Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 25
Текст из файла (страница 25)
— коэффициенты, что немедленно следует из линейности д- 4 кратйого тензорного произведения по каждому вектору: а19...9 (в'Ь ) 9...Эат — — в~ (а19... ЭЪь Э...Эат) и линейности операции альтернирования (2.174). Напомним, что согласно определению (2.161) тензорное произведение вехторов и ковекторов вводят следующим образом: аг 9... 9 ат —— а" ...а" е;, 9... 9 е;,, Ь Э... Э Ьг = 6~1,...
6~1 е" Э... Э етт, (2,194) где ат = а';"е1 и Ьд = У„е'", а е; и ет базисы в Е„и .С„'. Подставляя (2.194) в (2.190) и (2.191), с учетом свойства линейности (2.193) приходим к следующей теореме. Из свойства (2.175) следует, что внешние формы (2.190) и (2.191) являются кососимметричными тензорами типа (0, д) и типа (р, О) соответственно. Заметим, что обратное, вообще говоря, неверно (см. упр.2.6.1).
Внешние формы являются линейными по каждому из векторов: 2.Е. Внешние о мы 147 ТЕОРЕМА 2.38. Внешнее пРоизведение вектоРов а; б А;в и ковекторов Ьз й С„' можно представить в виде разложения по внешним произведениям базисных векторов ед и е' соответственнод а1 Л... Л ад — — а1'... а" е;, Л... Л ед,, (2.195) Ь л... л Ь" = У ...6Р е" л... л е' . Используя явное выражение (2.174) для операции ельтернирования, из (2.190) и (2.191) получаем разложение внешней формы по полиадному базису: а1 Л...Лад = — ~~ ( — 1))(~о.~е))(а~ 8 8 ) 1 (ви...тп~) = а"""е;, 8... 8 е;,, где коэффициенты а""' имеют вид: (2.196) а"' Ла = — ~ ( — 1))('"н .т~))аб ...а'д 1 ат '''ат 9) 1''' д (т~...тв) = — Йе( (2.197) Ьд, .д, = — Йе( Рассмотрим внешние произведения векторов базиса е;, тогда так как е; = б(еу, из (2.186) получаем где в соответствии с (2.197) обозначены коэффициенты: б,".,"," .= де( Этот символ называют обобщенным символом Кронекера.
Докажем еше одно важное свойство внешних форм. Здесь мы использовали определение (2.31) детерминанта матрицы размером 9 х 9. Для внешнего произведения ковекторов получаем аналогично". Ь1Л...ЛЬР=Ь..,д, 1Э...Э ', (2.198) где Глава 2. твизо ы ив линейных и ост виотввх 148 Творим« 2.39. Векторы а; Е Св (т' = 1...о) линейно зависимы тогда и тполько тогда, когда ия внешнее произведение равно нултот (2.199) аз Л...Лат = О. Такое же утверждение имеетп место и для линейно зависимых ковектпоров Ьд Е С'„т Ъ Л...ЛЬг=О.
(2.200) и В одну сторону. Пусть выполнено условие (2.199), тогда в силу (2.197) определители матриц, составленные из их коэффициентов равны нулю. Но тогда в силу теоремы 2.10 координатные столбцы каждой из этих матриц линейно зависимы, а, следовательно, один из них с номером у можно выразить через все остальные: (атр" ат') =Ее (а',З "а'З) ~тт "тт Е(1...тт), т=« тФт' где не все в' нулевые. Поскольху это соотношение выполнено для всевозможных значений тт... 44, то оно будет выполнено и для набора (ат....атч)~. Но это означает, что Ч а"е« = ~~ в'а,"е«, 1=1 нвз (2.201) 2.6.4. Представление кососимметрнчных тензоров с помощью внешних форм Рассмотрим теперь кососимметричные тензоры «Т и «В типа (О, д) и типа (р, О).
