Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 39
Текст из файла (страница 39)
По формуле (4.108) находим характеры Х(А~а~) симметризованных матриц третьего уровня группы Сз.. Глава 4. Инду е ситные тенко ыи инва ванты 236 Х(С(4)) (( 3)4+ 2 3 ( 3)2+ 3 32+ 2 3) 21 (4 129) 8 Х(Рз~ ~) = И 1)4+2'3'( 1)2+ 3'32'+2'3) = 5 2" (Вз~ ) ) = (1 + 2 ' 3 ' 1 + 3 ' 3 + 2 ' 3) = 5 3 По формуле (4.82) находим: Й = -(21+ 21+ 5+ 5) = 13 1 4 — число независимых компонент симметричного тензора четвертого ранга Й" зз'"', индифферентного относительно моноклинного класса. Таблпчп 4.~. Число Й независимык компонент векторов и симметричнык тензсров второго, третьего и четвертого рангов, индифь ферентнык относительно различнык групп симметрии Глава В. Иввв ентвые тавзо ы в вива ванты 23В Подобные вычисления можно проделать для всех остальных групп симметрии С„используя для этого данные из табл.З.З и 3.4, в которых приведены характеры матричного представления )((А) классов сопряженных элементов симметрии для всех групп симметрии О,.
Итог этих вычислений подведем следующей теоремой. Творима 4.15. Число й независимых компонент вектпоров и симметричных тензоров второго, третпьего и четвертого рангов (т.е. удовлетворяющих соотношениям Д.ут) и (4.4'1)), индифферентных относительно групп симметприи 6, в = 1...39, определяется в соответствии с табл.в.в. Это число й совпадает с числом элементпов тензорного базиса (4.19) в соответствующем пространстве индифферентпных тензоров. Для тензоров четных рангов число й одинаково для всех групп в рамках класса симметрии (см.
табл.4.4). Эгнм обстоятельством, главным образом, и обусловлено выделение в сингониях понятия класса симметрии. з 4.4. Скалярные инварианты Кроме индифферентных тензоров, сохраняющих свои компоненты при определенных преобразованиях, в механике и физике широко применяют скалярные функции от тензоров, также не изменяющиеся при линейных преобразованиях координат. 4.4.1. Определение скалярных инвариантов ОНРВЛЕЛЕНИЕ 4.4. Скалярным инвариантпом тензора "й и-го ранга относительно группы преобразований С, называют функцию 1 ': та — + ))с (4.130) от компонент тензора ьт""" в некотором базисе ео не изменяю- щуюся при любых преобразованиях в данной группе б„т.е. 1(т)(()тв.з„) 1(в)(Пц...т ) (4.131) Здесь Й '"'" = П1'"д"А 1 ° А'" )(Ат( б С,.
(4.132) Замечание 1. Данное определение включает в себя задание кристаллофизического базиса ет или осей анизотропии. Фиксируя группу С, 4.4. Скаля ные ииаа канты 239 матриц преобразования и меняя базис на е;', получим другие инварианты ХР1(Йно э") тензора "Й = Йн'"'"е'; ® ...® е,' относительно изомерной группы симметрии С',. Далее, если не оговаривается особо, полагаем, что инварианты рассматриваются в базисе еь Замечание 2.
Согласно определению 4.4, скалярный инвариант тензора можно рассматривать и как функцию ХР1: 7 1" — ь яе", и, после фиксирования кристаллографического базиса е;, как функцию 1Р1: Кь — > й', ставящую в соответствие набору компонент Й""э" тензора в базисе е; вещественное число. Здесь й = 3" — число компонент тензора, равное размерности пространства Тз . Оба эти подхода эк(а) вивалентны. Замечание Я. Если у тензора "Й не все компоненты Й""'" являются независимыми (например, когда тензор "Й вЂ” симметричный по какой-либо группе индексов а, т.е.
принадлежит подпространству Яз" = Яз С 72 ), то число й будет меньше, чем 3". В этом случае, будем всегда полагать, что аргументами функции ХРВ(Й"'"'") являются только й независимых компонент тензора "Й. Набор этих компонент Й""'" представляет собой элемент пространства й"', и для него будем применять обозначение Й""'" б й~. 4.4.2. Независимые инварианты Инвариантов относительно фиксированной группы с4, у каждого тензора "Й существует бесконечное множество (любой инвариант, умноженный на число - тоже инвариант), поэтому выделяют функционально неэависимые инварианты тензора (будем их называть также просто независимыми).
