Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(А) УпРажнение 4.5.10. Проверить непосредственно, что инвариабты 14 и (А) 16 удовпетворяют условиям (4.131). 'Упражнение 4.5.11. Используя формулу (4.162), доказать, что Хз(Т) всегда можно представить в виде: 1з(Т) = — (Ег(Тз) 1з(Т) + 311(Т)11(Тг)) 1 'Упражнение 4.5.12. Показать, что формула (4.162) имеет место также и дяя несимметричного тензора Т. Упрагжнение 4.5.13. Показать теорему 4.24 дпя Н~пасса. 'Упражнение 4.5.14. Используя метод, списанный при доказатепьстве теоремы 4.24, доказать независимость систем инвариантов (4.167) - (4.170). ГЛАВА 5 ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ 1 5.1.
Линейные тензорные функции 5.1.1. Определение тензорной функции Рассмотрим два тензора "Б и Т и-го и пьго рангов, принадлежащие пространствам Т~"~(Кз) и Тз~ ~(Кз) соответственно. В механике и физике большую роль играют законы соответствия между различными тензорами, называемые тензорными функциями. Опгиднленин 5.1. Отображение пространства тензоров 7з (Кз) в пРостРанство Тз~" (Йз) называют тензоРной фУнкПией и обозначают как "йс: Тз~ ~(Кз) — + Тзг'~у(Кз) или в виде зависимости: "Б="У'( Т) Ч ТЕ Тз, "БЕТз .
(5.1) Кроме формального установления закона соответствия тензоров "Б и Т, запись (5.1) содержит утверждение, что тензорная функция не меняется при переходе из одной системы координат в другую при преобразованиях координат (1.2) в Кз, т.е. если записать компонентное представление функции (5.1) в каком-либо базисе, например в К;: (5.2) яб..з„у41..з (71о.д ) то при переходе в любой другой базис К.'; = Р'< К. зто представление можно записать следующим образом: (5.3) Бн'"з" = Тн"'"(Т""д"). Здесь обозначены компоненты тензоров в базисах К; и К';: "Б = Б"''з" К Э Э К вЂ” Бн'"з" К' ® 8 К' Т = Т" "'"К;, Э... Ф И.у„= Т"'"'-К' Э... Э К,', (5.4) пу рб..з„К 8 Ф К, Тао.з К~ Ф Ф К~ \~ Глава В.
тенер вые нвцви звз Учитывал правило (см. (1.250)) преобразования компонент тензора при переходе из системы координат Х' в Х": Ем-'''=С.„Сс дс- Е»-'- Т"-'- =дт ...дст Тс'-с- (5,5) », ». с$ ''' с и подставляя (5.2) и (5.3) в (5.5), получаем: ф' Яс" У~''Яы(Т""д ) = гао"с" (цсс' ф" Тс'"'с ). (5.6) Таким образом, фраза о неизменяемости тензорной функции при переходе из одной системы координат в другую означает, что компонентное представление этой функции преобразуется по закону (5.6). 5.1.2.
Индифферентные тензорные функции Важную роль в механике играют тензорные функции, компонентное представление которых сохраняется при переходе от некоторой фиксированной системы координат Хм = хс в другую Х', получающуюся путем линейного преобразования (3.1)с ф$$-.$ ~1$-.с (5.7) где э'с$"'" - компонентное представление функции "ут в декартовой системе координат х'. Опгеделение 5.2. Тензврные функции (5.1), удовлетворяюисие условию сб. 7), позыв ают и и д и ф ф е р е м т и ы лс и. Подставляя (5.7) в (5.3), (5.2), получаем, что если в системе координат хс тензорная функция связывает компоненты ос$"'" и Т""'" с помощью соотношений: сс$- $« — кс$- $ сТ»$-д т с\ то компоненты тензоров "Б и Т в системе координат Х' будут связаны теми же самыми функциями: Ес - '" = Ф - '-(Тс'-д").
(5.8) ОпгЕЕЕЛЕНие 5.3. Если функция "эг (5.1) удовлетворяет свойству (б. 7) не длст всех преобразований координат (У.1), а только для тех$ котпорые образуют некоторую группу С„то такая тенэорная функция называется индифферентной отнаситпельно группы 0$. Группу С, в этом случае называют группой симметрии тпензормой функции "э.. Не все компоненты индифферентной тензорной функции являются независимыми, в силу (5.6) и (5.7) между ними имеются связи: А"....Ас" У»'"'~" (Т""'") = Уз'"'"(Ас' ...А'" Т""з-). (5.9) »и .
»„= с, с„ Здесь соотношение (5.6) записано для линейных преобразований (3.1), для которых якобиевы матрицы имеют вид (3.235). 5.1. Линейные теп ные пкипп збз 5.1.3. Определение линейной тензорной функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.4. Тенэорную функцию (5.1) называют линейной, если она удовлетворяет двум условиям: ° тенэорнав функция от суммы двух тенэоров Т1 и Тз, принадлежаЩих тз, естаь сУмма тенэоРных фрнкЦий от каждого иэ (тп) этих тпенэоров: "х(-Т1+-Т,) = "у'(-Т1)+",р("Тз), (5:10) ° тенэорнав функция от произведения тенэора '"Т к тз( ) на вещественное число Л ф 0 есть произведение числа на тенэорную функцию от ™Тт "К(Л Т) =Л"К( Т). (5.11) Наиболее часто в механике встречаются центпрированные тензорные функции, т.е.
