Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Упражненне 5.1.5. Показать, что если для матрицы ( С) испольэовать не 4 (5.88), в следующее определение: С1111 С1122 С11зз С1112 С111з Сгггг Сггзз Сгггг Сгггз Сзззз Сззгг Сззгз сим. С1212 С1213 Сэзгз и (8), имеющие различную между собой то ему соответствуют вектЧэы (Б) структуру: ~11 Т22 (Т) 1(2Тгз Ц2Т31 1/2Т12 ягг озз я12 уз цгз бгг цзз ц31 бгз егг бп 822 бзз 2512 2513 2бгз С С2223 Сззгз Сгггз Сгзгз С23 2 3 5.2.
Сквля ные нкции тенко носов г менте 295 в обрвтнвя к ней матрица ( П) в этом случке принимает вид: 4 ( П)ле т.е. имеет отличную от ( С) структуру (поэтому предпочтительным валяется 4 матричное предстввление (5.ЕЗ)). з 5.2. Скалярные функции тензорного аргумента Рассмотрим теперь нелинейные тензорные функции, определение которых дано в п.5.1.1. Начнем с рассмотрения частного случая, когда в формуле (5.1) тензор "Б имеет нулевой ранг и = 0: в = )(~'Х). (5.82) Определение 5.5. Тенэорную функцию вида (8.88) называют скалярной функцией тенг ори ого аргумента. Компонентное представление такой функции в базисе Н! имеет вид: в = )(Т"-8-). (5.82а) В силу (5.6) при переходе от одной системы координат Х' к другой Хн значение скалярной функции не меняется: ЛТ"-'") = 1I(О», ...О3, Т!'-! ). (5.83) ОпрЕЕЕлЕЕЕЕ 5.6.
Скалярная функция (8.88) называется индифференупной относительно группы линейных прео бр аз о в а н и й Сю определяемых по ('8.1), если вид саней функции 1(Туч" 1 ) не иэменяетсгц )(Т - '-) = )(т' - '-) (5.84) при переходе иэ сисупемы координат х! в Х', причем Тд"' = Т!'"'!" А", ...Ау!", Ч(Ау!) Е Сэ. (5.85) Пггп Ппгг Ппзз 2Ппп Пгггг Пггзз 2Пггп Пзззз 2Пззгг сим. 4Ппгг 5.2.1.
Определение скалярной функции 2Пгг!э 2П„,. 2Пззгз 4Ппгз 4Пгзгз 2Ппгз 2Пгггз 2Пззгз 4Пгггз 4Пгзгз 4Пгзгз Гнева З. тенко ные нинин 29б С использованием тензора линейных преобразований ь( = А' .ег эег (см. пп.4.1.3 и 5.1.5), условие индифферентности (5.84) скалярной функции (5.82) можно записать в виде: 1( Т) У( Т..Щ® ес) (ги-цг -з,...,загд,...,ги)) (584а) и1 ы Например, для скалярной функции от вектора это условие имеет вид: 1(а) = 1(а Я), (5.85а) а для скалярной функции от тензора второго ранга: ПТ) = тт т Ч). (5.85б) Подчеркнем, что из определения (5.83) следует, что вид функции 1(Т) может меняться при переходе в новую систему координат, но не ме- няется значение этой функции, а из (5.84) следует, что и вид функции 1(Т) не должен меняться.
Например, если скалярная функция - это просто компонента вектора в базисе К;: з = 1(а) = аз, то-при переходе в декартов базис е; эта функция будет иметь другой вид 1'(аг) = Аза', но значения этих функций будут совпадать: 1(а') = аз = Аза' = 1'(а'), в силу того, что а' - компоненты вектора. Однако индифферентной такая функция 1(а) будет только относительно некоторых групп симметрии, например Тз. Из определения (5.84) следует, что все скалярные инварианты 1»( Т) относительно группы С„в том числе инварианты 1з, опре- ФВ () деленные в п.4.5.3, являются индифферентными функциями относительно той же группы С,.
