Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это представление впервые было установлено Б.Е.Победрей. Подставляя в первые пь соотношений (5.336) выражения (5.323), получаем: (5.338) Главе 5. 'Генко ные ницци 350 5.6.4. Спектральное представление линейной тензорной функции Ф = Фо+ — ~~' Спд1п ~1'5 + ~~~ Спп1'в )з, (5.341) а,5=1 п=п»+1 где Све - константы. Подставляя это выражение в (5.338)получаем, что линейные инварианты связаны только с линейными, квадратичные — с квадратичными: п=1 (5.342) Подставляя теперь (5.342) в (5.336), имеем Р( ) — — С»„„Р( ), а = та+1...и. (5) (т) (5.343) Если же подставить (5.342) в (5.340), то получим полное спектральное представление линейной тензорной функции: ,(т) и Б = Х~~ Свй а(п) + Х~' СааР( ).
Р (т) а,еи1 п=п»+1 (5.344) Наконец, если в (5.344) подставить определение (5.237) линейных инвариантов и (5.232) девиаторов, то линейную функцию приведем к явному виду: и Я (~~," =да,„,,Ра„,, ~; С 4Р,,),.Т-4С..Т (5345) п,)Зн1 «=и»+1 где п» и 4 ~аД С = ~~~ — а(п) З а(5) + ~~» Свн Г(п) (5 346) в,5=1 опав п=п»+1 Если тензорная функция (5.324) - линейная, то, как было показано в п.4.4.4, потенциал»)» представляет собой сумму квадратичных инвариантов тензора Т и квадратов линейньпс инвариантов.
С использованием спектральных инвариантов потенциал )) для линейной функции имеет вид: З.Е. Снект впьные и енетввпенив квввипинейнык нкпий 351 С 4Г( )""а(-,)®а(4) = О, а = та+1...п, у,б = 1...гл, (5.347) О, Сава(э) Э а(4) ' ° ° а(в) Э а(5) = г г С вавад, 4 (О. е-и а~(, (, Гг если а =,В, если (а,)3) ф (у,б), ~,Ау,б = 1...ж, если (а,)9) = (у,б), а,(э' = нг+ 1...л, и из (5.346) получаем: Св)э = (1('(авав))а(в) ° 4С .а(5), а,)3= 1...пг, (5.348) Сав = (1/Гв) С Г(е)~ а = гп+ 1 ° ° ° л Далее рассмотрим спектральное представление тензорных функций, индифферентных относительно различных классов симметрии. 5.6.5.
Спектральное представление изотропных тензорных функций Пусть квазилинейная тензорнэл функция (5.324) является изотропной, т.е. индифферентной относительно класса изотропии. Тогда спектральные представления (5.319) тензоров Т и 6 имеют вид (5.250): 6 = р(5) + -11(В) к 1 3 Т = Р(т) + -71(Т)Е 1 3 (5.349) где Р(5) и Р(г ) - девиаторы. Спектральные инварианты тензоров вычисляются следующим образом (см. (5.245), (5.255)): У1(т) = — 1,(Т), /з У ) = — 11(Я), (5.350) ./з у(т) Т (р(т) р(т))1)г у(5) б (р(5) р(5))1/г является тензором четвертого ранга, задающим линейную функцию. В силу единственности линейной функции, это тот же самый тензор, который был введен в п.5.1.9. Формула (5.346) устанавливает связь между 4С и двухиндексными константами С 5.
