Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Э езР Э ег»+' Э... З ег». (2.157) Компоненты произвольного тснзора э'Г типа (р, д) при таной заме- не базисов прсобразуютсз следующим образом: Т (р+! -(» (Б-1)г1 (Б-1)1р Б(р»! Б(» Т~ 1 Фо "г» (о.зр б (р Ур+» ' ' ' 1» гч-др (2.158) Идея доказательства аналогична приведенной выше для случаев р = 2, д = 0 и р = О, д = 2, детали доказательства оставляем в качестве упр.2.5.4. 2.5.8. Операции с тензорами А) Сложение Поскольку все введенные выше тензоры являются элементами соответствующего линейного пространства Т„(р > 0,9 > О), то их (гв1 можно складывать с себе подобными и умножать на число, например Т+ "В = Т"-'»е<, Э... Э е»» + В"""е;, Э... З е;» = = (Т" "" + В""з»)е;, З...
З ерю (2.159) з Т = (вТ""")е;, 9... 9 е„. Б) Транспонирование Для каждого тензора Т й-го ранга можно ввести транспонированные тензоры подобно тому, как это было сделано в евклидовом пространстве (см. п.1.8.2): 'Г("'м'"»Р = Т'м "е;„З...З е;„,, (2.160) Глава Э. Тснзо ы на линейных л ост анствах 1зв тз...ть й (1 ° й), зз...зь й (1...п), где (тд... ть) — некоторвя подстановка. В) Тензорное произведение Для тензоров из Та~~ можно определить операцию тензорного произведения. Оцгидилвнин 2.28. Тензорным произведением двух тенэоров Т т-го ранга и ьВ й-го ранга иэ пространств 7„[ и Т[ [гв[ [э'в ) (Р+ Ч = т Р + Ч = "): Т = Т;; "+'"' "е" 8... 8 ева Э е;,, 8...
8 е;„, (2.161) ° н.лр н..л называется тенэор (Й+ т)-го ранга +" С =™Т®ьВ = ~вы-.~ В ' +и+1-' +' В, е ц..з) 3 +~.,з ...Эе" эе;,+, Э...8 е;„Эе' +' 8... являющийся элементом пространства ~Т~~~ Э Т[ Г) Симметрирование Если для тензора "Т типа (р, Ч) выбрать группу из т верхних (или только нижних) индексов, причем г < р, то с помощью транспонирования в этой группе индексов можно получить г! тензоров "Т[ 1 с учетом исходного. Здесь и = (тз...з...т;...1...ть) — соответствующая подстановка, полученная из тождественной (1...з... у'...1... к), в которой [,1...
(всего й — г штук) не меняются. Тогда суммированием этих тензоров получим новый тензор типа (р, Ч) "Т['1 = — ~ ~"Т[~1. (2.163) Очевидно, что применение операций транспонирования в группе из тех же э индексов к самому тензору "Т['[ не изменяет его: ьт[ [ (ЙТ[1)[.) Такие тензоры называют симметрированными по группе индексов. Примеры операций симметрирования приведены в 1.8.3. Если же сам тензор ьТ типа (р, Ч) совпадает с любым из своих транспонированных тензоров в группе из г индексов, т.е.
"Т = "Т[ 1, то его называют симметричным тензором по группе индексов о. 2.5. Антее етенео ренан-ме ныхлинейныха оех енетеех тэт Творима 2.31. Множество всею таензоров «Т типа (р,д), симметричныю по одной и той же группе о иэ т инденсоа, образует линейное пространставо Е~О~~~, причем 8~~~ С Т~~~ .
и Лействительно, поскольку операции транспоннрования и сложения (или умножения на число) тензоров переставимы, то для любых двух тенэоров Т и В, симметричных относительно группы индексов о, их сумма (и произведение на число) тоже является симметричной относительно той же группы еч («Т+ В)( ) = "Т( ) + "В( ) = "Т+ «В, (в«Т)( ) = в«Т(") = в" Т.
