Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ромбоэл- рическал 17. эпрический В В-ромбо. (тригональнвл) 1В. 19. 30. 31п 3:гп б со зг 3 п1 элрический Н 31. 3:го Гексаго- нальнвл Гексаго- нальный 6:гп 6 гог го Зпп 35. бппп б гл 6/ппппэ пг6:гп /Е/ЗСг/ /4Сзь/4Сзь/ '" /Е/1/ /ЗСг/4Сзгь/ 4Сзь/4Еб~ь/ /4565/Зо / /Е/2СЗ/8Сз/ /6Яе/боб/ /Е/ЗСЗ/8СЗ/ /6С46/6Сгв/ К гв. з/г гз Куби- Кввэи- пгЗ гв. троп- ный 43пэ з/З Зо. 3/4 З1. 433 Глава 3. Г ппы и еоб ований Таблица Я.Б. (продолжение) /Е/Сзэ/Сзэ/ /Е/1/С / са Еб/Еб/ /Е/2Сз /Зоь/ /Е/2СЗ*/ЗСгь/ /Е/1/2Сз*/ Зсгь/256/Зоь/ /Е/Сз,/Сз,/ Езэ /Е3» /оэ / /Е/Сзэ/Сзг/ Сг./Сеч/С,',/ /е/1/с,,'/с,',/ /Сгэ/Сбэ/Сбэ/ /обэ/обэ/озэ/ /Езг./о./ /Е/2Сз /ЗСгь/ /ЗЯЗ /оэ/Зоь/ /Е/2Сзэ/ /2Сбэ/Сгэ/ /ЗСгь/ЗСгь/ /Е/2сзэ/2сбэ/ /Сг /Зоь/Здь/ /Е/1/2Сз / /2Сбэ/Сгэ/ /зс /зс / /2С6 /2ЕЗ / /сг,/Зоь/Здь/ З.З.
Снммет нк конечных тон 1гэ Таблица 3.5. (продолжение) Результат представленного выше разбиения групп на классы сопряженных элементов можно оформить в виде следующей теоремы. ТЕОРЕМА 3.1. Тело У симметрично относительно группы С, тогда и только тогда, когда око обладает элементами симметрии, входящими в соответствуюи1ую группу О,. т Показательство очевидно, так как выше мы установили взаимносднозначное соответствие между группами с, матриц преобразований из п.3.2.2 и группами из элементов симметрии, приведенных в табл.3.5. а 3.3.9.
Тела с периодической структурой В механике и физике важную роль играют такие конечные тела У, которые, периодически повторяясь, заполняют собой все пространство ксз. Рассмотрим их. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.6. Периодической структурой РЬ казы воют обьединение всех образов У„некоторого тела У, полученных с помощью отображений рн 1 У вЂ” + К, С Вз, обладающих следующими свойствами1 о 1 каждое ф„задается трансляционным преобразованием координат: Х =Х' +п а, а=1,2,3, (3.40) где Х" й У, Х' б У„«, а — числа, называемые периодамщ и целые числа (пз, пз, пз); й' замкнутые областпи У„и У„к при пн ф пэ могут иметь общими только граничные точки; Глава 3.
Г ллм и еоб рвений 190 Рис. Ю.йб. Период»челка» структура Рис 8.26. Ячейка лериодичнооги Ру «рнетвлла е примитивной решет- диелерено армированного комловидикой онного материала е примитивной ре- шетко» уе обьединение всех Уи аонРываета Из, т.е. 1гтХ' й йз ЗУе ' Х' б У„«. Координаты Хн могут быть, вообще говоря, криволинейными, в этом случае говорят, что Рр является криволинейной периодической структурой.
Если же Хн — прямолинейные (не обязательно ортогонвльные) то их называют нриставллограйтичеснилги координатами. ! о Числа а полагают фиксированными, а а — переменными, меняя которые, получаем различные отображения тр„тела У. Трансляционные преобразования (3.40) представляют собой частный случай линейных преобразований (ЗА), когда А' = 3' и А" = пла . Тело У, образующее периодичесхую структуру, называют ячейкой аериодичностаи.
Очевидно, что не всякое конечное тело У может образовывать периодическую структуру. В физике и механике чаще всего рассматривают ячейки периодичности в виде выпуклых многогранников. Если в вершины такого многогранника У поместить атомы кристалла (рис.3.25), полагал, что геометрически они соответствуют точкам пространства, а все остальное пространство считать "пустотой", то соответствующую периодичесхую структуру Рр называют кристааллоле с арилгитаивнвй решетаной.
Из таких ячеек периодичности (реитетаон) состоят реальные кристаллы различных веществ. Аналогом кристаилической решетки является периодическая структура, в которой многогранник У представляет собой неоднородное тело со сферообразными подобластями Ил центры которых располагаются в вершинах многогранника (рис.3.26). Если эти подобласти У; рассматривать как наполнитель, а остальное пространство многогранника У как матрицу, то такую периодическую структуру называют дисаерс- 3.3.