Получим обратные к (5.346) соотношения. Образуем для этого свертку тензора С с тензорами (1/(а-,аз))а(,) 8 а(4), а затем с Г( ). Тогда, учитывая результаты упр.5.5.1: Гневе 5. тенко ные нкцнн 352 Соотношения (5.338) между инвариантами представляют собой две функции от двух аргументов: е'2(Те~12 )) < (5) (т) ~„= )ез(Т„, У ). (т) (5.351) Укороченное спектральное представление (5.330) изотропной квазили- нейной функции имеет вид: (5.352) Полное же спектральное представление имеет следующий вид: У( ) Т У( ) Б = — (<Рз(Ти1У ) — Рз(Ти, У ) ~ ~) Е+ ~ Т (5 353) Частным случаем являются соотношения (5.351), в которых линейные инварианты связаны линейно, а квадратичные — нелинейно: < 1 (5) 3КУ(т) Яе = 20(1 — ы(Ти))Ти, (5.354) 1 (Я) 3КУ(т) Р(з) 20(1 „,(Т ))Р(т) (5.355) Если функцию ы(Т„) выбрать в виде: О, Ти <Т', (1 — й) (1 — (Т" (Т„)), Ти > Т' (О < й < 1), ы и ~ ~ ~ ~ | и 1 и | ~ | | ] С 5 ~ 3 5 6 > то функция Яи ее Я„(Т„) является кусочно-линейной: 20Ти, Ти <Т', Яи ее ' ' (5.357) 20 (1 — (1 — й)(1 — (Т" /Т„))) Ти, Ти > Т".
здесь К и 0- константы, а ы(Т„) - нелинейная функция А.А.Ильюшина, удовлетворяющая условию ы(0) = О. Тогда укороченное спектральное представление (5.354) принимает вид: 5.5. Спекк вльные и екскввлвння кввзнлннвйнык нкпнй 353 5.6.6. Трансверсально-изотропные функции = — Т .(Š— ез) =— (т) 1 Т .2 -2 У1 =Т ° ез, (т) Уз — — Т Е вЂ” (Т ° .Е) + -(У, + Т Е)г — 2Тг ег, (5,358) 1 2 1'(т] — 2(Тг сг 1 (т]г) 11 = — Б (Š— ез) = —, (5) 1 Я У2 ,/2 ' У( ]=Б ег У = Б ° .Š— (Б Е) + -(У + Б Е) — 2Бг ° ег, (5.359) 1 2 1 (з)г 2(Бг -г у(з]г) Соотношения (5.338) между четырьмя инвариантами У и У„ (т) представляют собой четыре функции от четырех аргументов: У(~) = (в(~)(У1( ] У( ]), а = 1,...,4.
(5.360) Полное спектральное представление (5.340) с учетом (5.270) имеет вид: 1 Б = ~р~(у~1') у4('])ез+ у рг(уг('] у4('])(Е- ез)+ ~/2 + Р + 'рз(У1 ... У4 ) (т] <р4(У1 ...У4(Т)) (т) у(т) (3) у(т) р(4] ' 3 4 (5.361) В случае линейной трансверсально изотропной функции все )р линейно выражаются через инварианты Уд (т) рр1 = С11У1 + С11Уг, рг = С11У1 + СггУг (5 362) (т] (т) (т] (т) ~р4 = С.4У,', (т) (Рз = Сзз1 з (т) где С р — константы. ~1 Трррорнрр иснкррняр Пусть теперь функция р-(Т) — трансверсально изотропная, т.е. С, = Тз.
В этом случае четыре инварианта тензоров Б и Т имеют вид (см.п.5.5.5): Глава З. тенер ные нк ии 354 В декартовой системе координат линейное соотношение (5.361) имеет вид: ~Сгг — Сгг -1 513 = (СыТзз+ СггТ)бзббз+ ~ — Тзз+ — Т) (бггбуг+ бггбуг)+ ~ с/2 2 ) + Сзз(Тгб (бмбу1+ бзгббг) + Тззбвзббз Тгзбгз Тбзбгз)+ + С44(Т|зббз + Тузб|з — 2Тззб;збуз). (5.363) Сгг Сгг+ Сзз Сггзз = Сызз = = Сыы = ъ/2 2 ) Сзззз = Сы 2Сгзгз —— 2Сгзгз = С44 2Сшгг = Сзз. (5.364) Рассмотрим пример нелинейной трансверсально-изотропной функции. В просегейеаей модели функция еги имеет вид: <Рг — Сы(1 юг(У1 ))Уг + СЗЗУЗ (т1 (т1 ~т1 <рг = СьгУ, + Сгг(1 — ыг(УЗ ))Уг (5.365) фз = Сзз(1 — ыз(Уз ))1З ~ Р3 = С44(1 — ы4(У4 ))14 т.е.