«Т[е) — ~( 1))е[«Т(е) 1 —. г[' (2.164) — тензор, который изменяет знак при любых перестановках в группе индексов еп («Трй)( ) ( ц) 3«Т[е[ (2.165) Такие тензоры "Т[') называют нососинметричными по группе индексов о, а операцию преобразования «Т — + "Т[е) называют альтернированием. Примеры кососимметричных тензоров приведены в п.1.6.2. 2.5.9. Скалярное произведение тензоров в евклидовых пространствах Если пространство евклидова (Е„= Е„), то в силу его самосопряженности (Е„= Е„') все линейные пространства Т~т~ = Е(гя) совпадают для р и д таких, что р+ (( = х. Поэтому можно рассматривать, например, только пространства Е„ = Е„ (о«) («) («) .Пля тензоров из этого пространства Е„можно ввести дополнительно операцию жонглирования индексами (опускания или поднятия).
Так как все симметРичные тензоРы Т Е 8„ее Явлаютск также и просто тензорами типа (р,д), то, очевидно, что 8 С Т . А ,[() Альтернирование Обозначим через [а[ количество инверсий в каждой подстановке и образуем сумму, аналогичную (2.163), но меняя знак перед каждым "Т( ), в результате получим Гпввв 2. Тенес ы не линейных и ест ввсхввх 1за В) Опускание или поднятие индексов Всякий тензор "Т можно представить различными способами в основном е1 и взаимном е1 базисах с помощью фундаментальной матрицы д; и ее обратной д11: ьТ =Т"'"1"е;, 9...Эе1, = = Т" "";;,е;, 9... Э е1, 9 е"+' 9... 9 е1", (2.166) где Т"-з =Т"-' ..
д"+ '+*...д' '. 1е+~- 1'е Кроме того, поскольку в Е„ определено скалярное произведение, (э) тензоры из Е„можно сквлярно перемножать. Ж) Скалярное у.кноженне Оцгвдилвиии 2.29. Скалярным й-кратныл пропзведенпел (тв) (1) тензоров Т и В из пространств Е( и Е( называют тензор (~п+1-ь) +1 ьС из пространства Е„' + "С= Т ... ° В=йе'"' е 9... 1$ ь ...Эе;„...
В1'"'1'е, 9...9е, = = Т '"' В1'"'зел "+'-' '+'е 9... 9 е. 12 -.11 1~ ' ' 1 ее~1 где 1 < й < т о й < (. 2.5.10. Независимые компоненты тензоров Рассмотрим произвольный тензор "Т из некоторого надпространства 1„' С Тв~~', й = р+ д, который в некотором полиадном базисе имеет вид: Т = Т; . '"' 'е" 9... 9 есв 9 е, 9... 9 е1'. Образуем из компонент Т;, з 1'"'1' этого тензора каким-либо образом координатный столбец (Тг...Т'...Тье)т. Один из способов образования такого столбца приведен далее в п.4.2.1. Число Йо = пг+в — это общее число компонент тензора й-го ранга, йо = 1(пп Т~зв~у. Говорят, что среди компонент Т1; 1'"'1' тензора имеется только йв независимых, если существует матрица ю1 размером (йо — йо) х З.В. Алеее етенее енеп-ме ных линейных п ест енеееех 1ЗЕ "Т = ~ Т1'~~А<,1, (2.168) где ТР1 — коэффициенты разложения.
