Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 27
Текст из файла (страница 27)
т, =Взоз, эг/2 Т2 = В1сез э лз = В2е22 эг/2 эг/2 Здесь и далее операции транспонирования ( ) и умножения (.) матриц соответствуют операциям действий с тензорами второго ранга (1.135) н (1.139): 41 А2 43 1 1 1 (А ') = (А' )т = А12 Азз А (3.14) а также (В1 Вз) / — (В1) ь(В2) /. (3.15) Напомним, что в декартовой системе координат в/ матрицы А/ь и А;" совпадают (см. п.1.1.5.Е), т.е.
А12 = А12 и т.д. Запишем матрицы преобразований (3.13а) явным образом. — эг/2 9) Матрицы с/ определяют преобразование поворота на угол — я/'2 вокруг оси Око: 1 0 0 (А/) =д '= О О 0 1 0 (3.16) — О 1 О, Я,'~ = 1 О 10) Матрицы Ю определяют преобразование поворота на угол я вокруг оси Ок~: 1 0 0 (А/ )=Р1 — — 0 -1 0 0 0 -1 Т игор ос иссислсии этих девяти преобразований можно построить еще двенадцать важ- нейших преобразований: Гнева 3. Г ппы п еоб азований 162 =х 1 Х Рнс. 8.Е.
Преобразование отреже-. те Рис. 8.б. Преобразование поворота ~2 — о о о о Оз = 0 1 0 Юз= 0 — 1 0 (3.17) 0 0 — 1 0 0 1 двум другим координатным осям Ов, Ов» 1 0 0 0 0 1 0 1 0 Т= 0 0 1, Тз —— 0 1 О, Т= 1 0 0 . (3.18) 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Ось Ояв при этом преобразовании остается на месте, а оси Ояо и Оя» меняются местами (рис.3.5). 12) Матрицы М» определяют преобразования поворота на угол ~2я/3 вокруг оси 1111], при этом изменяется нумерация всех трех координат- ных осей Оя'. 0 1 0 0 0 1 Мд — — 0 0 1, Мз — — 1 0 0 .
(3.19) 1 0 0 0 1 0 Поворот всех координатных осей происходит в плоскости (111) (рис. 3.6). 13) Матрица С определяет преобразование инверсии (т.е. централь- ного отражения) относительно начала координат: (3.20) 11) Каждая матрица Тв определяет преобразование отражения относительно плоскости, проходящей через ось Оно и разнонаклоненной к 2.1. Линейные и еоб веник кое инат 1ЕЗ наТа~ РоТ/» ~ РаМ» ~ ВаМ» ~ СТа г СМ» (3.21) а,/3 = 1, 2, 3, т = 1, 2. (Три матрицы ВаТ// = О„при а ф /3 уже учтены при введении мате/2 е/2 -в/2 рицы с/д, а три матрицы Д»»Т = с/ — при введении поворотов с/ '/ .
Далее для обозначения поворотов на жл/'2 будем использовать именно эти матрицы: В Тд и ВяТо). С помощью же матриц В» можно образовать еще 14 матриц: Сбт, В~Я», Р В„а = 1,2,3, » = 1,2. (3.22) Итого имеется множество из 64 матриц (3.13), (3.13а), (3.21) и (3.22). 3.1.3. Тензоры линейных преобразований С точки зрения теории линейных пространств, изложенной во второй главе, центральное преобразование координат (3.1) соответствует замене декартова базиса е; на новый ортонормированный базис е;: (3.23а) где В»; — обратная х А' матрица.
Якобиевы матрицы Я»;, Р' на основании формул (1.7) и (1.11), а локальные векторы базиса К; и КУ на основании (1.6) и (1.19) вычисляются для линейных преобразований (3.1) следующим образом: ч»'/ = В', Р/ — — А', К; = е» = В»; е, К' = е' = А' е'. (3.23б) Векторы локальных базисов К; и К.' для случая линейных ортогонельньгх преобразований координат обозначим далее как е; и е'. Если матрица А»у ортогональна, то базисы е' и е; также ортогонапьны и совпадают, и д"=Ве/В .=8 дб=А',А»'=бм б — 1 й/ — 1/1 В самом деле, если выбрать в пространстве Кз вехтор х с координатами х' в базисе е;, то в новом базисе е; он будет иметь координаты Х', так как согласно (3.1) и (3.23) имеем: х = х'е; = х'А'; е, = Х/е/.
