Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Базисные внешние формы типа (О, й), определенные на Б„, преобразуются при эамене базиса в Б„по соотношениям (2.214), а формы типа (й, 0) по (2.21Ц. Кососимметричные тенэоры "Т Е Л„преобразуются при такой замене по формулам (2.21 В), (оз) а тенэоры ~Т Е Л„вЂ” по формулам (2.2121. (ьо) Заметим, что соотношение (2.219) не противоречит тензорному закону преобразования (2.158), а является толысо иной формой его записи для кососимметричных тензоров. 2.Е. Внешние о мы 1эз Тогда (2.221) будет эквивалентно следующему соотношению: Т""'" = е""'"Т (2.
223) (2.224) Тц...~„ш е;,...~.Тзз...ю, и, следовательно, Т ш кбТзз, „е Л... Л е . (2.225) Из формул (2.220) и (2.225) следует, что для тензоров из Л~~"~ и Лп существует только по одной базисной внешней форме: езЛ.. Леп (по) и ез Л...Ле". В силу формул (2.214) и (2.215) зти внешние формы преобразуются по следующему закону при замене базиса в С„и Е*„соответственно: е, Л...Ле,', = ДезЛ...Ле„, е Л...Ле" = — е Л...Ле", (2.226) Д где Д = Де1 (о! ). (2.227) Действительно, так как при й ш'л в суммах соотношений (2.214) и (2.215) остается только по одному слагаемому Яд „з" п и У"'п~ „, то вычисляя по (2.213) и (2.216) эти коэффициенты: ~1 ~1 о „к"'п = <Ы Я"з ... У'„ (2.228) Убеждаемся в истинности формул (2.226). Единственные независимые компоненты Тз „и Ть "п кососимметричных тензоров согласно теореме 2.30 преобразуются при замене базиса следующим образом: (2.229) 2 6.7.
Внешнее произведение кососимметричных тензоров Рассмотрим обобщение операции (2.190) внешнего произведения векторов. Кососимметричный тензор "Т типа (и, О) на Е„также имеет только одну' независимую хомпоненту Тзз„,„, а все остальные выражаются следующим образом: Глава 3. тенер ы налннейных н оет анетвах 1зв Опрвдвлвнин 2.33. Внешним произведением нососиммет(ро) ь (во) ричные таенэоров РТ Е Лй и В Е Л(, назовем альтернирование ие тенэорного проиэееденига ТЛ "В = (РТЭ'В)("). (2.230) Так как РТ Э ьВ является тензором (р+ й)-го ранга, то мы можем записать выражение (2.230) в компонентах, используя определение (2.174): Тл "В = 1 ( — 1)( '"' '+")Т"""Вэ'"д"е;„Э .. (2.231) где РТ = Т"""е„Э...Эе;, барр В = Вэ'"1" е, Э...
Э елы (2.232) РТЛ "В = (-1)'~п"~р+р)Т'"р""рВ р+"" "р+" е;, Э .. (р+ Ю), ~'„ ...Эе;, Эе;,+, Э...Эе;„,. (2.233) Ввиду кососимметричности етого тензора, его можно преобразовать согласно теореме 2.40: "Т Л ьВ = ~~р Т(""' В"""""')е Л... Л е. (2.234) 1р ° ° ° 1ртд1 бс...с1р.~.р здесь введено обозначение для коэффициентов: Т("'""В"+'""+') = (-1)(- - -""(Т'- -'- В'-" -'-" (нрп..пр ер) (2.235) 11оскольку в правой части (2.230) стоит альтернированный тензор, то согласно (2.175) РТ Л "В будет кососимметричным.
Тогда в пра- вой части выражения (2.230) можно переобозначить индексы с учетом формул (2.187): 2.5. Внешние о ыы 155 Теогемя 2.43. Введенная операция (2.230) внешнеео умножения кососиммептричнььс таензоров обладаект следующими свобставамит однородноспть (в"ТЛ В) =(отлов) =в(РТЛ "В), бй~, (2.236) дистприбутаивность (РТ1+ "Тг) Л В = "Т1 Л В+ "Тг Л "В, (2.237) Рт Л ("В1+ "Вг) = Рт Л В1+Рт Л "Вг, (2 238) ассоциактивноспгь ( т л "в) л с = т л ("в л тс), (2.239) косокоммутлактивноскть т л "в = ( — ц +""в л т.
