Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 51
Текст из файла (страница 51)
тиевв 5. Тенте иые акции Ош'вднлннин 5.9. Часптнмй клаСС тПЕНЗорных потпенциальных утункций (Б.Ц1), для котпврых разложение ф.172) по тпензорному базису содержит тполько тпензврные стпепени не старте первого порядка, т.е. Е и Тт Б = ~ 5ттй~'~ + 2 ~~1 у7~1171'ти Т, (5.185) 7 — 1 7=ит+1 называется классом квазилинейных потенциальных утункцай.
Из (5.172) и (5.185) следует, что для квазилинейных потенциальных функций: у„= — =О, 7=9+1,...,г, д4 дЕ-, (5.186) т.е. потенциал зависит, вообще говоря, не от всего набора инвари- антов 1-, данной группы С„а только от линейных и квадратичных 1Р) инвариантов: ф = ф®Т),..., 1,(Т)). (5.187) Заметим,что, вообще говоря, понятие кваэилинейности, или иначе тензорной линейности, может быть распространено и на непотенциальные тензорные функции, об этом пойдет речь в 5 5.7. 5.4.2. Квазилинейные функции различных классов симметрии з П = ~, (Рте, + -рз+,(О, йт О,) "Т), (5.188) 7=1 Рассматривал рвзложения потенциальных функций по тензорному базису для различных классов симметрии, представленных в п.5.3.6, нетрудно заметить, что для некоторых классов тензорные функции являются квазилинейными, без дополнительных допущений вида (5.187).
Очевидно, что зто те классы, у которых потенциал тр не зависит от кубических инвариантов. Итак, для — триклинного (л), — моноклинного (М), — тетрагонального (Т), — А-ромбоэдрического (А) классов потенциальные функции являются квазилинейными, и их раз- ложения (5.172) и (5.185) по тензорному базису совпадают. Остальные классы содержат кубические инварианты. Ниже приве- дены разложения квазилинейных тензорных функций по тензорному базису для этих классов.
(0)-Ортотропньтй класс: Главе З. Теизо иые иксии 320 р» = ~р» (Тг2 + Тгг + 7зз 7 ы + 7гг + 7зз Тгз + 72з + 7 гг) . 2 2 2 2 2 2 (Н)-Гексагональный н (Тз)-7рансвсрсально-изопгропный классы: Б = рг(Š— егз) + узел+ (уз(Ог Э Ог + Ог Э Ог)+ + 2р4(Л вЂ” -(Ог Э Ог+ Ог Э Ог) — ез гЭ е~~)) Т, (5.192) Б'з = 'Ргб'г + (Уг — Уг — 2Р4Тзз)бзбз + 2(гвз — 1в4) 0бгбз + бэба)Тгз+ + (бгбз + бзбг)Тгз) + 2реТ", ~р» = у~(Тп + Тгм Тзз, Тгз+ Тгз, Тп + Тгг + 2Т»г).
-г -г -г -г -г (1)-Изопгропный класс: (5.193) Б = (Уг + 12Уг)Š— 422Т, Бб = (р + 1 р )б'7 — р Т", Р = У (11,12). Для ортотропной квазилинейной функции потенциал ф и коэффициенты 4в» у = 1,...,6 зависят от шести независимых инвариантов, в число которых не входит кубический инвариант ТггТгзТ»з. 5.4.3.
Представление квазилинейных функций с помопгью тензора четвертого ранга Квазилинейные функции можно сделать действительно совпадающими по форме с соответствующими линейными тензорными функциями, описанными в п.5.1.9. Для этого следует преобразовать функции 42» таким образом, чтобы можно было выделить симметричный тензор четвертого ранга 4С при Т в квазилинейных функциях п.5.3.6 и 5.4.2.
Проделаем эти операции для каждого класса, начиная с изотропного. (1) -Изо»пропный класс: В формуле (5.193) введем две новые функции Лг и Лг, зависящие от инвариантов 1п 12. Лг(12,1г) = 1вг + — г, Лг(1п 12) = — 2122, (5.194) З.4. Кввзивннейные тенер ные нинин згд тогда расшифровывая линейный инвариант 1д = Е ° Т, преобразуем (5.193) к следующему виду: Б = Лд1дЕ+ 2Лгд2Н Т = (ЛдЕ Э Е+ 2Лг~) ' Т = С ° Т, (5.195) где тензор четвертого ранга 4С определен по формуле (5.81).