Имеет место следующая теорема. т.е. векторы ад... а — линейно зависимы. В обратную сторону. Пусть ат... ае линейно зависимы, тогда найдутся не все нулевые в' такие, что для некоторого а имеет место соотношение (2.201). Подставляя зто выражение во внешнюю форму (2.199), в силу ее линейности по каждому из векторов, приходим к (д — 1) внешним формам, у которых имеется по два одинаковых вектора, т.е. ат Л...
Л а; Л а; Л... Л а . Но поскольку каждая внешняя форма является кососимметричным тензором, то она должна менять знак при любых перестановхах ее векторов. Однако если поменять местами у полученных форм одинаковые векторы а; и а;, то, очевидно, что знак формы не изменится, значит все эти формы есть нулевой тензор. Показательство утверждения (2.200) проводится аналогично. й 2.Е.
Внешние о ны 149 Творима 2.40. Всякий кососиммептричный тензор "Т типа (О, к) на .С„можно разложитпь по внешним трормам базисных всктпоров е, е опт "Т = Т""'"е;, Э... Э е;„= И у Т""'"е;, Л... д ено (2.202) 0 с...<1ь а всякий кососимметричный тснзор ьВ типа (й, 0) на ь'„— разло- жить по внешним трормам базисных векторов е' е С'„т "В=В;, т,е" Э...Эе" =И ~~~ В;,„з„е" Л...Ле". (2203) |т<-.с|ь Здесь суммирование идет лишь по тем комбинациям индексов 11...
ть, которые расположены в порядке возрастания, например, для тензора типа (О, 2) на ьз имеем: Т = 2';„,ец Э е;, = 2(Т1эез Л ез + Ттзез Л ез + Тзэез Л ез). (2.204) и Прежде всего заметим, что если тензор Т вЂ” кососимметричен, то в силу (2.188) и определения (2.190) его можно представить в виде: "Т Т"""е;, Э ° ° . Э е; = "Т(~1 = Т""'"ей Л... Л е;„, (2.205) то же самое справедливо и для тензора В. Согласно теореме 2.39 в суммах в правой части соотношения (2.205) отличны от нуля только слагаемые с различными индехсами 11... тю Зафиксируем одно такое слагаемое, у которого индексы располагаются в порядке возрастания: Т"""ец Л...Ле;„11 « ... ть нет суммирования.
(2.206) Но тогда все остальные слагаемые с такими значениями индексов 11... ть (а их И), но взятыми в другом порядке, отличаются от слагаемого (2.206) двойной перестановкой: у коэффициентов Т""'" и у формы ец Л... Л е;„. В силу кососимметричности и формы, и коэффициентов (см. (2.185)), при таких двойных перестановках знак слагаемого (2.206) не будет меняться. Таким образом, в суммах (2.202) действительно находится И различных сумм (2.206). а Из теоремы 2.40 следует, что если ранг кососимметричного тензора ь Т больше размерности пространства к > п, то такой тензор всегда нулевой.
Лействитеньно, при к > п в формах (2.202) всегда будут повторяющиеся векторы, что в силу теоремы 2.39 влечет за собой обнуление всей правой части соотношения (2.202). Если же й = и, то упорядочение индексов 11 « ... 1'„возможно только одним способом, поэтому в (2.202) остается только одно слагаемое: "Т = п1Т1"'" е1 Л...
Л е„. (2.207) Глава 3. Теазо ы ва ллвеявых л ест алствах 150 Творима 2.41. Внешние формы е;,Л...Ле;,, 1<зз«...зз(п (2.208) образуютп базис простпранства Л( з) нососизаиетричназх тпензоров (оз) таина (О, д) на Са> а внешние формы е" Л...Ле", 1<зз«...зр<п. (2.209) Т""'е;,Л...Ле; =О. Е >з »«- >т (2.210) Тогда переходя с помощью формулы (2.196) к тензорному произведе- нию векторов, получаем 0 = — ~~> 7" >"'с ~~> ( — 1))в»"'>аз)ез >8)... >р ез 1 »«...>з (>в > -.>аз) — — ((-1)( "" з(т""зт) е>., Э...Эе;,.
