Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(5.113) 5.2.5. Формулы дифференцирования линейных, квадратичных и кубичных инвариантов тензора второго ранга относительно различных групп симметрии В данном разделе получим формулы для дифференцирования скалярной функции у"(Т), в качестве которой выбираем инварианты 1' симметричного тензора Т второго ранга относительно различных групп симметрии О,: У(Т) =~;(Т). (5.114) Как было показано в п.4.4.4, полные наборы независимых инвариантов всех групп симметрии сг, з = 1...39 могут быть получены с помощью свертки тензорных степеней Т, Т Э Т и Т Э Т Э Т. Тогда можно считать, что любой из инвариантов 2'(Т) может быть представлен в виде либо линейной функции: (5.115) 7'= Т ° .й, либо квадратичной функции: У =Тзт....ей, (5.116) либо кубической функции: У= ТЭТЭТ"".
'й, (5.117) где "й, и = 2, 4, 6- некоторые индифферентные в группе ея, тензоры, составленные из образующих тензоров этой группы. Производны от линейной функции (5.115) была получена выше: (5.118) — (Т ° й) = — (й+ й ). дТ 2 Для вычисления производной от квадратичной и кубической функций, найдем их частные производные с учетом правила расшифровки скалярного произведения тензоров высших рангов, приведенного в Гнев» 3. 'Ген»о ные нв ии 302 упр.1.8.1: —.. (Т Т" О13„) — .. (Т 2 )(Т" + )йм 1 (6; б" + брб )(Ты+ 24~) + (686(+ б,'68)(ТПМ™ + 7 )) О13 4 =-( = -Т.е ((р'"рц+ р"и")(О1312+ Оппз)+ 4 +(9* 9'"+9'"р'")(О11 +Озч.
)) = =-Т„В. ЭВФ "~(К1ЭКь+КЗЭК1Нй„,ч+О;,)+ 4 + (В. Э В. + В. Э В. )(О1Ри» + О11»пв)) ° (5.119) Здесь произведение обратных метрических матриц представлено в виде: еь л В., В1 В1ЭВь а' о1» = В.е Э В.' ° В.» Э В.т, и т.д. Составляя теперь выражение для тензора производной (5.88) от ска- лярной функции, получим — (т Э т 4О) = —,.
(Т "Тыйпт )В' Э В1 = д, д дТ дТ'1 1 Т (4О(1243) + 4О(2143) + 4О(1234)+ 4 + 4О12134) + 4О134121 + ей<34211+ 4О(4312) + 4О143211) д — (т Э т. 'О) = 2т 4ОР) = 2'ОН т. дТ (5.120) Второе равенство справедливо ввиду симметрии Т и 4ОН. Если тензор 4О - симметричный, т.е. удовлетворяет условиям (1.284), то из (5.120) получаем: дТ (Т Э Т 4О) 2Т 4О 24О Т (5 12Ц или, используя определение операции симметрии (1.266), получаем следующую теорему. Творима 5.7. Тензор производной от скалзрнай квадратичной функции сивьнетричного тензора второго ранга вычисляют по формуле: З.З.
Скала ные нкннн тенко ногае г мента 303 Если квадратичный инвариант имеет структуру вида: у = (А ° Т) (В Т) = Т 8 Т ° .(А Э В)('Язз) (5.122) (см.упр.1.8.4), где А и В - симметричные тензоры, то формула (5.120) принимает вид: — ((А ° Т) ° (В Т)) = 2(А(6(В)(') .Т, (5.123) где вторая операция симметрирования [) определяется по (1.268). Для нахождения тензора производной от кубической функции (5.117) необходимо вычислить частную производную: Переходим к ковариантным компонентам, разбивая каждое из трех слагаемых в (5.124) еще на 2, например, (ты+т'"цт +т ца„„,;+ар„„,) = 1 2 (яаЬЗЫ + а( ЬЬ)( ае (р+ ар (Я)) (а + а Далее представляем произведение метрических матриц в виде свертки двух тензоров четвертого ранга, причем для одного из них (например, левого) фиксируем расположение индексов, например: аь Ы ад (р Ва®В( 8 Ва®ВЬ В(4)1зьфВрфВЯ Проделав эти операции, подставим итоговое выражение частной про- изводной (5.124) в тензор производной, в результате получим: д — (ТЭТЭТ ° а) = —..
(т "тыт а а )В' Э11з = е д те и 1 т э т (ба( )63 + ба( )зб + еа( )зя+ 16 + еа( )Яз + еа( )гз + еа( )м) Или, используя обозначение операции симметрирования (см. (1.270)), получаем следующую теорему. —.. (т "т"т а „„) =- —.. (т-"+т"-)(ть(+т'")(т* +т ). д 1 д дтч' 8 дТ(( 17 а „,„= -((ты+т")(т' +т )(а,„,(+а„„;,)+ 8 + (т"-+ т-")(тзр+ тря)(а„,ч„+ а„;,„)+ + (т""+ т ")(т"(+ т(ь)(арль„+ а(1(ь„), (5.124) Глава з. Тенко лые иксии 304 Творима 5.8.