(2.240) и рассмотрим тензор под знаком альтернирования: (отлов)8 с= 1 1)(~о..ш„(((РТ , .ьВ) (шт ...~ ) 8 т С г! (шт...т,) (Рт 8 ЬВ 8 тС)(п! (2.242) где г = р+ /т. Здесь вльтернирование "[а]" берется по группе из первых т индексов тензора Рт Э "В Э тС согласно определению (2.164). Но тогда, подставляя (2.242) в (2.241), с учетом свойства (2.177) получаем (Ртл "В) ЛгС = (РТ8 В ® С) Совершенно аналогично можно доказать, что (2.243) "т л ('в л'с) = ('т эьв 8'с)'"'. (2.244) Т Свойства (2.236) — (2.238) непосредственно вытекают из определения (2.230).
Для доказательства (2.239) представим левую часть этого выражения в виде: (Рт Л "В) ЛтС = [(Рт Л "В) 82С), (2.241) Глене г. тенко ы нелинейных и ест енстввх 1бе Сравнивая (2.243) и (2.244), убеждаемся в истинности соотношения (2.239), Зля доказательства утверждения (2.240) заметим, что Т9 В= ='Г'ь+'"гз+ьВ""ье(ьы 9...9е;„9е;, 9...9е;„= 'ь+з = (ьВ 9РТ)(~+и "'~+Рд'"'ь]. (2.245) Тогда согласно свойству (2.176) получаем: ( ТЛ'В)('] = (("В9 Т)("+'- '+"- "]] з [А] = ( — 1)]~+~'"'~+Р'~'"'~]~В Л РТ, (2.246) но так как 1)]ь+ц...,з+рл,...,ь] ( 1)зр то от (2.246) приходим к (2.240). й Операции внешнего умножения и сложения кососимметричных тензоров, удовлетворяющих свойствам (2.236) — (2.240), позволяют построить на пространствах Л„(й = О, 1, 2,...
) или Л„ (ео] (оь] (и = 0,1,2,...) алгебраический объект, называемый алгеброб Грасслзана. Заметим, что в п.2.6.4 было установлено, что ненулевых косо- симметричных тензоров в пространствах Л„и Ле при й > и нет, (ьо] (ое] т.е. Л(" ]=О, Л(„]=О, й> (2.247) Упражнения к 3 2.6. Т = ег Лег+ ее Лев не может быть представлен в виде внешней формы типа (О, 2), з.е.
в виде Т = аЛЬ, тдеа,Ь Е Ве 'Упражнение 2.6.2. Доквзвть, что (еб Л...Ле;„) Л(е;,, Л...Ле;„,) = (е;, Л...Ле;,+,). Упражнение 2.6.3. Поквзвть, что обобщенный символ Кронекерв обледвет следующими свойствами в ь.е. тл с. п, т=п, т>п, е '"' — еп" е е Упражнение 2.6.1. Локвзвть, что кососимметричный тензор из Ле нв (ог] с ГЛАВА 3 ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 3 3.1.
Линейные преобразовании координат 3.1.1. Формы представления линейных преобразований координат В евклидовом пространстве йз рассмотрим частный случай преобразований координат (1.4). Линейное преобразование ноордцнат определим как Хд = АУ х'+Аз, ! х' = В' Хд+ В' у (3.1) где Аг; и Аг, В' и ВУ не зависят от х' и Хг. Преобразование (3.1) называют также аффиниььа. В случае центральных преобразований: А' = В' = О. Каждому линейному центральному преобразованию соответствует матрица А', являющаяся обратной к В' с 1' (3.2) Будем далее также использовать матричное представление преобразований (3.1) с помощью матриц 3 х 3: А~г А~г А~ (А ') = Агг Агг Агз Аз .43 Аз (3.3) Вернемся теперь в трехмерное евклидова пространство йз, и рассмотрим линейные преобразования координат в нем. Множество таких преобразований может образовывать особую алгебраическую структуру — группу.
Вообще теория групп, у истоков хоторой стоял блистательный французский математик Х1Х века Э.Галуа, в настоящее время является одним из важнейших разделов алгебры. Группы широко применяются не только в математике, но и в механике, физике, квантовой химии, кристаллофизике и др. В данной главе мы познакомимся с понятием группы на примере групп линейных преобразований в йз. Глава 3. Г ппы л еоб зеваний 158 О) 0) Рис. 8.1. Обозначения кристаллографических осей Рнс.