Дадим их определение. Опгндвлвнив 4.5. Отображение 1: И' — ь Из (т > 1) называют тривиальной функцией от т аргументов и обозначают как Х(1ы...1„), где (Хм...Х,) б як", если суиэествует такая область 1т' С ПГ, что для любыя несовиадаюяция элементов (Хы...1,) С тт' и (12 ° ° 1;.) С тт', ия образы совпадаюта: Соответственно, функция 1(1ы..., 1,) — нетривиальная, если в любой области тУ С И' всегда найдутся несовпадающие элементы (Хы..., 1,) С Ит и (1,",..., Х;) С тт", образы которых также не совпадают. Определение 4.5 применимо для функций Х, непрерывных во всем Ж", Если же Х является непрерывно дифференцируемой в й", то для нее справедлива следующая теорема.
Гпеее4. Игпи е ситные тенер ы гинее центы 240 ТЕОРЕМА 4.16. Пусть функция Х(ХМ...1,) непрерывно дифференцируема в Р.", тогда она является тривиальной в тпом и только в тпом случае, когда суиэествует область тт' С К", в котпорой все ее частные производные тождественно равны нулю: дХ)дХв = 0 ()Э = 1, г). У Лействительно, если Х вЂ” тривиальная, то существует область тр, в которой выполняется (4.133) для любых ХЭ ф 1т из Ит.
Тогда для всякого фиксированного набора (1ю..., ХЭ,..., 1,) можно образовать функцию Х(1ы..., Хл,..., 1„) — 1(1ю..., Хэ",..., 1„) ур(1М...,1) — '"'' '"' ", '"' э'"' " — О, значение которой равно нулю, а предел ~ри ХЭ вЂ” ь 1,", совпадает с частной производной: Вш дЭ(1ю...,1,) = дХ/дХА = О. В силу построения, этот предел всегда равен нулю во всей Ит. Наоборот, если у функции Х все частные производные равны нулю в некоторой области ХИ, то Х является константой в тт'.
Тогда, очевидно, что (4.133) всегда выполнено. А Следствие. Из этой теоремы следует, что непрерывно дифференцируемая функция Х является нетривиальной тогда и только тогда, когда в любой области Ит С К" в какой-либо точке найдется хотя бы одна не равная нулю частная производная ду/дХр ф О,,д к (1,..., т). Примером тривиальной функции является тривиальная линейная комбинация (см. п.2.1.2) инвариантов Х = втХт+...+г,Х„, для которой выполнение условия (4.133) эквивалентно тому, что э = О, а = 1,...г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.6.
Если дит системы скалярных инвариантное 1е("Й), а = 1,...т', тензора "Й относительно группы С, суитестпвует нетривиальное функция Х(ХМ...1„), тождественно равное нулю при всех значениях колтонент Й""'": Х (1 (Й""'") 1 (й""'")) = О, ЧЙ"-з", (4.134) то такую систему инвариантов называют функционально зависимой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.7. Систему скалярных инвариантов 1,("Й). а = 1,...т, тенэора "Й относительно группы С, называют функциональноо независимой, если для любой нетпривиальной функции Х(ХМ... 1„) от этих инвариантов найдутся такие значения компонент Йц "з", что (4.135) 4.4. Скаля ные инна канты Эти определения обобщают понятие линейной независимости элементов системы (см. упр.4.4.1). Будем далее полагать, что инварианты 1 (й""'") и соответствующие функции 1(1„...,1,) принадлежат одному классу: либо непрерывных, либо непрерывно дифференцируемых функций в соответствующих пространствах.
4.4.3. 'Условия функциональной независимости инвариантов Творима 4.17. Пусть имеется тензор "й, принадлежащий пространству 7з, причем азт Тз = й < 3", рассмотрим инвариан(а) (") и ты этого тензора 1 (Йц"з"), а = 1,...г, относительно некоторой ~руины С„которые являются непрерывно дифференцируемыми функциями 1: )йк — + )йЯ.