Уензор арвизводной ота скалярной кубической функции ота симметаричного птензора втаврвго ранга имеет видт д дТ вЂ” (ТЭТЭТ"""вй) = ЗТЭТ""вй() = Звй(') ""ТЭТ. (5.125) Тензор й(') является симметричным тензором шестого ранга (см. (1.269)). Если же исходный тензор вй уже является симметричным, то из (5.125) следует, что д (ТЭТЭТ" ва) екЗв(1" ТЭТ. дТ (5.126) 5.2.6. Тензоры производной от инвариантов тензора второго ранга относительно различных групп симметрии Применяя формулу (5.118) к линейным инвариантам 7'(Т) разных групп симметрии, получим следующие тензоры производной от линейных инвариантов: д7(т) д7(т) 1 Е -3 1 (5.127) Остальные линейные инварианты классов совпадают с указанными выше, например: 7(0) 7(М) 7(Е) ).(М) 7(Е) 7(Т) 7(А) 7(е) 1 = 11( — — 71( ), 11( ) = 11( ) и т.п., (5.127') поэтому совпадают и их тензоры производной. Применяя формулу (5.123) к различным квадратичным инвариантам групп симметрии С, (п.4.5.5), получаем после расшифровки операции симметрирования [): д1( ) д = — ((езт Т) .(еэ зТ)) = -Оз Э Оз Т, (5.128) д7в(") д = — Цезз ° 'Г) ° .(Оз Т)) = -(О1 Э Оз+ Оз Э О1) 'Г 2 (Е) — = — (Т .е)=е дЕа д з дт дт а а' д7.„ (Е) — =-О аке12 3 дТ вЂ” 2 а| 5.2.
Скала ные нк на тенко нотон г мента 305 — для моноклинного класса; (о) = — ((ез Т) ° (ез ° Т)) = -Од З О1 Т (5.129) — для ортотропного класса; г(т) дТ дТ = — ((Š— ез) 'Т (ез Т)) 2((Š— егз) Зезз)() ' 'Т = 1 = -(ОзЭОз+ОгЭОг) Т, 2 (т) (т) = — ((ТЭТ""О,)-из") = 2(оь — ег зЗ езз) ' 'Т = 2(ег Э ез + ез З езг) ' 'Т (5.130) д~(т) 1 д (т) (т) (т) дТ 2дТ( ) дТ 2 дТ з дТ =( 1 а — — (Оз Э Оз + Оз З Оз) — 05) Т, 2 д15() 1 д 1 = — — (Т З Т ° йзл) = -йза .Т дз(А) = -(О,ЭО,+О,ЭО,) "Т, дТ 2 д~е — = -Оз "Т дТ 2 д15 1 (' (А) -г дТ 2~ = 2(аа — — (Оз Эоз — 05З Оз) — ез Эез) ° Т И(А) — = -й„"т, (5А31) дТ 2 — для А-ромбоэдрического и В-ромбоздрического (кроме д15 /дт) (А) классов; д15( ) — =го,"т, дТ ,уЯ) з дТ (5.132) — для тетрагонального и квазитрансверсально-изотропного (кроме д15~ ~/дт) классов; Главк 6.
тенко нвке вкцвк — для квазиизотропого класса; д1(н) д1(л) д1(з) — — — а=1,2,3, дТ дТ дТ ' д1(н) д1(з) д1(Я) дТ дТ дТ (5.133) — для гексагонельного и трансверсально-изотропного классов. Различных кубических инвариантов во всех группах симметрии всего три: 12(Т) 1( ) и 1( ) 1( ) (5.134) Тензор производной от третьего главного инварианта уже был вычислен в п.5.2.4: = Т вЂ” 11(Т)Т + Е12(Т) (5.135) (для симметричного тензора Т).
Зля вычисления тензора производной от 14 представим его в виде (5.117) и воспользуемся формулой (5.126): 14 = (Т .Оь) ° (Т .Оь) ° (Т ° Оь) = ТЭТЭТ ° ° ° ° ° 6О„, (5.136) д14 ' — =3 О„° ТЭТ, дТ где тензор О„является симметричным тензором шестого ранга и 6 имеет следующий вид: з О» = (Оь Оь) ' 'Оь = ~~~ б,",б,'„'б,'„лб,',"бл"б,',*ев, Э ..