Однако, в отличие от линейной тензорной функции, для квазилинейной функции коэффициенты Лд, Лг уже не константы, а некоторые функции инвариантов 1д, 1г. (К)-Кубический класс: В формуле (5.191) введем три новые функции: Лд = — Лг = -'Рз Лз = 2'Рг — 'Рз (5 196) 1д' 2 тогда (5.191) можно преобразовать следующим образом: Б = Лд1дЕ+ (2Лгдз+ ЛзОь) ° Т = = (ЛдЕЭ Е+ 2Лг~+ ЛзОь) Т = С Т. (5.197) Тензор 4С здесь совпадает с соответствующим тензором (5.80). (Н)-Гексагональныб н Тз-Трансеерсально-изондропнмдд класом: Представим функции ОРд...ОР4 в формулах (5.192) следующим образом: ОРд = Лд(1д + 1г ) + Лз12 1и1 <и> ди1 ОРг — ОРд — 2~412 — — Л212~ 1+ Лз(1д + 1г ), (5.198) Л4 = гнз ~Р4) ОР4 = Лзч где Лд...Лз функции инвариантов 1 ...14, тогда (5.192) можно ди) <и> представить в виде: Я: (Лд(1д + 12 ) + Л212 )Е + (Л212 + Лз(1д + 1 ))е + + (Л4(Од Э Од+ Ог Э Ог) + 2Лы~) ' 'Т.
(5.199) Расшифровывая линейные инварианты 1д + 12 = Е ° Т, дид ди) 12 = Т ез,получаем: 1ид ..-г Б = (ЛдЕ Э Е + Лгез Э ез + Лз(Е Э ез + ез Э Е)+ + Ле(Од Э Од + Ог Э Ог) + 2ЛзиХ) ..Т = С ..Т. (5.200) Н ТОИЭООИОО иечиеиение Глава ь. Твнзо ныв иннин згг Тензор 4С совпадает с соответствующим тензором (5.79).
(В)-Роэдбоэдрический класс: Введем шесть функций Лд... Ле от инвариантов 1т, представляя (в) функции рд... (оь в формулах (5А90) в виде: рд = Лд(14 + 1, ) + Л,1, (в) (в) (в) дрг — )од — 2уь1г — — Лг1г + Лз(1д + 1г ), (в) (в) (в) (в) (5.201) (оь = Ле. дРЗ эдь Л4 ~ у4 = 2Ль (в) (в) Тогда после расшифровки линейных инвариантов 1( +1( ) = Е Т, 1г = Т ° ез, приводим (5А90) к виду: (в) -г Б = (ЛдЕ Э Е+ Лгез Э йз+ Лз(Е Э ез + ез Э Е)+ + Л4(Од Э Од+ Ог Э Ог) + ЛьОь+ 2Ль~) ° Т = С Т. (5.202) Тензор 4С также совпадает с соответствующим тензором (5.78).
(А)-Ролдбоэдрический класс: Семь функций Лд...Лг от инвариантов 1; вводятся в формулах (А) (5А79) следующим образом: ьдд = Лд(14 + 1г ) + Лз1г (А) (А) (А) дрг — )од — 2дрь1г — — Лг1г + Лз(1д +1г ) (А) (А) (А) (А) (5.203) (оз — )оь = Л4 )э4 = 2Ль, рь = Ль, дре = 2Лг. Тогда аналогично (5.202) приводим (5А79) к виду: Б — 4С ..Т, (5.204) (од — — Лд1д + Лз1г (К) (К) где тензор 4С определяется формулой (5.77). (Кз)-Кеаэитрансеерсально-иэотроиньдй класс: Шесть функций Лд...
Ль от инвариантов 1; вводятся в формулах (К) (5.189) следующим образом: З.я. Кввзииинейные тенер ные иванн згз дРг — дед — 2дряЕг — — Лг1г + Лз1д (5.205) 'т'з 'Рз — — = Ля 2 2дря — фз = Лз, р, =2Л„ тогда формулу (5.189) можно привести к виду (5.204), в которой тензор ЯС определяется формулой (5.76). (Т)-Тетрагональный класс: Семь функций Лд...Лт от инвариантов 1~ вводятся в формулах )т) (5.177) следующим образом: 'Рд = Лд1д + Лз1г (т) (т) 'Рг — дрд — 2дряЕг = ЛгЕг + Лз1 (т) (т) [т) 'Рз — Рз = 2Ля, 2ьзя — рз = Лз, 'Рз = 2Ле, дре — — 2Лт, (5.206) 'еда т ЛаЕа +Лз+тЕв +Лз+оЕт ), а ф)уф 7 фа, сд,)з,ут 1,2,3; (5.207) дра+3 = 2Ле+а.