удовлетворяющие условию: "Х( О) = по, (5.12) здесь О и "Π— нуль-тензоры тп-го и и-го рангов. ТЕОРЕМА 5.1. Всякая линейная центрироеанная тенэорная функция может быть представлена в виде: пб пУ(ыТ) и+ш5) (тпТ)( зя) ы (5.13) пБ=пУ'"!"Кт Э...ЭК; =пУ(Т В11Э...ЭК1") = — пУ(К11 Э Э ВЗ )Т.
Разлагая теперь тензоры "У"(Кй Э... Э Кт") по полиадному базису в т(п): "У(К)' Э...Э Кт") = (1""л"э'-1"Кт, Э...Э В1„, (5.14а) где и+ й — некоторый фиксированный тенэор (и+ т)-го ранга иэ т(п+т) з В отличие от пБ и Т, являющихся переменными, тензор и+ й не меняется и характеризует данную линейную тензорныю функцию. Будем называть его таенэором, задающим линейную функцию. т Для доказательства теоремы 5.1 выберем в качестве базисов тз и и тз~ ) полиадные базисы: К;, Э...ЭК;„и Кт'Э...ЭВ1", и разложим по ним пБ и ыТ. В силу линейности (5.10) имеем Гпввв 5. 'Гензо ные нинин 270 находим коэффициенты разложения й""'"т'"т", которые являются компонентами некоторого тензора (и+ тп)-го ранга.
В самом деле, возьмем другой базис В.'; = Р'; К и проведем в нем те же самые построения. Тогда получим, что "У(КО' йт...йтКт ) = й"""'"т"б"К' Э...®К' . б ! Откуда, заменяя базис, находим пУ (КЙ1 ® 42 Кь ) Р21 Рь Рт +1 Й''' т' т+1 Рт "+" й"'"'"+" В. Э... Э К +„. (5.146) Сравнивая (5.14а) и (5.146), убеждаемся, что й""'"+" преобразуются по тензорному закону. Тогда всегда можно выбрать тензор п+ й, компоненты которого в базисах К; и В.'; имеют вид: п+тй йц..л .т К 8 ® В, йлн.л е К/ 8 8 Кт й ''' 1 е т1 ''' т е > и который удовлетворяет (5.13). а Тогда компонентное представление линейной тензорной функции (5.13) будет иметь вид: тб ߄— йти.л„е Т ° „е1...
° „е (5.15) Поскольку й""'" по определению есть компоненты тензора, то, очевидно, что условие (5.6) для линейной функции (5.13) будет всегда выполнено при любом Т. 5.1.4. Примеры линейных функций тВ пй ти-изТПи-ие,п-т-ц..а) (5.16) и = О, 1,...; тл = О, 1,...,п. Отсюда следует, что при фиксированном п, меняя тп от О до п, можно построить и+ 1 различных тензорных функций. Например, при и = О получаем из (5.16) обычную скалярную: Я = йтт'. С помощью одного и того же тензора п+"'й можно построить, вообще говоря, несколько различных тензорных функций. В самом деле, переобозначив в (5.13) индексы и — > тп, а (и + тл) — + и, получим: Зп.
Линейные тенео ные ненни Пля а > 1 вместо Б и и ™Т используем обозначения, которых придерживаемся везде в тексте: скаляры оБ и оТ обозначим как Я и И'; векторы зБ и ~Т обозначим как и и а; тензоры второго ранга зЯ н зТ обозначим как Б и Т. Пля тензоров "й, задающих линейную функцию примем далее обозначения: 011=0, 1Г1=с, за=К за=ам еа=ес (517) Тогда при а = 1 из (5.16) имеем две линейные функции, которые во введенных обозначениях имеют вид: т=О, Я=с.а (или Я = с'а;); т=1, з=сРУ (или з' = с''еу).
(5.18) При а = 2 имеем три функции: т= О, Я=К ° .Т тое 1, я=К'и т=2, Б=КИг (или Я = Ко $~~ч); (или з' = Кба ); (или УУ = КУИ~). (5.19) (5.20) (5.21) 5.1.5. Индифферентные линейные тензорные функции Рассмотрим теперь линейные тензорные функции (5.16), которые являются индифферентными относительно некоторой группы С,.
Подставляя (5.16) в (5.У), получаем, что если линейная индифферентная функция в исходной системе координат в' имеет вид: (5.22) то в любой другой системе координат Х', получающейся из в' с помо- щью линейного преобразования (3.1), соответствующего данной груп- пе С„эта функция будет иметь вид: При в= 3 т=О, т ее 1, ты 2, т=3, При н = 4 т=О, т=1, т=2, т =.3, т=4, имеем четыре функции зМ... з.оо з=зМ Т Б=зМ а за зМИг имеем пять функций: К= С....~Ю я = ем... ЗЪЧ Я =еС ° Т зо еС. б = 4СИг (или Я = МбьИгьуч); (или з' = М" ~Те,).
(или Яб = Мояае); (илн Убь = Мб 'Иг). (илн Я = СбыИ~~йуч); (или з' = СбыИг~ьу). (или У~ = Сбы7)ь); (или У~э = Сома~); (или У~ы = Сбы1т'). Глава б. Тпнпп нып нк ии 222 т.е. компоненты тензора пй при таких преобразованиях не изменяются: й!1-1-+- — й!1- $-+- (5.23) Сравнивал (5.23) с (4.3), заключаем, что имеет место следующая теорема. Творима 5.2. Тензор пй, задающий линейную индифферентную относительно группы О, тензорную функцию ('о.16), является индифферентным относительно той же группы 0$. Если подставить (5.15) и (5.23) в соотношение (5.9),' то получим й" -".А'*„...А'- = й'*-'- 1((А',) б С,. (5.24) Это соотношение означает, что между компонентами индифферентного тензора существуют зависимости (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