Э ев, (5.137) ал1 16( ) — — (е21 'Г) (ез зТ) (ез.'Г) = 'ГЭТЭТ-""(езЭеззЭезз)(166422) (5.138) Используя формулу (5.125), получаем: (о) Н 2 З 6 3((-2 Э вЂ” 2 Э -2)(166422)), Г Э Г (5 138) Еще один кубический инвариант имеется в классах ортотропии и квазиизотропии 16, его можно представить в виде: (о) 5.3. Скаля ные нкциитеизо нагов г мента 397 Можно показать (см.упр.5.2.3), что тензор шестого ранга, участвующий в этом выражении, представим следующим образом: (-г Э -г Э -г)(165433) (.— 5 — ) = ° Н з 48 ( Оа Э 06+ 06 Э Ол) Э Ог = — Ояз (5.139а) а,о,гмг афяФззеа тогда дг(~) = 36 О ° Т Э Т.
дТ (5.140) Упражнения к 3 5.2. (егг Э егг Э ег)(~~~~~э) = б" бззб зб"б" б"е; Э... Э е; . Применяя операцию симметрироввния (.), доказать справедливость формулы (5.139а). Упражнение 5.2.4. Используя определение (5.33) тензорв производной, показать, что имеют место правила дифференцирования скалярных функций по тен- зору, совпадающие с обычными правилами дифференцирования: «(» ф) = ( рР + бщ ) "«Тт, «~ — ) = — ((»т — »Фт) "«Т . /й 1 Т (,),) ),г Упражнение 5.2.5.
Докаэвтгч что д Тг й) ((йЭЕ)(44гз)+(йЭЕ)(4ггз)~) Т й Т+Т й дТ если Т и й — симметричные. УпРажнение 5.2.1. Доказать справедливость формулы (здвб), записывая бган компонентные представления тензоров Оь и Оя. Упражнение 5.2.2. Доказать справедливость формулы (5З39). 'Упражнение 5.2.3.
Записывая явное компонентное представление тензоров, показать, что тензор (5Д39а) имеет следующие компоненты: Гпввв З. 'Ренее вне вкпив 308 Э 5.3. Потенциальные тензорные функции 5.3.1. Определение потенциальной тензорной функции ОПРЕЛЕЛЕНИЕ 5.8. Тензорная функция (5.1) или (б.ф называется потенциальной, если сутцествует скалярная функция ф("Т) таенэорного аргумента, называемая потпенциалом, тенэор производной от которой совпадает с этой функцией: Я ~ ( Т ) деТ ' (5.141) Очевидно, что для потенциальных тензорных функций тензоры "Б и "Т имеют одинаковый ранг. В хомпонентах формула (5.141) имеет вид: Я;, з„= К, з„(Т""'") =,, (Т""'").
дФ (5.142) При переходе от одной криволинейной системы координат Х' в другую Хн компонентное представление потенциальной функции согласно (5.3) изменяется следующим образом: дл! 5"ц з = У, 'т (Тб -3.) = нт..з„' (5.143) где Т""'" = Р" Р'г Тн'"'" (5.144) тт ''' т дф' .. дф " . (Т'"'-'-) =Ф' ...Ю" .. (Р'* ...Р'- Тн -з.). дТн'-з " ' ' ' '" дТУ - У (5.145) 5.3.2. Индифферентные потенциацьные тензорные функции Согласно общему определению (5.8), индифферентная тензорная функция не меняет свой вид при переходе из одной системы координат к' в другую Х', осуществляемом в рамках определенной группы с', преобразований, например линейных. Применительно к потенциальной тензорной функции, зто свойство индифферентности относительно группы О, записывается следующим образом: если имеет место соотношение Я<, з„- .. (Т"-д") дтр (5.146) причем в силу инвариантности тензорной функции (5.141) имеют мес- то следующие соотношения: В.З.
Потенциальные кензо ные нкцкн зоа т7г(Тгц"'") = Ф(Аг« ...Аз«Т~'"'~"), Ч(Аг«) б С„(5.147) тпо потенциальнаю тлензарнаю функцию (8.14г) тпакже ювлюепгсю индифферентной отаноситпельнв группы О,. Условие (5.145) для компонент индифферентной потенциальной функции имеет вид: В" Вг" .. (Т«'"'"") = —.. (Т«'" «"), (5.148) дТ"-'" причем в левую часть необходимо после дифференцирования подста- вить соотношение: Т«,...«„4«, А«„Тг,...г„ (5.149) 5.3.3. Представление потенциальной функции в тензорном базисе Тногема 5.10. Индифферентная отпнаситпельно группы О, скалярная функцию т)г("Т) всегда можетп бытов предан«валена как функцию полного набора функционально независимых скалярных инвариантаов 1тбб("Т) относительно той же группы симметарииг тгь("Т) = т)Щ')("Т)), г' = 1...г. (5.150) Т В самом деле, если скалярная индифферентная функция тр("Т) не выражается через инварианты 1т ("Т), то ее саму можно рассматривать как еще один независимый скалярный инвариант тензора "Т, а зто противоречит полноте набора 1„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