»«-.>з (та>...азз) (2.211) Поскольку все зз...зз не равны между собой, то, очевидно, что в суммах (2.211) все полиады е;„8...®е; различны между собой. Но тогда условие (2.211) означает, что эти полиады линейно зависимы, что неверно, так как они входят в полиадный базис е;, Э...
8 ез„. а Опрнднпннив 2.32. Формы (9.208) и (2.309) называют базис(оз) ными внешними формами в й„и й„соответственно. 2.6.6. Изменение компонент кососимметричных тензоров при замене базиса Выберем два базиса ез и е'; в С„, связанные соотношением (2.62): е'=У е;. » образуют базис пространства Л„з (ро) т Поскольку из теоремы 2.40 следует, что всякий кососимметричный тензор можно представить в виде разложения по соответствующей системе форм (2.208) или (2.209), то нам остается показать только линейную независимость систем (2.208) и (2.209).
Предположим противное: система (2.208) линейно зависима, тогда найдутся такие не все нулевые коэффициенты Т"-', определенные только при 1 ( зз « ... зз ( и, что 2.6. Внешние о мы 151 Образуем из векторов е'; базисную форму е';, Л... Л е';й и воспользуемся формулой (2.196): е';, Л...Ле,'й = —, ~ ~(-1)~ '-' '!(е'; 4З...эе'; ) = Он!...йнй) = ййя У'"бее Э... Э е й!...н 1! ''' зй! (2.212) где обозначены коэффициенты: Я1! ЯЗ! й! йй я..
Л"ой = й)е$ й!...й!, ЯЗй Яуй й! ' ' ' !й (2.213) 1!«- 1й Аналогичным образом можно установить соотношение между внешними формами ковекторов е" и е' из Е'„: е"' Л...Ле"й = ~ Я""" . ей! Л...Лей!, (2.215) уй-Зй 1!« -Уй где (Я-1)!! (Я-1)й! (Я ')'"Л " (Я ')",. Рассмотрим теперь кососимметричный тензор "Т типа (О, й) на Ее и представим его в виде разложения (2.202) по базисным внешним формам е';, Л... Л е';й и е;, Л... Л е;й, а затем воспользуемся соотношением (2.214): "Т = й! ~~й Т"'"'йе' Л... Л е'. й! ' ' ' йй й,«...йй = й! ~~й ~ Т"'""Я й''о'е Л...
Л е. й!...йй 1! ' ' ' уй й!«- ййб!«-.1й 1! 1й = й! ~~ ТУ!"'1йе. Л... Ле 1 «-1 (2.217) Поскольку слева в (2.212) стоит внешняя форма при фиксированном наборе йй... йю то выражение справа является кососимметричным тензором типа (О, й), и к нему можно применить теорему 2.40, тогда получаем окончательно формулу преобразования внешних форм типа (О, й) на Е„при замене базиса в Е„: Гиввв 2. Тенер ы нелинейных и ест внстввх 152 Отсюда получаем соотношение между компонентами кососнмметричного тензора: Т'-'"= ~ Тн-л"Б. )н.ле ц(- ()е (2.218) Аналогично устанавливаем связь между хомпонентами тензора АТ С Л( ) на Б„: с'н эе 0(-.()е (2.219) 2.6.6.
Случай й = и (ов) Рассмотрим кососимметричные тензоры АТ из пространств Л( ) и Л„ на ь„, ранг которых равен размерности пространства Бв. (во) Тогда из теоремы 2.40 получаем: "Т = Т|н'л" е), 8... 8 е; = п!Ггз"мез Л... Л е„, (2.220) так как возможна только одна комбинации индексов 1 < (г < ...
... < („< и — зто тождественная подстановка. Таким образом, такие кососимметричные тензоры "Т определяются только одной компонентой Т~к"", все остальные, получающиеся перестановкой индексов, на основании (2.185) выражаются следующим образом: Т' -Я вЂ” ( 1)! - (Т12ом (2.221) Это соотношение можно записать иначе, если ввести компоненты п- мерных символов Леви- Чивиты: е'.,' Ие~ О..э ( — 1)!""'"), если все индексы (1... („ различны; (2.222) т О, если имеются совпадающие индексы. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теоремй 2.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
