Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 32
Текст из файла (страница 32)
й Покажем теперь обещанную ранее теорему, обьясняющую, почему в точечных группах С, содержатся повороты только на углы О, л/4, я/3, я/2 и я. Творима 3.3. Решетки Брааэ могут иметь оси симметрии только и-го порядка, где и =1, 2, У, 4 и 6. в Пусть имеется некоторая ось симметрии ОХ и-го порядка тела У, образованного одной из решеток Бравэ. Тогда при любом повороте вокруг этой оси на угол 1а, сохраняющем симметрию, каждая из вершин решетки (например, точка А на рис.3.29) перейдет снова в вершину (например, в точку А1), причем отрезок АА1 будет лежать на прямой 119, параллельной плоскости поворота Е. Если мы осуществим еще один поворот на угол 1а в плоскости Е, то рассматриваемая вершина пеРейДет в новУю веРшинУ вЂ” точкУ Аз, пРичем отРезок-А1Аз также будет лежать на прямой 1зз, параллельной плоскости Е. Так как при повороте вокруг оси расстояния от точек до оси не меняются, то при одном и том же угле поворота ~р получаем, что )АА1( = (А1Аз!.
Осуществляя и поворотов на угол 1а вокруг оси ОХ, получаем, что все точки А1... А„лежат в одной плоскости Е', параллельной плоскости поворота Е, и образуют правильный и-угольник. Но поскольку все А1...А„— вершины решетки Бравэ, то у нее в одной плоскости могут лежать только четыре или шесть вершин. Так как фиксированная вершина при поворотах переходит не обязательно во все остальные, лежащие с ней в одной плоскости Е', то имеются еще две возможности образования правильного и-угольника: при к =2 и 3. Присоединяя тождественное преобразование с ее = О, окончательно получаем: и =1, 2, 3, 4 и 6. й 3.3.12.
Периодические структуры для непрерывных групп Примеры тел, симметричных относительно непрерывных групп С„ а = 33...39, приведены на рис.3.27. Периодичесхая структура может быть построена и для этих групп, однако ячейку периодичности в этом случае следует рассматривать как область, ограниченную только в одном направлении, например, по яз: 0 < яз < аз/2. В результате получим слой (рис.3.30) или неоднородную ячейку периодичности в виде системы нескольких слоев. Преобразование трансляции (3.40) этой ячейки осуществляются только в направлении ОХз: Х = Х'з+ иаз, где аз — период. Такая ячейка периодичности является симметричной относительно групп трансверсально-изотропного класса.
Ячеек периодичности, ограниченных хотя бы по одному, направлению, симметричных относительно групп изотропного класса не существует. здп Мат ичныеп едставленикг впп еоб взований 195 гз хд Рис. 8.39. К выводу теоремы 3.3 Рис. 8.30. Ячейка периодичности трансверсапьно.изотропной периодической структуры .з'пражнения к 2 3.3. Ъгпражнение 3.3.1. Доказать теорему 3.2 длк ромбической, тетрвгональной, кубической, ромбоздрической и гексагональной сингоний.
3 3.4. Матричные представления групп преобразований 3.4.1. Тензорное произведение матриц В п.3.2.1 мы ввели понятие группы преобразований Сы и каждому ортогональному преобразованию координат в трехмерном пространстве поставили в соответствие матрицу А' размером 3 х 3, в результате получили группы С, (3 = 1,...
39) из матриц 3 х 3. Однако это не единственный способ такого соответствия. Каждому преобразованию можно поставить в соответствие лзензорное (или прилепе, или его еще называют иронекероесним) произведение матриц А" А" или двойное тензорное произведение А" А" А"., или, вообще, полиадное произведение матриц А" ...А'" . При этом в качестве А' в этих 11''' у ' у произведениях выбирается та или иная матрица из групп 61. 039.
