Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Упражнение 4.1.12. Показать, что из (4.27) и табл. 4.1 следуют формулы (4.40) для симметричнык направляющих тензаров в декартовой системе коорлинат. Упражнение 4.1.13. Записать в произвольной криволинейной системе ко. ординат компоненты симметричных направляющих теизоров ОЗ, йЗЛ, ЙЗВ и РЗН Упражнение 4.1.14. Показать, что тензор ьэз, определяемый во (4.33), обладает условиями симметрии (4.37). Упражнение 4.1.15. Показать, что ненулевыми компонентами тензора РЗ являются ээ)1311 1 ээ)1322 эз)2312 3 УпРажненне 4.1.16. Показать, что тензор 1134, определенный по (4.33), обладает следующей симметрией компонент: ЦН 1311 ци 1113 '()34 '~)34 ' ~34 )34 Упражнение 4.1.17. Поквзвтьч что единичный тензор четвертого ранга гз (1.232) можно выразить через направляющие тенэоры; 3 Ь щ ~ е Эеб ®ео®ей+ел Эеб ®ео = пег=1 1 г ~(Е ® Е)(1324) + (Е ® Е)(1423)) 2 УпР.
° ° 41.18. Пок вть, что тензор Й, опр ясмый по (4.40), обладает условиями симметрии (4.37) и имеет только две отличные от нуля компоненты: ()ггп 1 йгггг ЗЛ ~ ЗЛ УПР. ° . 41.19. Показать, ч е ли какие-либо компоненты, иавример, контравариаитные (4.3), сохраняются при линейных преобразованиях, то любые другие: коввриантные, смешанные — также сохраняются при тех же преобразования».
~пражнение 4.1.20. Показать,чтое инеособенныйтензорвторо р е п -1 э инлиффеРентен относительно гРУппы 1зэ, то обРвтный к иемУ тензоР ь также нндиффеРентен относительно той же гРУппы Лээ. Гнава4. Инин е ватные тенер ын инва ванты 214 2 4.2. Число независимых компонент индифферентного тензора Выше в пп.4.1.7 — 4.1.10 мы указали способ построения тензорного базиса (4.19) в пространстве Хз индифферентных тензоров — с помо(и) щью образующих тензоров групп. Однако открытым остался вопрос о числе й — размерности пространства Х~ для различных о. Это (и1 число й, очевидно, совпадает с числом элементов в тензорном базисе (4.19), а также согласно теореме 2.32 — с числом независимых компонент тензора "Й Е Хз Формулы для числа Й могут быть установлены с помощью теории матричных представлений групп, о которой говорилось в 23.4. Выводу этих формул посвящен данный раздел.
4.2.1. Векторное представление компонент тензоров Рассмотрим произвольный тензор и-го ранга "й с. компонентами Й1н'Я" в декартовой системе координат Оя'. Образуем иэ этих компонент координатный столбец из 1 = 3" элементов: а(и( = (а(„р...а(и(), ( = 3 . 1 1 Т и (4.45) т ! 1т зт зт а(и) = (а(и-1Р а(и-1Р а(и-1)) ~ (4.46) а столбец а"„— как совокупность трех столбцов (о — 2)-го уровня ',т ( ',1т цзт ',зт ) (4.47) (и-1) (и-2Р (и-2Р (и-2) !и.п„-ет 1 ю',.,Я„ е1Т 1а.п„ е2Т ', Я„ еЗТ) (2) 1 (1) ' (1) ' (1) Координатные столбцы первого уровня а('"' " ' имеют длину, равную трем, и состоят из компонент тензора Й""'": е,.и ет (ОЦ $ е1 О1 1 2 ДВ 1 21 (4.48) ем ° 1-1=123 Компоненты этого столбца ази,...а1и определим рекуррентным образом: представим столбец п-го уровня а(и1 как совокупность трех столбцов (и — 1)-го уровня а'„' (11 = 1, 2, 3) длиной 3" 4.2.
Число независимых компонент инду е нтного тенер а 2) З )1Т (Й)ы Йбг Йбз'з (г) ( ~ 1 )~ (4.49) т ( гт гт зт) (Йы Йгг Йгз Йгг йгг Йгз Йзг Йзг Йзз) а(г) — (а(г), а(г), а(г)) = ( 4.2.2. Линейное преобразование А(") Очевидно, что множество всех координатных столбцов а(е) заданного уровня образует линейное пространство ь(а) размерности ( = 3". При линейных преобразованиях координат (3.1) компоненты Й) о и" преобразуются по формуле (4.2): й"-'" = А" ...
А'" Йгь "3". 31''' г (4.50) С помощью матрицы А(") и-го уровня, введенной по (3.44), и коорди- натных столбцов а(„) и го уровня это соотношение можно записать в матричном виде: а~(„) — — А(" ) ° а(„), (4.51) где а~(„) — координатный столбец вида (4.45), порождаемый компонентами й""'" тензора й в системе координат Х'. Соотношение (4.51) определяет линейное преобразование А(") 5 мерного линейного пространства ь(") координатных столбцов а(„) в себя, а матрица А(") и-го уровня есть матрица ( х ( этого линейного преобразования.
