Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 19
Текст из файла (страница 19)
А'„ +1 1 +1 1 ''' ы Аы+1 ~ы+1 ы+1 ''' и А", ... А"т А"т+1 ... А" Аы Аы (2.72) Аы А12 (2.73) Верно и обратное утверждение: если матрица А линейного преобразования в каком-нибудь базисе е1... е„имеет вид (2.73), то линейная где Аы имеет размерность тх т, А12 — тх (п-т), А21 — (п-т) х т, а Агг — (и — ш) х (и — т).
Покажем, что матрица Аы — нулевгя. В самом деле, матрицы А11, А21 образованы первыми пь столбцами матрицы А, которая представляет собой, согласно (2.59), координатные столбцы векторов А(е1)... А(е ). Но так как,С вЂ” инвариантное подпространство, а е1... е,„Е С„„то А(е1)...
А(е ) также принадлежит ьы и, следовательно, согласно (2.59) их компоненты разложения А' (У' = 1... т, 1 = т + 1... и) по базисным вектоРам е,„+1... ео Равны нулю. Таким образом, матрица А имеет вид: З.З. Линейные и еоб веоввнии и-ме нми п ест висте 113 оболочка векторов ет...е образует инвариантное надпространство. Действительно, из определения (2.59) и (2.73) следует, что А(ед) = ~~~ А' е;, (2.74) т.е. образы А(ет)...А(е„,) векторов ет...ет есть линейная комбинация этих же векторов, а значит и образ любой линейной комбинации векторов ет...е будет снова их линейной комбинацией.
Таким образом, доказана следующая теорема. Творима 2.13. Матрица А линейного преобразования А имеет блочный вид ф.78) в базисе ет...еи тпогда и только тогда, когда линейная оболочка вектпоров ет...е,„, т < и, является инвариантным подпростпранством относитпельно А. 2.3.5. Собственные векторы Если инвариантное надпространство С имеет размерность т = 1, то его базис состоит из одного вектора не равного нулю (обозначим о то 1 его е), а всякий элемент а из Ст имеет вид а е, где а — число. В о силу инвариантности .См образ вектора е также принадлежит Ст и, о следовательно, для А(е) существует такое число Л, что (2.75) А(е) = Ле. Имеет место обратное утверждение: если для некоторого вектора о е выполнено условие (2.75), то оно будет выполнено для любого веко тора а из подпространства .См образованного линейной оболочкой е, поэтому Ст инвариантное надпространство.
о ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Ненулевой вектор е, удовлетворятотций (275), называется собственным вектором преобразованияА, а число Л вЂ” собственным значением. о о Выбирая в Си некоторый базис е<, вектор е и его образ А(е) можно разложить по этому базису: и и и е = ~~о еде, А(е) = ~ е'А(е ) = ~~~ е'А' е;. (2.76) уиц дм1 51=1 Подставляя (2.76) в (2.75), получаем матричную запись этого условия: (2.77) А'.е' = Ле'.
Глава 3. Тенер ы на линейных л ест внствах о С использованием обозначеннй для координатных столбцов е о1 сит = (е1... е")т можно также переписать (2.77) в виде: о о А е=Ле. (2. 78) Условие (2.78) при и = 3 естественно совпадает с условиями (1.162). Также как и в трехмерном прстранстве, рассматривал (2.77) как линейную комбинацию линейно зависимых столбцов матрицы А' с нео тривиальными коэффициентами еэ, из теоремы 2.10 получаем: Р(Л) = бе1 (А' — Лб') = 0 (2.79) — яарактиеристиичесиое уравнение для нахождения собственных значений Л.