Все перечисленные матрицы Е, е„»'~, Во, е'„»а'», Ро, Т/1, Мт, С образованы из элементов (О, 1 и — 1). Всего же ортогональных матриц с тахими элементами имеется только 50 штук. Оставшиеся 29 матриц образуются суперпозицией из матриц (3.13а): Глвва 3. Г епы и еоб зоэвеий 164 Сравнивая формулы (3.23) с (2.63), устанавливаем, что в рассматриваемом случае матрица У перехода от одного базиса к другому, введенная в п.2.3.3, суть В'у =А'у (В ')'у =В'у причем е; = е;'. Однако если У была введена нами для произвольных базисов, то в данной главе и в последующих матрица А' связывает специальный фиксированный декартов базис е; с ортогональным базисом е;. Тогда можно образовать тензор второго ранга Я = А' еУ Э е„ (3.24) С) =В' е;®е'.
(3.25) Таким образом, каждой из 64 ортогональных матриц преобразований (3.8) - (3.22) соответствует тензор линейных преобразований. Будем эти тензоры обозначать той же буквой, что и матрицы, т.е. Тензор Е, определенный таким образом, очевидно, действительно яв- ляется метрическим тензором. 3.1.4. Изомерные тензоры В формулах (3.1) в качестве исходных для линейных преобразований были выбраны декартовы прямоугольные координаты в' в базисе ео Однако это необязательное условие, линейное преобразование с матрицами А~; вида (3.4) - (3.22) можно построить для произвольных прямоугольных координат Х": ХУ = Аз Х", 3 Х" = В' Хз.
у Пусть линии действия ортогональных векторов е'; совпадают с осями системы координат Х", а векторы е; — с Х'. Тогда с помощью базиса е,' можно образовать тензор линейных преобразований ь)'. Я' = А' еб Зе'. у 1' (3.25а) который называется тензором линейных преобразования. Если матрица Асу — ортогональная, то в силу (3.5) н (1.70) тензор Ц вЂ” тоже ортогональный. Лля него транспонированнея матрица совпадает с обратной, поэтому получаем: 3.1. Линейные и еоб азоввния кое дунет 165 Рис. оо.7.
Преобразование страже- Рис. 8.3. Преобразование РзТ1 донна 06Тз ворота с отражением Вообще говоря, тензоры (Е' и Я вЂ” различны, хотя компоненты у них одинаковые. Опгндндвнив 3.1. Тензоры, обладающие одинаковыми компонентами, но втпнесенные к различнылз базисам, называют изомерными. Таким образом, хаждый тензор линейных преобразований ьв связан с конкретной системой координат х', в то время как матрица преобразований А' может связывать различные пары систем координат. 3 Везде далее, если не оговорено специальным образом, будем считать, что А' относится к декартовой системе хоординат Ох' с базисом е<, т.е.
полагаем, что имеет место формула (3.Ц. Упражнения к 1 3.1 ° Упражнение 3.1.1. Показать, что матрицы 1зоТо имеют вид' 1 ΠΠΠΠ— 1 Э1Т1 = ΠΠ— 1 , 01Тз — О 1 ΠΠ— 1 Π— 1 О О О -1 О Пзт = -1 О О О О 1 и определяют преобразование отражения относительно плоскости, прохслязцей чеРез ось Окн и ось 11 с Ьо = 1, ЬВ = Ь = — 1 (Рис,З.З). Здесь и далее во всех упражнениях зх, )з, 7 меняются циклическим образом. Глава 3.
Г ппы и еоб зоввний Рис. З.О. Преобразование РЗТд по- ворота с инверсией Рцс. 3.10. Преобразование поворота РдМд 'Упражнение 3.1.2. Показать, что матрицы РбТо имеют вид: — 1 О О О О -1 РЗТд = О О 1 , РЗТд = Π— 1 ΠΠ— 1 О 1 О О О 1 О РТ= -1 ΠΠΠΠ— 1 и определяют преобразование поворота на угол ф = и/2 вокруг оси Ол~ с последующим зеркальным отражением относительно плоскости, ортогональной к Ож ъ о дрие.3.8), а матрицы РоТдд имеют вид: О О 1 Π— 1 О РдТ3 = Π— 1 О, Рта — — 1 ΠΠ— 1 ΠΠΠΠ— 1 — 1 О О РЗТд —— ΠΠ— 1 О 1 О и определюот аналогичные преобразования с углом ф = — зг/2. 'Упражнение 3.1.3.