4.2.3. Индифферентные векторы и-го уровня Если тензор "й является индифферентным относительно какой- либо группы С, ортогональных преобразований в трехмерном пространстве, то его компоненты Й""'" не меняются при любых преобразованиях вида (4.50) (см. формулу (4.7)): й""'" = А" ... А'" ЙУ'"4" гт ''' (4.52) где А' — произвольная матрица третьего порядка из группы С,. С помощью матричной записи (4.51) соотношение (4.52) можно представить следующим обрезом: а(„) = А а(„). (а) (4.53) 3нак еТе здесь, как и ранее, означает транспонирование — превращение столбцов в строки.
Будем говорить, что координатный столбец а(„) пореже)ен компонентами тензора Й""'". Приведем пример формирования координатного столбца а(г) указанным способом для тензора второго ранга й с компонентами Йц": Глава 4. Инян о онтныотонзо ми инва ванты 216 3 о (") а(в) = .з узе)) ))х1 (4.54) Формула (4.54) является матричным аналогом формулы (4.19) разложения индифферентного тензора "й по тензорному базису группы С,. Поэтому если мы найдем число элементов в базисе е,...е„ (о) (в) то найдем и искомое число Й независимых компонент тензора "Й. 4.2.4. Приведение матричного представления к квазидиагональному виду о Рассмотрим подробнее введенное подпространство С("). Поскольку о(") о(о) его базис ег,... е„образует систему й линейно независимых векторов, которые соответствуют одному собственному значению Л = 1 Опгидвлинив 4.3.
Вектор а(„) (-мерного пространства С("), удовлетворяюв(ий Д.бу) для любых матриц А(") из группы Ю,", назовем индифферентным вектором и-ого уровня относительно Ю,". Этот вектор, очевидно, порожден компонентами индифферентного тензора Й""л". Сравнивая формулу (4.53) с соотношением (2.78) для собственных векторов матрицы А линейного преобразования, получаем, что индифферентный вектор а(„) является собственным вектором, соответствующим собственному значению Л = 1, для каждой матрицы А(в) с озв Если же собственное значение Л = 1 имеет кратность в, то, согласно теоремам 2.16 и 2.17, все собственные векторы матрицы А("), соответствчющие этому значению, образуют инвариантное надпространство С, размерности т ( в в пространстве .С(").
В этом подпространстве .С можно выбрать базис е1 ... е, тогда всякий индифферентный (о) (в) (о) вектор а(„) будет выражаться через него. Пусть теперь среди этих векторов е1 ...е, имеется lо векторов (в) (в) (Й ( т), которые являются собственными одновременно для всех матриц А(") из группы П," (число й может быть равно и нулю). Эти й векторов не обязательно совпадают с первыми е ...еь, поэтому о (") о (") обозначим их как ед ,...еь Согласно теореме 2.18, линейная оболочка из них также образует о инвариантное а-мерное надпространство С(") в С("", Назовем его индифферентным подпространством.
Тогда любой индифферентный о вектор а(„), принадлежащий С("), можно представить в виде суммы этих векторов: 4.1. Число независимых компонент инни е нтного тенер в для любой матрицы А1") из Х),", то, согласно теореме 2.14, существу- ет невырожденное преобразование Я, которое приводит матрицу А1") к блочному виду (2.83): 1цв) оо-1 ~(в) /Жь А' ~0 ~ А'„ (4.55) (4.56) будет индифферентным относительно всех блочных матриц Ад"), так как Ад") а~~„) —— Я 1 ° А1") Я ° Я ° а1в) = Я 1 ° а)в) = а(~„), (4.57) т.е.
а' = з 1 А1в) ° Яа' (в) )в)' (4.58) ТиорЕМА 4.4. Матрицу А1") можно привести не тполько к блочному, но и к квазидиагональному виду. т Для доказательства рассмотрим матрицу Я ° Я 'т 1-го порядка. Эта матрица является симметричной и положительно-определенной, так как (з 1 ° Б 1т')т = Я 1 ° Я 1т, тогда, согласно теореме 2.12, ее можно представить в виде произведения неособенной треугольной матрицы Х на ее транспонированную: Я-1.
Я-1т = Ъ 5т, Ы 5 ~ 0. (4.59) С помощью этой матрицы Х 1-го порядка введем новый вектор о а)„) — — Х ~<„) — — С (4.60) н новую матрицу АР/(и) 1 — 1 Адв) Х д — 1 А(в) д (4.61) где (4.62) где Е» — единичная матрица Й-го порядка, А11 — матрица размером й х (1 — )с), Азз — квадратная матрица (1 — )с)-го порядка. Если вектор а)в) является индифферентным относительно всех матриц Ае" группы Х),", то вектор Гиеве4. Ин и е еитные тенге ын инне центы 218 Покажем, что Ап(п) тоже имеет блочный вид (4.55). Представляя мат- рицу Ь в блочном виде, по правилу (2.43) перемножения блочных мат- риц действительно получаем: Ап(п) 5-1 (г(п) Х-1 Х-1 Еь А' 511 Ьг2 )= 6 ~ Агг 522 (4.63) где Ь11 и Ь,, — верхние треугольные матрицы размером Й х Й (см. упр.2.2.6); Ьгг и Хгг~ — верхние треугольные матрицы размером (1— Й) х (1 — Й); 512, 512 и -1 -1 Азг ей 5и ~12+Ьп Агг 522+512 .Агг Ьгг ЯТ я 5 (я цт я 5 ТТ я я я-1 я-1Т я Е(п) (454) Тогда и Ан(п) является ортогональной матрицей, поскольку А(п)— ортогональная (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