Снимет нк конечных тен 191 но армированным композиционным материалом также с примитив- ной решеткой. 3.3.10. Решетки Брава Существует всего только семь различных примитивных решеток, представляющих собой параллелепипеды, длины ребер которых равны периодам ат,аз,аз, а углы между ними — 81,83,83. Все они изображены на рис.3.27, там же указаны соответствующие значения периодов а; и осевых углов 81. Названия этих решеток являются производными от формы образованных ими тел, например, три различных угла 8; в каждой вершине дали основание для названия триклинной решетпки; решетка с одним только из вт непрямым углом названа моноклинной и т.п.
Кроме примитивных, существуют более сложные решетки, содержащие "точечные" атомы (или сферообразный наполнитель) в центре пары противолежащих граней (базоцентрированные решетки), или в центре всех граней (гранецентпрированные решетки), или в центре симметрии решетки (обьемнвцентрированные решетки). Оказывается, что различных решеток, обладающих соответствующими симметриями, существует еще семь штук: бгзоцентрированные моноклинная и ромбическая; объемноцентрированные Ромбическая, тетрагонапьная и кубическая, и гранецентрированные ромбическая и кубическая.
Все они показаны на рис.3.27. Совокупность из четырнадцати примитивных и перечисленных не- примитивных решеток называют ретаетками Браге. Заметим, что для гексагональной и ромбоэдрической сингоний существуют дополнительные часто используемые решетки. Объединив три примитивные решетки гексагональной сингонии, получим новую уже непримитивную решетку, в основании которой лежит шестиугольник.
Лля ромбоэдрической сингонии существует дополнительная непримитивнэя решетка с соотношением параметров как у гексагональной (а1 = аз ф аз, 81 — йз = 90е, йз = 120'), но с двумя дополнительными внутренними "точечными" атомами, расположенными на главной диагонали с кооРдинатами Х'3 = аз/3 и 2аз/3 (Рис.3.28,6). Объединив три такие решетки, получим, как и для гексагонгльной сингонии, еще одну решетку, имеющую в основании шестиугольник (рис.3.28,в). 3 3.11. Симметрии решеток Брава Совпадение названий семи примитивных решетах с названиями ~Рупа С„объединенных в семь сингоний, объясняет следующая теоРема. Твогвмя 3.2.
Решетаки Брава каждой сингонии являются симметричными относительно групп С, из одноименной сингонии. Очевидно, что доказательство достаточно провести только для мак- Глава а. Г ппы и еоб азований !92 Решетки Объемно- центриро- ванная СИНГОНИЦ Примитивная 'в ! и г 1 Ят з !Ч Тетрагонаяь- ная Ч Ромбоэдричес- гр х 'ч 1 Трикяинная а,ха,ха,ха, В,хВ,хВ,хВ, 11 Моноклнниая а,ха,ха,ха, В, =В =90" ив, Ш Ромбическая а,ха,ха,ха, В, =В, =В, =90" а, = а, и а, в, = В2 Вз = 90' а, =а, хат В, =В, =В, х90" Ч! Гексагоиаль- нея а,=а,ха, в, =в, =то',в, ио ЧП Кубическая а,=а,=а, В, =В, =В, =90" Базоценгри- рованная Рис.
8.27. Решетки Брава о Ф- '=- Гранеце- нтрироя- ная З.З. Симмет ик конечных тед 193 а) б) Рнс. 8.28. дадоднитедьные решетки ддк гексагонадьной (а) и ромбоедричеекой (б) и (в) сннгоний симальных групп в каждом классе, тогда для остальных групп, являющихся подгруппами максимальной группы, теорема также будет верна.
Введем кроме кристаллографических координат Х' еще одни — прямоугольные декартовы координаты я1 с базисом е<, называемым в соответствии с п.3.2.3, крисньаддо(ризичеси7ьи базисе.и. Точку О начала координат я' поместим в центр симметрии решеток, что всегда возможно, так как у всех решеток она имеется и расположена на пересечении главных диагоналей. Оси О*' направим следующим образом: сингонии: ° триклинная, моноклинная: Охз .) (О'Х'1Х'з), Ояз )( ОХ'з; ° ромбическая, тетрагонельная: Ох1 )) О'Х"; хубическая ° ромбоэдрическая, гексагональная: Ояз .) (О'Х'1Х'з), Окз () ОХ'з, где (( означает параллельность, а .(.
— ортогональность оси к плоскости. Лля ромбоэдрической и гексагональной сингоний выбираем решетки с шестигранником в основании (рис.3.28). Используем представление группы О, с помощью элементов симметрии, приведенных в табл.3.5, и покажем, что решетки являются симметричными в построенных осях Оя'. Триклинная решетка, очевидно, симметрична относительно группы 69, так как в ней только один элемент симметрии — центр симметрии. Нетрудно убедиться, что моноклинная решетка, у которой единст-, венный непрямой угол дз лежит в плоскости о„ ортогональной оси Оя~, будет симметричной относительно этой плоскости.
Поскольку четыре грани этой решетки параллельны оси Ояз, а две другие представляют собой параллелограмм, через пересечение диагоналей котоРого проходит ось Охз (см. рис.3.27), то эта ось будет осью симметрии второго порядка решетки. 7 тснюрнсс исчсссссс Гпвввэ. Г ппып еоб взвввввй 194 Проверяя таким образом все решетки на симметричность относительно элементов симметрии из табл.3.5, убеждаемся в справедливости теоремы. Подробный анализ остальных решеток оставим в качестве упр.3.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