имеется только четыре нелинейные функции ы„(У ), зависящие <т> от одного своего аргумента. Аналитическое задание этих функций можно осуществить тахже с помощью кусочно-линейных функций: ы ы О, (у<т1) (1 — йа) (1 — -ф-), Уа ~) Т', ег = 1...4, где Т' — пределы пропорциональности, а й = С' /С вЂ” отношение тангенсов углов наклона функций ы (У ) в нелинейной и линейной <т1 областях. Сравнивая это представление с выражением (5.21) Я< = СуыТы для различных случаев: Тзз ф О, остальные Ту — — 0; Ты ф О, остальные Т;, = О; Тгз ф О, остальные Т;; = О, находим связь четырехиндехсных компонент С; ы с двухиндексными С;з.' 5.6.
Спект вльиыеп епетввлеииккввеилииейиык ккпий 355 6.6.7. Ортотропные функции Рассмотрим ортотропные функции (5.324). В этом случае тензоры Б и Т имеют по шесть инвариантов (см.п.5.5.7): (5.367) Уе = — (Т (ег Э ез+ез Э ег)) = 2Тгз, (т)2 — — — — 2 2 2 Уз = — (Т (е,®ез+езЭег)) =2Т,з, (т)2 1 — — — — г 2 Уе = — (Т ° .
(ег Э ег + ег Э е1)) = 2Т122, 2 (5.368) о =1,2,3; Уе = — (Б ° (ег Э ез+ ез Э ег)) = 2Бгз, (з)2 1 2 -2 2 Уз = — (Б ° (егЭ ез+ ез Э е1)) = 2Б12, (З)2 - — — — 2 2 2 Уе — — — (Б ° (ег Э ег+ ег Эег)) = 2Б12, (5)2 1 - — — — 2 -г 2 3 6 , (т) , (т) Б=~ (У( ) У( ))ег ь 52"( 1 "° 6 )Р( ) (5369 К к(аа 1 ' 6 а+~~ (т) (а)' а=1 а=з В декартовой системе координат это соотношение имеет вид: з Б11 = ~~~ (па(У1 ..Уе )Тааб|абба+ 226(У1 ° ° ° Уе )712(б11буг+ (т) (т) - (т) (т) а=1 + бггб)1) + (65(У1 ...Уе )Т12(быбгз + б12611)+ (т) (т)— + (ве(У1 ° ° ° Уе )Тгз(512512 + б1збуг), (т) (т)— (5.370) где Уе'*' = Л)Т„(, У,"' = Г2)тгз(, У,"' = Л)тгз!. (5.371) соотношения между которыми имеют общий вид (5.338), т.е.
представляют собой шесть функций от шести аргументов. Полное спектральное представление (5.340) имеет вид: Гневе З. тенге ные иванн ззе (5.373) 5.6.8. Квазитрансверсально-изотропные функции Зля квазитрансверсально-изотропной функции р тензоры Т и Я имеют по пять инвариантов У и У (о = 1,... 5), которые можно <т) (з1 выразить по формулам (5.288), (5.293) и (5.294). Из этих инвариантов два являются линейными: Уа (а = 1,2) и три — квадратичными: (т1 Уа (а = 3, 4, 5).
Соответствующие тензоры а< 1 (а = 1,2) можно определить из формул (5.295). Тогда полное спектральное представление (5.340) для квазитрансверсально-изотропной функции имеет вид: 6 Уг(Уг Уз )Азббз+ — Рг(Уг Уз )(бб бгзббз)+ (т) (т) 1 (т1 (т) ~Рз(Уг " Уз ) (т1 (т) + ~т> (Тязббз + Тузб;з — 2Тззб;зббз)+ 1з Ст1 <т) + ~Ря(У, ...Уз )(Т Ты+ Тгг(б б +б б )+ Уя 1 + Тззбгзб,з — Тгг(бцббг + бггббг)+ (у(т1 .