Такие тензорные произведения играют важную роль в теории индифферентных тензоров (см. далее гл.4). Полиадное произведение матриц в данном случае удобно рассматРивать не как компоненты тензора ранга 2п, а как матрицу размером 3" х 3". Будем обозначать такие матрицы рекуррентным способом: ~ведем последовательность матриц А<ц, А~~>,...А<") размерами 3 х 3, 3 х 3, ... 3" х 3" соответственно, которые имеют следующий внд: Гиаваэ.
Г ппшв еоб вковвиий 199 матрица первого уровня А(1) = (А( )' ) = (А! ), (3.41) матрица второго уровня А11А(1) А!1 А(1) АззА(1) А(з) = (А( )' ) = Аз,А(1) Аз А(1) Аз А(') . (3.42) А' А(') А' А(') А' А(1) Здесь каждый элемент, например, А11А(1) есть матрица А' (3 х 3), элементы которой умножаются на А11! 4г41 '4г41 '414з А1 А(1) = А11Аз А11Азз А11Аз зкз А1 Аз 41 4з 41 4з З 1 г З З З (3.43) Тогда матрица А(п) уу-го уровня имеет вид: 4(п) ( 4(п) ) з-хз- (3.44) ее размерность 1 х (, где ( = 3".
Формула (3.44) для матрицы А(п) и-го уровня может быть символически записана как тензорное произведение матрицы А = А(1) на МатрИцу А(п 1) (П вЂ” 1)-ГО урОВНя: А(п) 4(1) ® 4(п-1) (3.45) Очевидно, что матрица А(п) связана с матрицей первого уровня по- лиадным произведением уу-го уровня: А(п) = АЗ А(9 (рА (3.46) п штук поэтому будем говорить, что матрица А(п) и-го уровня, образованная таким способом порождена матрнцей А. Саму матрицу А первого уровня будем называть порождаюя(еб матрицей. А А(п ) 1 А' А(п-') 1 Аз А(п-1) 1 ) ш „4(п)!,4(п)! 1 ! А11А(п Аз А(п-1) з .4з .4(п-') з А' А(п-') ~ з 42 4(п-1) з ,4з А(п — 1) з ЗА.
Мвт ичныен еиетввненипг пни еов веоввний 197 3.4.2. Матричные представления группы Рассмотрим теперь не одну, а множество матриц А(Ц размером 3 х 3, принадлежащих хакой-либо группе С„тогда соответствующие матрицы А(п) п-го уровня образуют некоторое множество Ю," матриц размером Зп х 3", Творима 3.4. Множество Ю," матриц А(п) образует группу. у В самом деле, вычисляя скалярное произведение двух матриц А(п) и Н(п), порожденных двумя матрицами А, Н б с „по правилам обычного перемножения матриц (2.22) получаем: А(п) ° Н(п) = (А(п)' Н(п)1.) = А1 Н' А(п-ЦН(п-Ц 1 Аз Н! А(п-ЦН(п-Ц 1 41 Н! 4(п — ЦН(п-Ц ! 1 (3.47) Аз Н! А(п-ЦВ(п-Ц з т.е. матрицы А(п Ц, Н(п Ц и матрицы А'1, Н', перемножаются независимо.
Для матриц первого уровня имеем: (А(Ц Н(')) = (А1.Н!ь). (3.48) 1 О А(п) . Н(п) — Я(п) ее О 1 (3.49) Эту же матрицу можно получить из (3.44), если в качестве А'. взять б'. Умножение такой матрицы Е(п) на А(п), очевидно, будет всегда давать А(п) Если А' (1,7 = 1,2,3) — ортогональные матрицы, то все матрицы А п)' (е,у = 1...1) тахже будут ортогональными. Это следует у нз формулы перемножения матриц (3.47), если в качестве Н(п! взять Таким образом, снова получаем матрицу А(п) Н(п) того же строения, что и исходные А(п), Н(п), порождающая ее матрица А'.Н', также принадлежит группе С,. Следовательно, операция произведения матриц л-го уровня (3.47) отображает множество Р," в себя. Если в качестве Н' выбрать обратную к А' матрицу В1, то по правилу (3.47) перемножения получим, очевидно, единичную матрицу размером 3" х Зп: Глвввэ.
