Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если охажется, что для некоторого К б 6, выполнено Кт А К Р РфА РбС (3.33) З.З. Симмет ик кеиечимк теи 181 то группа е ', является некоммутативной. Однако, поскольку результат произведения — Р, очевидно, всегда будет принадлежать группе С,; после того как К пробежит всю группу се„можно объединить все получившиеся значения Р в адно множество Е вместе с А. Это множество называют классом сопряженныя элементов группы. Если теперь менять сам элемент А, пробегал всю группу ет„то эта группа окажется разбитой на несколько классов Еь Оказывается, что в каждый класс сопряженных элементов попадают только однотипные матрицы А, т.е.
те, которым соответствуют, например, повороты на угол я/2 или только на угол я/3, или только плоскости симметрии, поэтому разбиение группы на классы полезно при рассмотрении симметрии тел. 3.3.7. Пример нахождения класса сопряженных элементов Рассмотрим пример построения классов сопряженных элементов (не следует их путать с классами симметрии Е, М, О и др.) для В-ромбоэдрической группы се18.
Эта группа (см. п.3.2.2) состоит из шести элементов: 018 = (Е,Бм Бю11.ы Е1БьЕ1Бг) (3.34) Зафиксируем элемент Б1 и вычислим его произведение Е1~ ° Б1 ° Е1. Умножая матрицы, получим: -1 О О -1/2 з/3/2 О -1 О О Ет ° Б1 ° Е1 = О 1 Π— з/3/2 — 1/2 О О 1 О О О 1 О О 1 О О 1 — 1/2 -з/3/2 О з/3/2 — 1/2 О = Бм (3.35) О О 1 т.е. группа 018 удовлетворяет условию (3.33) и является некоммутативной. Продолжим перебор элементов группы, учитывая при этом, что Б1 = Бт: Б2 'Б1'Б2 — Б1'Б2 'Б2 — Б1. (3.36) Здесь учтена ортогональность всех матриц в группах с',. Используя Результат (3.35), получаем: (Ф1 ° Б1)* ° Б1 ° (Е1 Б1) = Б1 (Е1 Б1 ° Е1) Б1 = Бг ° Бг ' Бг = Бг~ (Е1.Б2) .Б1 (Й1 Бг) = Бтг (К1~.Б1 Е1) Бг = Бг, Е Б1 — — Б1.
(3.37) Глава г. Г ппы и еоб азоваввй 182 Таким образом, все произведения вида (3.33), где А = Бд для всех К из группы Оы дают только две матрицы: снова Бд или Бг. Следовательно, класс сопряженцых элементов, порождаемый элементом Бд состоит из двух элементов: Ед = (Бь Бг). Аналогичным способом несложно проверить, что класс, порождаемый элементом Бг, совпадает с Ед.
Зафиксируем теперь элемент Кд и вычислим для него произведение (3.33): -1/2 -д/3/2 0 -1 0 О Бтд ° Кд ° Бд = д/3/2 — 1/2 0 0 1 0 х 0 0 1 0 0 1 -1/2 д/3/2 0 1/2 д/3/2 0 х — д/3/2 — 1/2 0 = д/3/2 — 1/2 0 = К1Бг (3 38) 0 О 1 0 0 1 Используя этот результат, далее находим: Бг 'Кд'Бг=Бг 'Бд 'Кд'Бд=К1'Бь (Кд ° Бд) ° Кд (Кд ° Бд) = Бтд Кд ° Кд Кд ° Бд = Кд ° Бг, (3.39) (К1'Б2) "К1'(К1'Б2) — Б2 'К1'К1'К1'Б2 — К1'Бь Кд Е=К1. Таким образом, все произведения вида (3.33) для А = Кд в группе Ош дают либо Кд, либо К1Бг, либо В.1Б1.
Следовательно, класс сопряженных элементов Ег, порождаемый элементом Кд, имеет вид: Ег = (Кь К1Бь К1Б2). Несложно пРовеРить, что длк элементов В.1Б1 и К1Бг классы сопряженных элементов будут совпадать с Ег. Хотя единичный элемент Е всегда в тройном произведении даст самого себя: К ° Е К=К ° К=Е, его тоже можно отнести в самостоятельный класс — Ез. Итак, мы установили, что группа Оде состоит из трех классов. Запишем этот фахт следующим образом: Оде = (/Ез/Ед/Ег/) = (/Е/Бь Бг/Кь К1Бь К1Бг/Ь отделяя классы сопряженных элементов нахлонными чертами.