Так например, длина вектора: з = 1(а) = )а~ = 1„(а) - индифферентна относительно группы Сзэ = 1. (з9) 5.2.2. дифференцирование скалярной функции цо тензорному аргументу Важную роль в механике играют формулы дифференцирования скалярной функции (5.82) по тензорному аргументу. Пусть имеется компонентное представление (5.82а) функции 1. Вычислим дифференциал от этой функции, как от функции многих переменных: ду(тг*-''-) = ..
ат1-'-. д1 (5.87) дТй-д" Производные ду/дТП-1 образуют компоненты некоторого тензора, который обозначим как д1 д1 д д дТ дТ1'-д" 5.2. Скяяя ные нкикк темзе негев г мента 292 й( Т) =йТу'"З-Ву, Э...ЭВ1„. Транспонирование этого тензора дает следующий обьект: с)(™ТР -'1 =г)Т"-'"Ву Э...ЭВ,, Преобразуем теперь выражение (5.87) следующим образом: (5.89) (5.90) 8У=, . 3ТУ-У- = .. Ф,...~,',-йТ'-''- = д1 дэ' дТ1 -8 дТз'-й" " ду' ВД Э... Э ВУ ... ° В;„Э... Э В„,ЙТ" "з . (5.91) дТУ -8 Здесь использовано свойство: В„" Ву = б~.
Используем теперь определение введенных тензоров д)/дТ и г)(гЯТ), тогда придем к следующей теореме. ТеОРЕмА 5.4. дифференциал скалярной функции (8.88) от тенэорного ареумента представляет собой выражение вида г) =-Ут ... Ц™Т)~--'). (5. 92) Например, если т = 2, то формула (5.92) имеет вид: йУ= ут "йтт. (5.93) Для симметричного тензора Т функцию 7" необходимо представить в виде: )(Тб) = )(-(ТЗ+ Тзч)), 1 тогда формула (5.87) для дифференциала примет вид: (5.94) (5.95) а тензор производной (5.88) можно записать следующим образом: )т = — —;(В.
Э Кз + Кз Э К ) = — ( —; + —;) В' Э Кз (5 96) 1 д7" <; 1 д/ ду Опгеделение 5.7. Тензор (5.8В) называется тензором производной сналвра ) по тензорному ареументу или просто тенэором производной. Очевидно, что ™)т является тензором того же ранга, что и Т. Введем еще один тензор, называемый дифференциалом тензора а(~Т), который обладает компонентами аТз' 8 Глава э.
тенор ные акции 298 (1т)т 1т если Т Тт (5.97) 5.2.3. Дифференцирование иивариантов вектора Рассмотрим случай, когда в качестве скалярной функции выбраны инварианты 1 (а) вектора а, рассмотренные в п.4.4.6: (а) 1(а) = 1(')(а), (5.98) где в - номер группы симметрии С„а т - номер инварианта в соответствуюп(ем полном наборе. Вычислим производные по а от различных инвариантов 12 (а), (») приведенных в (4.142). Инвариант 1(') (а) = (а)2. Вычислим сначала частные производные: а затем составим вектор согласно (5.88): )а) = — = 2а;К» = 2а, д(а(~ да (5.99) который и дает искомое выражение для производной от инварианта.
Инварианты 1»' (а) = аг. Вычислим частные производные по декартовым компонентам: дйа д а 2 а- а (ва)2 2ба»2 (по а суммирования нет), и составим вектор согласно (5.88): дпг — = 2б; аае; = 2аае . д (5.100) Таким образом, для вычисления производной от скэляра 1 по симметричному тенэору надо вначале вычислить частную производную д1)дТ;; по всем девяти компонентам без учета симметрии Т»», а затем у результата дифференцирования д~/дТ" поменять индексы г <-~ 2' и сложить обе производные с коэффициентом 1/2. Иэ (5.96) следует, что производная скаляра по симметричному тенэорному аргументу является симметричным тензором: 2.2. Скале ные нкцнн тенер ногае г мента 299 Инварианты 1»' (а) = о . (з) Частные производные и производная от инварианта имеют вид: до до (5.101) Инварианты 1» (а) = ааад, а ф)д.