(т1 + ' Тгг(бггббг+ бггб г). (5.374) В случае линейной функции у линейно выражаются через инва- рианты Уг,..., Уе (т) [т) ~рг — — СыУг + СггУг + СгзУз <т1 (т1 <т1 ~рг = СггУг + Сгг1г + СгзУз (т1 (т1 (т> (5.372) =С У +С У +С 1' (т1 (т1 (т1 ~Ря = СяяУя, ~оз = СззУз, уге = СееУг <т1 (т1 <т1 Простейшая нелинейная модель ортотропной функции предполага- ет, что гог = СыУг + СггУг + СгзУз (т1 (т1 (т1 Р, =С„У, +С„У, +С„1, щ (т) (т1 узвес,зУг +С,.1; +Сзз(1- (У, ))Уз (т1 (т1 (т1 (т1 ~оа = Саа(1 — «'а(Уаа ~))Уаа 1, и = 4,5,6, т.е. имеем четыре функции одного аргумента ыа(Уа ), вид которых <т1 может быть выбран также как (5.366).
5.6. Слект вльные н еветввленив квввилинейных нквий 357 Инварианты Уа (а = 1,...,5) в декартовой системе координат (т) имеют вид (5.298), (5.299). В нросвгейевей нелинейной модели квазитрансверсально-изотропные функции ~р» выбирают следующим образом: (5.375) а=3,4,5, где С в — константы, а 1в»(У ) — нелинейные функции. Согласно (2') степенной модели выбираем их в виде: где У„', У,„и н» вЂ” коне гав гы мод~~и. Рассмотрим частный случай нлосноео состояния, когда часть компонент тензоров Т и Я равна нулю: Тгз = Тгз = О, 1 = 1, 2, 3, (5 377) огз = О, а остальные компоненты отличны от нуля (заметим, что компонента Тзз может быть отлична от нуля).
Тогда инварианты и девиаторы имеют вид: У1 = О, Уг = — (Яп+ Ягг) 1/2 (5.378) (т) 1 = — (Т +Т), ,/2 У1 = Тзз (т) 12 1Т11 Тгго 14 1/2 Уз") = Л(т„), (5.379) р(з) (з) (З)Ы (З)22 2(»11 агг) (з) Р(5) 12 — »12 ~ остальные Р(т) (т) 1 (з)ы = -'(з)гг = 2(Т11-Тгг) (т) Р(5)гг =Тгг остальные 'те1 = С11У1 + Сгг1 г (т) [т) 772 = СггУ1 + СггУг (т) (т) 'т1» = Саа(1 »1»(У» )Уа ) (т) (т) Уз — — — (о11 — Ягг(, У1 — — О, Уз — — ч 2(о12); ~/2 Р( )" =0 (а)11 (5.380) Р(.')б — О. (т) (5.381) Глава 5. тенер ные ницци 358 511+ Ягг = Сгг(Ты + Тгг), 511 — огг = Сзз (1 — юз ( (Ты — Тгг) (5.382) / т„- т„'1'1— 2 51г = Сэз (1 — юэ(э/2~Т1г~)) Тгг Часто необходимо иметь запись тензорной функции не в осях анизо- тропии Оя;, а в осях Оя'э повернутых вокруг оси Ояэ в плоскости кваэиизотропии на угол ф.
Тогда Т и Я,' в этой повернутой системе координат связаны с Т;, и ог соотношениями: где созф зшф О Р; = — 51пф созф О О О 1 (3.384) — матрица поворота, или в явном виде: Ты — — Т' соэг ф + Т' 51пг ф — Т,', эш 2ф, 2гг = Т1, 51п ф + Тгг соз ф + Тгг В1п 2ф, (5.385) Тгг —— -(Т,' — Тг) 51п 2ф + Т'г соз 2ф. 2 Соотношения (5.382) в повернутых осях примут вид: 511+ Ягг = Сгг(Т11+ Тгг), (811 — Яг) соз 2ф — 2811г эш 2ф = Сзэ(1 — из(Уз )) х (т1 х ((Т,'1 — Тгг) соз 2ф — 2Т1г эш 2ф), (511 — Ягг) зш2ф+ 251~э соз 2ф = 2С55(1 — в15(У5 )) х (т) х ((Ты — Тгг) зш2ф+ 2Т', сов 2ф).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