Я.я. Обозначения кристаллографических плоскостей Кроме того для описания линейных преобразований иногда удобно использовать иристаллограузичесние оси, проходящие через начало координат О и вектор Ь: Ь = Ь'ео 3.1.2. Важнейшие линейные преобразования 1) Унзанодулярнььнц называют преобразования, определитель матри- цы которых А' не меняет знака: бе1 (А' ) = 1 (или — 1). (ЗА) 2) Орпзогональными называют преобразования, которым соответствует орпзогональная матрица А'. (для нее выполняются условия (1.212)): (3.5) Лля таких осей используют обозначения: [ЬзЬзЬз), а криспзаллографичесиие нлоскоспзи, ортогональные к этим осям Ь, обозначают хруглыми скобками: (ЬзЬзЬз).
Например, сами координатные оси Ое в этих символах будут обозначены как [100), [010] и [ООЦ. Ось, проходящую через главную диагональ куба, обозначим как [111) и тл. (рис.3.1). Если Ь' принимают отрицательные значения, то в этом случае над ними сверху ставится черта, например [110). Примеры кристаллографических плосхостей приведены на рис.3.2. Рассмотрим важные частные случаи центральных преобразований. 3.1. Линейные и еоб ееоеьнне нор дннае 159 согласно результатам п.1.6.3, ортогональное преобразование — это по- ворот вокруг какой-либо оси или отражение относительно какой-либо плоскости.
3) Собственно ортогонааьными называют преобразования, для кото- рых одновременно выполнены условия (3.4) и (3.5). 4) Преобразованием трансверсааьноб иэотропии называют преобра- зование поворота вокруг оси Охз на произвольный угол ф, матрица А1 которого имеет вид: совф в1пф О (А 1) = е'з = — вшф совф О, где О < ф < и. (3.6) О О 1 Для этой матрицы выполнены соотношения: А' А.» = б» У 1 У~ Аз бз Аз =дз. Х = совфх +вшфх, Хз = — вшфх1+совфхз, Х1 = хз. (3.7) Рассмотрим далее частные случаи преобразования трансверсальной изотропии. 5) Тождественное преобразование, которому соответствует единичная матрица: 1 О О (А )=Ж= О 1 О О О 1 (3.8) означает поворот на угол ф = О или 2в.
6) Преобразование поворота на угол ф = я/2 вокруг оси Охз. О 1 О (А'1) =Яз~ = 1 О О О О 1 (3.9) Преобразование поворота на угол ф = я/2 вокруг осей Ох» и Охз определяется аналогично: 1 ΠΠΠΠ— 1 6),"= О О 1, О,"= О 1 О . (3АО) Π— 1 О 1 О О Ось Охз в этом случае называют осью бесконечного порядка (или осью трансверсальной изотропии). Подставляя (3.6) в (3.1), получаем соотношения между "старыми" х' и "новыми" Х' координатами (рис.3.3): Гнева 3. Г ппы п еоб азований 1бо Рис. 3.4. Преобразование зеркального отражении В1 Рве. 3.3. Преобразование Я~~ 7) Преобразование поворота на угол ф = 2я/3 и ф = — 2я/3 вокруг оси Овз: -1/2 з/3/2 О -1/2 -1/3/2 О (А1 ) = Я1 = -з/3/2 -1/2 О Яз = ъ'3/2 -1/2 О О О 1 О О 1 (3.11) 8) Преобразование зеркального возражения относительно плоскостей Оиззз, Оязхз и Оязяз определяется, соответственно, матрицами: — 1 О О (А')=Вззз О 1 О О О 1 (3.12) Взго Π— 1 О, Взза О 1 О при этом одна из осей меняет свое направление на противоположное, а две другие не изменяются (рис.ЗА).
Пенять независимых преобразований Ж, Я'~з, В,Я, а = 1,2,3; 7 = 1,2 (3.13) играют ключевую роль в описании свойств симметрии тел (см. далее 13.3): кристаллов, композиционных материалов и т.п. Суперпозицией 2.1. Линейные и еоб еоввнии кое кинел 1Е1 д- /г (4) /2)т О 4) 4) /г 4) /2 О' В 1~л/2 М дл/2 дл/2 М ого/-л/2 ~)-л/2 С= В1 'Вз ВЗ Геэ/2 = 1 2 3;,В ф а, (3.13а) где индексы сг,/3 выбираем круговой перестановкой: (а,/3) = (1,2), (2,3) и (3,1), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
