произвольность непотенциальных функций 1о в (5.174) - (5.181), выражения для тензорных функций в некоторых классах можно упростить, обозначая комбинации из у, стоящие при индифферентных тензорах, новой буквой. Ниже представлены непотенциальные тензорные функции различных классов, преобразованные таким образом.
(Е)-Трцклцнныа класс: вид тензорных функций совпадает с (5.174). (М)-Моноклцнныб класс: вид тензорных функций совпадает с (5.175). (О)-Ортпотпропный класс; вид тензорных функций совпадает с (5.176). (Т)-Тетираеональный класс: Б = тбтЕ+ т(тге~~+ (тбз(Ог Э Ог+ Ог Э Ог)+ +Фи(е',Эе',+егэег)+Фз|1+Фвйзь) "Т о т = тргб т + тбгбзбз + 2тттз((бгтбз + бэбг)Тгз+ + (б~гбз + бзбг ) Тгз) + тбь (бг бг Тг г + бгбзгТгг) + т)теТч+ + фа((бЯ + бгбг)(Тгг — Тгг) + 2Тгг(6Я вЂ” бгбг)). (Кз)-Квазипгрансверсально-цзапгропныц класс: Б = тбгЕ+ т)тгез~+ (фз(Ог Э Ог+ Ог Э Ог)+ + тбе(е~г Э ег~ + ег гЭ ег г) + фзг2 ) ° Т + таз Т, Вт' = Ф,бтт + Фгбзбз+ 2фз((бгбз+ бзбг)Т + + (бг бтз + бзбг) Тгз) + т)ьт(бгбгТы + бгбгТгг)+ + тттзТ + т'вТ ьТ Гноив 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