Посмотрим теперь, какие элементы попали в классы Ед. Обеим матрицам Бд и Бг, как следует из табл.3.2, соответствует ось симметрии третьего порядка Ояз. Обозначим тахой класс Ед — — 2Сз,. Трем матрицам Кд, К1Б1 и К1Б2 из класса Ег, как следует из табл.3.2 и упражнения 3.1.12, соответствуют плоскости симметрии (100), (1д/30) 3.3. Симмет ия конечных тел 133 и 111/30), пересекающиеся друг с другом под углом и/3 и параллель- ные одной и той же оси Охз. Такой класс обозначим как Ег = 3уь. 3.3.8. Разбиение групп на классы Таблица З.З. Обозначение класса сопряженных элементов Элементы группы в классе Элементы симметрии Характер матрич. ного пред.
ставления Х(А) класса /С,/С „/ Сг,/ /01/02/Тгз/ одна ось,симметрии второго порядка в кажлом классе Ох,а = 1,2,3 /СЗз/Сэз/ /51/Юг/ одна ось симметрии третьегопорядка Охз /Се, /С31,/ /ЯЗТЗ/гззьгТЗ/ /Сбз/Сез/ /зээог/Озог/ одна ось симметрии четвертого порядка Ох з одна ось симметрии шестого порядка Ох з /~зз/'э3з/ /зьзы1/ззЗыг/ одна зеркально-пово- ротнаяось третьего порядка Ох з /Я~,/Я~з,/ /П Т /П Т / одна зеркально.
поворотная ось четвертого порядка Охз /без /Без / /СЯг/С51 / одна зеркально. поворотная ось шестого порядка Ох з Для всех групп С, (3 = 1...39) можно произвести разбиение на классы сопряженных элементов ухазанным выше способом. Если в какой-то группе С, все классы 81 окажутся состоящими только из сщного элемента, то это означает, что данная группа является коммутативной. Тем не менее, ради общности для коммутативных групп также используют одноэлементные классы 81. Многие классы Е< встречаются в разных группах О„поэтому для классов вводят специальные обозначения, по которым можно восстановить соответствующие элементы симметрии.
Эти обозначения приведены в табл.3.3, где С„, С„у, С„, — ось симметрии Охг, Охг, Охз, соответственно, имеющая и-ый порядок. ГлвваЗ. Г ппып еоб азований 184 3С, Рд~ 1 12з а~з три оси второго порядка Ол~, Гг = 1, 2,3 2С2, Рдз Рг две оси второго порядка Ол~, Ол~ 2С23 ЛзТз, СТз две диагональные оси второго порядка [11Ц, [110] В Т,СТ 6сгл шесть дивгонвцьнык осей второго порядка по две в каждой координатной плос- кости [01Ц, [01Ц, [10Ц, [101], [110], [110] зс .02, ОгИз три оси симметрии второго порвдкав одной плоскости под углом дГ/3: [010],[,/310], [,/З10] три оси симметрии Зсгл Х)д, .015., второго порядка в одной плоскости под углом дГ/3: [100], [1д/30], [1д/30] 4Сзл 4Сзгв Мг Р,мг 1Г~о 1 четыре оси симметрии четвертого порялка [11Ц.
[11Ц, [11Ц [111] 8Сз Мг,в М четыре оси симметрии четверо ого порядка 2Сзз одна ось симметрии второго порядка Ол 3 2Сез ВдТЪ ~ Л2Т3 6С43 три оси четвертого порядка Ол~ 4383 4583 Смг, В„мг см,л м четыре зеркально-поворотные оси третьего дорядкв [11Ц, [11Ц, [111], [111] 853 СМ.Г, ВоМд четыре зеркально. поворотные оси третьего порядка Таблица 3.3. (продолжение) одна ось четвертого порядка Ол 3 З.З. Симмет ия конечных теп 185 Таблица 3.3. /продолжение) 23яз 01Тз, ОгТз две зерквпьн<ьп<иоротные оси четвертого порядка Охг, Охг П.Т8 три зеркально-поворотные оси четвертого порядка Оха 23зз одна зерквльно-поворотнвя ось Ох з /оя/Оу/Оз/ /лг/Лг/Вз/ одно плоскость симмезрии, ортогонвльнея Оха Зад три плоскости симметрии пад углями зг/3, параллельные осн Охз; (100), (1,/30), (1,/30) йг, ЛгЯ» Зять три плоскости симметрии пол углями зг/3, пврвллельные аси Ох: з (010), (,ГЗ10), (,ГЗ10) три плоскости симметрии, ортогонвльные Оха Л1 гсг 2ст, две плоскости симметрии, ортогонвльные Ох, Ох д г Тз, РзТз две дивгонвльные плоскости симметрии (110), (110) шесть диагональных ллоскостея симметрии боя Та~ 0аТа В табл.3.4 приведены элементы симметрии для непрерывных групп.