Показать, что матрицы РдзТо и РоТ)д опрелеляют од- новременно и преобразование поворота на угол ф = с=И/2 соответственно вокруг оси Ол~ с последующей инверсией относительно точки О (рис.3.9). 3.1. Линейные л еаб азованиа кое дунет 1бу х' ! ] 113 Упражнение 3.1.4. Показать, что матрицы Х)ем, имеют вид: 0 1 0 0 0 1 11змд — — 0 0 — 1, изму = 1 0 0 — 1 0 0 0 — 1 0 и опрелелкют преобразование поворота на угол ф = ч=2и/3 вокруг наклонной оси Ь [111] (рие.бйб) Упражнение 3.1.5. Показать, что матрицы В Мн имеют вид: 0 0 1 0 — 1 0 В1Мз= -1 О О, ВбМ = О О О -1 0 1 0 0 и определают преобразование поворота на угол ф = ~2и/3 вокруг оси Ь ]111], в матрицы Юбмо имеют вид: 0 — 1 0 0 0 — 1 Юзмд — 0 0 1, Юдмз — — — 1 0 0 — 1 0 0 0 1 0 " опрелелкют преобразование поворота на угол ф = т2л/3 вокруг оси Ь (111] (рие.б.~, Упражнение 3.1.6.
Показать, что матрицы СТо имеют вид: СТъ— - 0 О -1, СТг= 0 — 1 0 Рис. 8.11. Преобразование поворота 03 М1 Рис. 8. 12. Преобразование поворота СТ Дбб Гпвввб. Г ппып еоб взоввний =ХЗ Рис. о.14. Преобразование ВдМд поворота с отражением СТз — — — 1 О О и определяют преобразование поворота нв угол ф = к вокруг оси Ь с )до = О, )дя = 1, )дз — — 1 (р .б.дд). 'Упражнение 3.1.7. Показать, что матрицы СМо имеют вид; СМд — ΠΠ— 1, СМд — — 1 О О и определяют преобразование поворота нв угол ф = ч-к/3 вокруг оси Ь[111] с последующим зеркальным отражением относительно плоскости (111) (рис.б.дб). 'Упражнение 3.1.8. Показатдч что матрицы В Мв имеют вид: Π— 1 О О О 1.
ВдМд — О О 1, ВдМд = — 1 О О 1 О О О 1 О и определяют преобразование поворота на угол ф = 4-к/3 вокруг оси Ь[11Ц с последующим зеркальным отражением относительно плоскости (111) дрие.б.д4). Упражнение 3.1.9. Показать, что мвтрипы ВоМя имеют вид: ΠΠ— 1 О 1 О ВдМз = 1 О О, ВбМд — — О О 1 О 1 Π— 1 О О Риб.
3. 13. Преобразование СМд по- ворота с отражением хд Й 3.1. Линейные п еоб авенид коа инат 169 д Хз Зь. г Х1 Х --Хд 1 Рис. 8.16. Преобразование ВгМ1 поворота с отражением Рис. 3.1$. Преобразование ВзМ1 поворота с отражением 0 1 0 0 0 1 ВгМд = 0 0 1 ВзМг = 1 0 0 1 0 0 0 — 1 0 и определяют преобразование поворота на угол ф = ги/3 вокруг оси Ь[111] с последующим зеркальным отражением относительно плоскости (111) (рис.3.16). Упр 3.1.10.
Показать, что матрицы ВаТ имеют вил: — 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ВдТд — — 0 0 1, ВгТг = 0 — 1 О, ВзТз — — 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 — 1 и определяют преобразование поворота нв угол ф = и вокруг оси Ь с )до = О, )дб = Йт — 1 (рнс.3.17). упражнение 3.1.11. Пок ь, что матрицы ВзЯ„опр ют преобраз ванне повороте вокруг оси Ок нв угол ф = ж2и/3 с последующим отражением 3 относительно плоскости поворота (001). Упражнение 3.1.12. Показать, что матрицы Взад, Вдруг, Взад и ВгЯг алцелеляют преобразование зеркального отражения относительно плоскостей (1д/30), (1д/30), (д/310), (д/310), соответственно (рис.3.18). Упражнение 3.1.13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