Г ппып еое веоввппй 19з матрицу, порожденную транспонированной матрицей Н' = А '. Таким образом, множество Р, "матриц и-го уровня А(п) действительно образует группу. а Итак, одной и той же группе С, ортогональных преобразований (3.1) можно поставить в соответствие различные группы Р," матриц при разных и, называемые матричными представлениями группы (е, и-го уровня. Заметим, что, вообще говоря, матричные представления можно ввести для произвольной группы С„не относящейся к группам линейных преобразований координат. 3.4.3.
Изомерные матричные представления Пусть теперь имеется некоторая невырожденная матрица Я того же порядха ( = 3", что и матрица А(п). Тогда, образуя с каждым из элементов А(п) группы Р," новую матрицу (-го порядка А'(и) =Я ~ А(п) Я, т(е( Яф0, (3.50) получим еще одно множество матриц А'(и) и-го уровня. Это множество также образует группу .Рт, так как произведение двух матриц А'(и) и Н'(и) вида (3.50) снова есть матрица вида (3.50): Аю(п) Н~(п) (я-з 4(п) я) (я-з Н(п) я) я-з (А(п) Н(п)) я (3 51) Выбирая в качестве Н'(и) матрицу, обратную к А'(и), получим элемент (А'(и)) ~ — обратный к А'(и), который, очевидно, тоже имеет вид (3.44). Группа матриц Р',и дает еще одно матричное представление и-го уровня группы с',.
Опгнднлннин 3.7. Матричные представления Р," и Р',", элементы которых связаны соотношением (3.50) наэываюта из омерными (или эквивалентными). 3.4.4. Приводимые и неприводимые представления Зля одной и той же группы С, можно построить бесконечное число матричных представлений. Выше мы привели два способа нх построения: с помощью тензорного пронзведеняя матриц (3.46) и с помощью невырожденного преобразования (3.50). Укажем еще два способа, назовем нх третьим и четвертым. Пусть имеется некоторое матричное представление группы С, с помощью матриц Н, п го порядка и второе представление той же ЗЛЬ Мет нчныел енетввленвв г лл л еое ввовеннй 199 группы с помощью матриц В, т го порядка. Тогда можно образовать квазидиагональные матрицы С, (п+ т)-го порядка, в которых Н и В являются блоками (см.
(2.45)): (3.52) Перемножение квазидиагональных матриц (см. п.2.2.4) снова дает квазидиагональную матрицу, поэтому все матрицы С„построенные по (3.52), дают еще одно матричное представление группы С,. Вообще говоря, из конечного числа Й матричных представлений с помощью матриц Н„В„..., Р, различного порядка можно всегда образовать новое матричное представление С, с использованием квазидиагональных матриц вида: (3.53) Четвертый способ является хомбинацией третьего и второго: выбирая произвольную невырожденную матрицу Я того же порядка, что и С„образуем новые матричные представления группы С,: (3.54) С,=Я С, ° Я, йе4ЯфО.
Матрицы С,' в этом представлении, вообще говоря, уже не будут квазидиагональными. Дадим теперь следующую классификацию. Опгндндннии 3.8. Матричное представление группы С„матпрщ цы С' которого имеют квазидиагональный вид (у.бу) с количестпвом блоков более одного, называют п р и в е д е н н ы м. Приведенное представление распадается на конечное число и матричных представлений с матрицами Н„В„..., Р„меньшего, чем Се порядка. Опгндндннин 3.9. Матричное представление, матрицы С' которого не иаеютп кваэидиагонального вида, но могут бытпь приведены к нему с помощью невырожденного преобразования (3.54), называют приводимым. Вели же матпричное предстпавление не имеет кваэидиагонального вида и не можетп бытпь приведено к нему с помощью какого-либо невырожденного преобразования (8.54), то тпакое представление называют неприв о дам ым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