Здесь индексы а, )3 пробегают значения 1, 2, 3, причем всюду а ~ )3; индекс 7 принимает значения 1, 2. Буквы С означают оси симметрии, о — зеркально-поворотные оси, о — плоскости симметрии. Цифра в нижнем индексе означает порядок оси, буквы х, у, д в индексе означают коордииатяые оси Ох, буква Ь вЂ” признах гексагональной системы, индекс И указывает на диагональные плоскости. цифры перед буквами С, Я и о означают число элементов в классе. Цифры в верхнем индексе, напРимеР, Сяз, Указывают на то, что пРеобРазованиЯ симметРии, описываемые матрицами данного класса, также можно получить Глава 3.
1' ппы п еоб зеваний 186 трехкратным применением операции Се, (повороты на -т/2 и к/2, соответственно). Наклонные черты отделяют один класс от другого. Разъяснение объекта х(А) будет дано в 13.7. Заметим, что одни и те же матрицы в разных группах могут образовывать классы сопряженных элементов, а могут — нет. Таблица у.в.
класс сопряменных элементов Элементы группы в классе Элементы симметрии Х(А) класса 2созф+1 дф одна ось Оя бесз конечного порядка Сз 1в'з Вз 2созф — 1 озф одна зеркально-по. воротная ось Ол з Сф одна ось второго порядка 1ечфхв соя В+ (1+ поз б) соз(ф+ х) одна произвольная ось бесконечного порядка Во1вфхв одна произвольная плоскость симметрии В табл.3.5 представлены классы всех групп О, (в = 1...
32), при этом использованы обозначения классов из табл.3.3. В этой же табл.3.5 приведены обозначения для групп симметрии, часто используемые в литературе, — это международные (по ГермануМогену) и по Шубникову. В этих обозначениях цифры указывают порядок осей симметрии, т — наличие плоскостей симметрии, знаки "/" или ":" означают, что плоскость симметрии перпендикулярна оси симметрии, а отсутствие этих знаков означает, что она параллельна.
бесконечного порядка однвдлоскость симметрии Характер матричного пред- ставления 187 Таблица Ю.Б. Син- гониа Класс сим- метрии Классы сопряженных элементов в группе обозна- междуна- мер родные обозна- ченик чение по Шуб- никову /Е/ /Е/1/ Трик- линнак Трик- линный /Е/бз/ /Е/Сг,/ /Е/1/ /Сгз/пз/ 3. 4.
5. зп 2 2:пз Манок- линный Монок- линнаа 2 2/тп /Е/С з/ / */ у/ /Е/С,/ /Сг,/С„/ /Е/1/ /Сг /Сгу/ Сг /и / /эту/стз/ 0 1П. ппп2 Ортат- рапный Ромби- ческаа пз 2 пз лопни ГЧ. Тетра- Тетра- гональ- 10. ный 4/пз 4:тп 4 гпз 4 лз Ез гг. каази- транс- версаль- нонзо- троп- 13. 4ппп 4:2 14. 4/позли ный 15.
пг4:пз 3.3. Снимет иа конечных тел Группа симметрии Сз /Е/Сг*/ /~4з /Я1з / /Е/Сг,/ /С4./С,',/ /Е/1/Сгз / /Сз / /й43 /<тз/ /Е/254з/Сг, / 2Сг, /2пк/ /Е/Сгз/2С4 / 2~тк/2д,/ /Е/Сэ*/2Сгз/ 2Сгб/2Сез/ /Е/1/С ./ /2Сг,/2С38/ /2С4з/2Я~з/ эт,/2<т,/2зтк/ 188 А А-ромбг 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