Характеристическое уравнение представляет собой полипом л-ой степени относительно Л, который обычно записывают в виде: (2.80) ла1 где Ь; — коэффициенты полинома, причем п Ь„1 — — ~~~ А';, Ьо = йе1 (А' ). (2. 81) Ь„= 1, ° =1 В трехмерном случае константы Ьо, Ь1 и Ьз (см. далее формулу (4.156) в гл.4) совпадают, соответственно, с третьим, вторым и первым инвариантами уз(А), 11(А), Е1(А), построенными из компонент матрицы А' . В случае произвольного л, константы Ь< также являются инвариантами — онн не зависят от выбора базиса в пространстве Е„. Лействительно, если записать матрицу линейного преобразования в базисе е;', а затем найти характеристическое уравнение Р~(Л), то получим согласно (2.71): Р'(Л) = о1ез (А' — ЛЕ) = деФ (Я ° А ° Я вЂ” ЛЕ) = = Ае1 (5 1 (А — ЛЕ) Я) = = бе1 Я е1е1 (А — ЛЕ) ° о1еФ Я = Р(Л), (2.82) т.е.
характеристический полипом Р(Л) не зависит от выбора базиса, а значит являются инвариантами и его коэффициенты Ьо 2.3.6. Приведение матрицы преобразования к блочному виду Сформулируем теперь теорему, которая потребуется нам в даль- НЕйц1ЕМ. 2.3. Линейные в еов взоввввв и-ые ных и оет вветв 115 Тиогвмл 2.14. Пусть существуют т линейно независимых саб- о о ственных векторов е1... е линейного преобразования А, соотпветствующих собственному значению Л, тогда матрицу преобразования А', определенную в произвольном базисе ез...е„, с помощью невырожденного преобразования Я можно привести н блочному виду А': А' = Я 1 ° А ° Я = (А' ) = 1 ЛЕ А' где А" — матрица линейного преобразования А в базисе е~1...е'„, а е,' = У;е.; здесь также обозначены: Е„, — единичная матрица размера тп х тп, Аз~1 — матрица т х (п — т), Азз — матрица (и — т) х (и — тп) .
о о т В самом деле, так как е1... е — линейно независимы, то их можно о выбрать в качестве первых т векторов базиса е';: е,' = е; (1 = 1... т). Дополняя их векторами е' +,... е'„до базиса в Е„, запишем матрицу А' преобразования А в этом базисе. Найдем первые т координатнх столбцов этой матрицы: А(е';) = А(е;) = Ле; = Ле';, 1'= 1...т; А(е';) = ~~~ А;е'. (2.84) В силу единственности разложения вектора по базису, находим: Аи,. = ~ '' ''' ' 1=1,...тп.
(2.86) Г Лб,,у = 1...т, О, у = оп+1...п, Откуда получаем вид (2.83) матрицы А' в базисе е';. Этот базис, как следует из (2.63), связан некоторой невырожденной матрицей Я с базисом е;. Но тогда, в силу (2.71), матрицы А и А' линейного преобразования А в базисах е; и е'; действительно связаны соотношением (2.83), что и доказывает теорему. а Глввв 2.
Тонов ы но линейных и оот внотввх 116 Творима 2.15. Жели две матрица А' и Ан двух линейных преобо о раэований имеют одинаковые собственные векторы ет...е,„, соответствующие одному и тому же собстпвенному значению Л, то они могут быть приведены к блочному виду (2.83) с помощью одного и тпого же преобразования Я. Т 11ействительно, обе матрицы А' и А", согласно теореме 2.14, можно привести х виду (2.83) в базисах е'; и е' (т = 1...п). Причем тп о первых векторов в этих базисах совпадают: е'; = е' = е;.
Если мы выберем совпадающими и остальные векторы е'; = е' (1 = т+1... и), то матрицы А„и Аь изменятся только в блоках А22 и А~22, сохранив в целом блочный вид. Но тогда оба базиса е'; и е' полностью совпадают, и они будут связаны с исходным базисом е; одним и тем же преобразованием Я, что и требовалось доказать. а 2.3.7. Свойства собственных векторов Характеристический полинам (2.80) имеет и корней Л, среди которых могут быть и комплексные, и кратные корни. Каждый собственный вектор соответствует только одному собственному значению.