Тогда при т < й система инвариантов 1м...1„функционально зависима в толь и только в том случае, если для любого й""з" Е .'4» гап8 —.. < г, (4.136) а при т > й система инвариантов 1ы...1„всегда функционально зависима.
Т Пусть инварианты 1, а = 1,...т, функционально зависимы, тогда согласно определению 4.6 существует нетривиальная непрерывно дифференцируемая функция 1(1»(й""'"),...Х„(й""'")), равная нулю для любого Й""'" Е )й». Лифференциал с(1 такой функции также тождественно равен нулю в )п~, следовательно, с(Х = ~~ — ПХ = 2 — —,, с(й""з" = 0 Чй""з". (4.137) д1 д1 д1„ дХо д1а дй В силу независимости приращений Ый""з" (см.
замечание 3 из и 4.4.1) из (4.137) получаем, что должно выполняться соотношение: ду дХ„ , д1 дй' -''- (4.138) Так как Х вЂ” нетривиальная, то в силу следствия из теоремы 4.16 в соотношении (4.138) при любых й""'" найдутся не все нулевые коэффициенты дХ/дХо, тогда (4.138) выРажает собой линейнУю зависимость Сформулируем теперь достаточное условие независимости системы инвариантов. Гневе 4. Инин е ентиыетенза ыи инва центы 242 всех 1 координатных строк матрицы (д1 /дйц"'"). Следовательно, максимальное число независимых строк этой матрицы всегда меньше г.
По теореме 2.10а, отсюда следует, что ранг такой матрицы также всегда меньше г. В одну сторону теорема доказана. В обратную сторону. Предположим, что имеет место (4.136), но инварианты 1 — функционально независимы. Тогда, согласно определению 4.7, для всякой нетривиальной функции /(11,... 1„) найдутся такие значения Й"-'", что выполняется соотношение (4.135). Выберем в качестве такой функции линейную функцию / = с1 11 + ...+с„1„, где с1,..., с, — произвольные не все нулевые числа. Но тогда дифференциал такой функции будет отличен от нуля: д/= Ссд1 ф0 (4.139) а=1 при любых ненулевых еЦ„.
Следовательно, рассматривая Ха как функ- ции от Й""'", имеем д1 аа1 (4.140) В силу произвольности ЫЙ""'" (так как Ы в (4.139) также произвольны), получаем, что имеют место следующие соотношения: с —,, фб. дХа а=1 (4.141) Таким образом, мы показали, что для любых не всех нулевых коэффициентов с имеют место соотношения (4.141), означающие, что все т строк матрицы (д1 /дй""'") линейно независимы. Если г > й, то получаем, что имеются г линейно независимых строк длиной й, что согласно теореме 2.2 невозможно.
Следовательно, предположение о независимости инвариантов Х1,...Մ— ложно. Если же 1' < й, то согласно теореме 2.10а независимость всех т строк матрицы д1 /дЙ""'" означает, что гапб (д1а/дй""'") = г, но зто противоречит условию теоремы, следовательно, инварианты 1ы... 1, — функционально зависимы, и в этом случае теорема доказана. й С помощью теоремы 4.17 можно указать достаточные условия независимости инвариантов, которыми будем пользоваться далее.
4.4. Скаля ныя иннв увиты Т Докажем и. 1'. Образуем матрицу частных производных (д1„/д»»»»-'") в условиях теоремы: дХгэ дд11 ду14 д11 "' ''' дй""' д11 "' дЦ~ дХв д1в д11 '" "" д11» -'- '' дйз" д1, д1 д1» "' дй' "'. » д1 дйзг"э »ья 0 Согласно этим условиям столбец, соответствующий индексам »~,...»'„, состоит из нулей кроме элемента в )э-ой строке: с = дХр/дй' "'". Вычеркивая из этой матрицы д-ую строку и несколько столбцов, включая Я... »„')-ый, получаем матрицу (дХ /дй" "'")' частных производных размером (г — 1) х (Й вЂ” 1), которая содержит все производные 'Гвоввмя 4.18. Пусть имеется система инвариантов 1„(нй) /еде а = 1,...т и г ( к/ тенэора нй относительно еруппы 0» С 1, являющихся непрерывно дифу»еренцируемыми функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