Тогда расшифровывая линейные инварианты 1.„= Т "е,, приводим до) -г (5.188) к виду: з Б — ~~д (ЛаЕаа + Лз.~.з1В + ЛзярЕд ))еа + Ле+а(Оа 8 Оа) ' 'Т = аад з (Лаеа ~9 еа + Лзяд(едд 8 ез + ег ~8) ее) + Леяа(О» Э Оа) Т а=д С ° .Т. (5.208) Здесь тензор ЯС определяется формулой (5.74). тогда функцию (5.177) можно привести к виду (5.204), в котором тензор ЯС определяется формулой (5.75). (0)-Ортотронный класс: Девять функций Лд... Ле от инвариантов 1-, вводятся в ФоРмулах (о) (5.188) следующим образом: 334 Гневе 5. тенер ные нк ии (М)-Моножлинныб жласс: Тринадцать функций Л1... Лгз от инвариантов 1» вводятся в фор(м) мулах (5.175) следующим образом: '»7« = Л«Ха + ЛЗ+»ХВ + ЛЗ+РХ» + 2Л9+а14 (м) (м) (м) (м) з фе = 2 Л~~ Л9+«1«~ + 4Л914 ~ (оз = Л51 (5.209) а=1 9'б Л13 ~ ~Р» Л71 а ф )3 ф у ф а, а, )»е, у = 1, 2, 3.
Расшифровывая линейные инварианты 1„= Т ег, 14 = (1/2)Т ° .Оз, преобразуем выражение (5.175) к виду: з б = ~~',((Л«.ГХ )+Лз+ 1(, ~+Лз+31»( ))е + а=1 + Ле+«1« ОЗ+ Лб(-а(Оа Э Оа) + Л1З(О1 Э Ог + Ог Э О1)) ' 'Т = з (Лаев Э еа + Лзаа(е11 Э е» + е» Э ер) + Лб+аОа Э Оа+ =( ««1 +Ля+ (е ЭОз+ ОзЭег)) +Лгз(01ЭОг+ОгЭО1)) . Т= 4С Т (5.210) Тензор С совпадает с тензором четвертого ранга, определяемым по формуле (5.73). (Е)-Трижлинный жласс: Двадцать одна функция Л1...
Лгг от инвариантов 1 ...1, в фор- (Е) (Е) мулах (5.174) вводятся следующим образом: 'Ра = Л«1а + Лз+»1Р + Лзер1» + 2Л9+«14 + (Е) (Е) (Е) (Е) + 2Лгг+«15 + 2Л15+«15 (Е) (Е) 3 Уз+а = 2 ~ ~Лз«+б+ 1 + 4Л19+»134Р + 4Л13+Р13+» + 4Лб+«13+«~ (Е) (Е) (Е) (Е) а«1 (5.211) а ф )3 ф у ф а, а„В, у = 1, 2, 3. Расшифровывая линейные инварианты 1« = Т "еа, Хз+а — — гТ "Оа (Е) -г (Е) 1 убеждаемся, что выражение (5.174) действительно можно привести к виду (5.204), в котором тензор 4С выражается по формуле (5.71). 2.4.
Киезининеенне кензо ные икиии 322 5.4.4. Потенциалы линейных тензорных функций дз)) (з) (5. 212) и воспользуемся соотношениями между (е.„и Л, введенными в п.5.4.3. '(Е) -7ринлинныб ннассс Из (5.211) имеем: з = ЛаГа + Лз4з21~ + Лз4211 + 2 ~~~ Лз ~ее+а124 ~ (5 213) дХа аа1 з дз() (Е) (Е) (Е) (и) — = 2 ~ Лза+е+аХа + 2Лгз+„Хз+В + 2Льз+З12+ + 2ЛЗ+ 12+а. дХЗ+а аа1 Решением этой системы уравнений является скалярная функция от инвариантов 12 (Е) з зкк = ~ '( -ЛаХа + ЛЗ+аХВ 12 + 2ЛЗ+аХаез + 4ЛЗЗ+аХЗ+2124з+ ч 11 (е)г (е) (е) (Е]2 (и) (Е) «а1 + 2ЛэеаХа )14 + 2Л12.).аХа( )Хз + 2Лгз+а1(з 14 ) + Фо~ (5.214) которая и является потенциалом линейной тензорной функции в триклинном классе, а фо - постоянны интегрирования.
Тензор производной от этой функции имеет вид: 4С Т дТ (5.215) где тензор 4С определяется формулой (5.71). Представление с помощью тензоров четвертого ранга позволяет легко получить из квазилинейной обычную линейную тензорную функцию с образующим тензором 4С, нужно только все Л положить константами. Получим выражение для потенциалов з)), которые соответствуют линейной тензорной функции с образующим тензором 4С из п.5.1.9 для каждой группы. Х(ля этого вспомним, что Глава З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