Тиогнмй 2.16. Каждому собственному значению Л матртщы А линейного преобразования может соответстпвовать несколько линейно независимых вектаоров, при этом их число т не можетп превышать кратности е собственного значения Л = Ло. Т Пля доказательства этого факта воспользуемся теоремой 2.14, согласно которой матрицу А в данных условиях можно привести к блочному виду (2.83) в некотором базисе е1...
е'„. Поскольку характеристический полинам Р(Л) не зависит от базиса, вычислим его в базисе т т, Е1...Ев. Р(Л) = де1 (А' — ЛЖ) = (Ло — Л) деС (Азз — ЛЖ„). (2.86) Здесь мы для вычисления детерминанта воспользовались формулой разложения по первому столбцу, а Ж„- единичнгл матрица размером (и — тп) х (п — т). Поскольку де1 (А22 — ЛЖ„) также может иметь корень Ло, то из (2.86) следует, что общая кратность э корня Ло, вообще говоря, больше, чем число т. а Сформулируем в конце этого раздела еще две теоремы. Творима 2.17.
Все собстпвекные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором о образуют линейное инвариантное подпространстлео ь. Т .Пействительно, нетрудно проверить, что для таких векторов аксиоо о мы линейного пространства выполняются, например, если А е; = Ле; 2.3. Линейные и еоб аооввиия в.ме иыя и оет авета 117 (т = 1,2), то А ° (е1+ ез) = Л(е1+ ез), а также А ° (вет) = Л(вет). Инвариантность этого надпространства также очевидна, так как образ собственного вектора А(ет) = Ле; также является собственным вектором А(Ле;) = Л(Лет). А о Твогнмй 2.18. Если в линейном подпространстве С выбрать био о зис ет...е, тпо линейная оболочка любой системы (й < т) векот от о о торов ет...ею составленной из векторов базиса е1...е„„также о о образует инвариантное надпространство С' в С.
у В самом деле, пусть вектор а является линейной комбинацией вида: Ь ео' <о' т;о' а = 2 < а'е;, тогда его образ А(а) = А(а'ет) = Лате« вЂ” — Ла также о' о« является линейной комбинацией векторов е ...еь и, следовательно, о принадлежит С'. А 2.3.8. Изоморфные пространства Между разными линейными пространствами возможны определенные соответствия.
ОЛРвднлнннв 2.16. Рва линейных пространства С и С' называют изоморузными, если суи«ествует линейное взаимнооднозначное отпображение А: С вЂ” « .С'. Следующая теорема дает условие существования изоморфных пространств. ТвоРЕмА 2.19. Два конечномерных линейных пространстпва изомору«ны тогда и только тогда, когда совпадают их размерности. т Пусть пространства С и С' имеют одинаковую размерность.
Выберем в них базисы ет и е'; соответственно. Построим отображение А: С вЂ” «С' — следующим образом. Всякому элементу а = а«е; из С поставим в соответствие элемент Ь = ате';, имеющий те же координаты а', но только в базисе е,'. Очевидно, что всегда Ь е Ст, так как он представляет собой линейную комбинацию векторов е'; из С'. Это отображение Ь = А(а) = А(ате;) = ате,' является линейным и инъективным, так как если А(а1) = А(аз), то А(а1) — А(аз) = (а', — аз)е'; = 9, н в силу линейной независимости е; 'неминуемо следует а1 = аз, а значит а1 — — аз.
Кроме того, отображение Ь = А(а) сюръективно ввнлу того, что, наоборот, по всякому вектору Ь = а'е'; б С' всегда можно найти вектор а = ате; из С. Тахим образом, построено взаимнооднозначное отображение А: С вЂ” «С', что по определению 2.16 означает изоморфность пространств С и С'. В обратную сторону. Пусть пространство С имеет размерность и и существует взаимнооднозначное отображение А: С «С'. Выберем Глввв 3. Фензо ы нелинейных л ест внстввх ыз в .С базис е< (з = 1...л) и покажем, что система е,' = А(е;) (з = 1...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