Если образовать координатный столбец (Тз...Т"')т из компонент Т;, м "о' тензора вТ в некото- ром базисе е' и столбцы (А1з, ...Ав1; )" из компонент А ер базисных тензоров вАрр то (2.168) можно записать в виде: Т' = ~,А'ООТР1, е' = 1...йо. (2.168а) Столбцы А'~,1 образуют матрицу размером йе х Ф, причем гвлК (А'1,1) = Ф, так как это координатные столбцы из компонент Ф базисных тензоров. Тогда существует квадратная матрица А~,1 порядка Ф образованная из А' вычеркиванием йо — Ф строк и пеОО ренумерацией оставшихся строк, у которой без А1,1 ~ О. Из вычеркнутых строк образуем матрицу А', размером (йо — Ю) х Ф. Обозначим (Т~...Т ) координатный столбец, образованный из (Тз...
Т~е) вычеркиванием элементов с теми же номерами, что и при формировании матрицы А1,1. Из вычеркнутых же элементов образуем столбец (Т ...Т~е)т. Тогда соотношение (2.168а) можно разбить падве группы: Л Ю Т' = ~~~ А1,1ТО~, в = 1...Ф; Т' = ~ А~,1ТО~, е' = 1... (Йе — Ф). йо, ранг которой равен (йо — йе), такая, что имеют место (йе — йо) соотношений: Р'уТ1 = О, эхе 1...(йо — й').
(2.167) Числом независимых компонент тензора ЬТ из Т„' называют число йо для тензора с максимально возможным количеством ненулевых компонент. Творима 2.32. Число ко нсзависимыг компонент тензора Т из некоторого подпространства Т„' С Т~"в1 равно размерности этого подпространства: йе — — дат Т„' < Йо. е Рассмотрим произвольный тензор "Т из Т„'. Так как Т„' — линейное пространство, то в нем можно выбрать базис еАрр в = 1...
Ю, из Ж тензоров, где Ф = 61ш Т„', и разложить "Т по этому базису: Глввв 2. Тенво ы не линейных л ест внстввх 140 В силу невырожденности матрицы А~,~ из первой группы найдем: Т1*1 = 2 1 А~('~Т1, где А~'~ — матрица, обратная к А~,Г Подставляя Тс'с во вторую группу соотношений, получаем: м чч Т' — ~„» Ар~А) ~Т' = О, 1= 1 ° (йо — Ж). сы11н1 Если снова образовать единый координатный столбец (Т1 2н Тье)Т (Т1 Тес-ЖТ1 ТЧЧ)Т то соотношение (2.169) можно переписать как Р', Тч = 9, 1 = 1... (йе — р7), (2.169а) 2.5.11.
Полилинейные формы О понятием тензора типа (р, д) связан еще один часто используемый объект, обобщающий понятие линейного функционала. Пусть,ф— линейное пространство, а .С„' — сопряженное к нему пространство. Рассмотрим декартово произведение пространств вида: сс = с„... с„с„ Р ч где Р' — блочная матрица размером (йо — Ф) х йе вида Р = (Жь,-л~)А) — единичная матрица порядка йо — Ф. Так как матрица Р', имеет, очевидно, ранг (йо-Ф), то из (2.169а) и (2.167) следует, что среди компонент Т;,; 1"" независимых не более сч' штук, т.е. йо < сч' (случай йо < Ф возможен, если существуют и другие соотношения кроме (2.169а), связывающие компоненты тензоров из 7„').
Однако тензор "Т с максимальным числом компонент йо, который удовлетворяет только условиям (2.169а), будет обладать и разложением (2.168), т.е. также принадлежит пространству 7с. Для этого тензора существует только йе — — сч независимых компонент, что и доказывает теорему. а В качестве примера подсчитаем число независимых компонент йо тензоров, симметричных только по первым двум индексам, т.е.
принадлежащих надпространству бе~с~~, где сс = (21345... й), й = р+ д. Так как компоненты тензоров этого надпространства связаны соотношением: Т; 1 1""' = Т. 1 .,""", в которых только (1/2)(аз+ +о)пр 2+ч различных, то получаем, что 2 + ) р+4-2 1 е 2 2.Э. Ангес етенеа еле тме лыхлллейныхл ест енстэех 141 Опгнднлннин 2.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