() Частные производные и производная от инварианта имеют вид: дааа)г дааав да' ' да = б;аов + бэзйа — ойеа + ба ей. (5.102) Инварианты (о(~, ог и о а)з квадратично зависят от компонент о;, поэтому можно вычислить производные от них по симметричному тензору а 9 а = аг. Все эти инварианты можно рассматривать как линейные тензорные функции от аг, поэтому получим общую формулу для производной линейной скалярной функции от симметричного тензора Т: У(Т) = Т "й = Т"'"й„„, где й - некоторый фиксированный тензор.
Тогда (5.103) —.. = — —.. (Т-"+ Т"~)й„„= ду 1 д дТВ 2 д2чб = -(б; б" +б б,")й„= -(й„+ й „), (Т''й) = -(йам+йнзн)11" ЭВ = -(й+й ) (5.104) Если Т - несимметричен, то — (Т й)=й. д дТ (5.105) Используя формулу (5.104), получаем, что — = — (аг Е)=Е, — = — (а ° .е )=е, д~а~~ д г дог д г -г -г да даг ' даг даг и, следовательно, имеет место следующая теорема. Творима 5.5. Тензор производной от линейной скалярной функции (5.82) от симметричного тензоро второго ранга Т вычисляют по формуле: Гневе З.
тенер ные нинин зоо дара д е е даз даз (5.106) 5.2.4. Дифференцирование главных инвариантов тензора второго ранга (5.107) 11(Т)т = Е. Далее вычисляем частные производные от 11(Т"), и =2 и 3: —..1,(Т') = —..(Т "Т"'д„,д, ) = дТВ дТВ «™ = (6; 64Т"'+ Т "6в6()д„вд~ = 2ТВ, (13) (~ й~вТ«!Тмд д д ) (6т6ЙТ«!Тм+ +6В6.Т Тм+6ебеТ Т )д еднде = ЗТ. Т ' (5.108) Тогда производные от инвариантов имеют вид: 11(Т )т = 2Т,;В1 ЭКХ 2Тт Хз(Тз)т = ЗТ"Т В.' бЗВХ ЗТзт (5.109) Таким образом, имеет место следующая теорема. Творима 5.6. Выражении для тензора производной от первого инварианта степеней тензора Т имеют следующий вид: Е1(Т)т = Е, Ез(Тз)т = 2Тт Хз(Тз)т = ЗТтг (5 110) Выберем теперь в качестве скалярной функции 1 второй и третий главные инварианты 1з(Т) и 1з(Т) тензора Т. Согласно (4.151) и (4.152) (см.п.4.5.3) зти инварианты можно выразить через Ез. Хз(Т) = (Хз(Т) 311(Т)Хг(Т )+21г(Т )), 3 (5.111) 1,(Т) ев (Хз(Т) -1,(тз)).
1 2 Выберем теперь в качестве скалярной функции 1 первый главный инвариант Хг(Т) тензора второго ранга Т и его степеней Т" и вычислим их производные по Т. Производные инварианта 11(Т) = Е "Т находим, используя (5.105): З.з. Скаля нме нкнннтенао ного а г мента 301 Дифференцируя (5.111) по Т, с учетом (5.110) получаем: уз(Т)т = Ттз 1з(Т)Т +Е1з(Т) 1з(Т)т = Еуг(Т) Тт (5 112) Используя следствие (4.161) (см.п.4.5.4) формулы Гамильтона— Кэпи, можно также записать (5.112) в виде: д1з(Т) = уз(Т)т = 7з(Т)Т '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
