Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Применим метод математической индукции. При и = 1 координатные столбцы являются просто числами а11...а1, и требуется найти ле все нулевые коэффициенты вй... в, чтобы выполнялось условие (2.1) вйа11+... + в™а~„= О, тп > 1. (2.6) Так как среди а1 нет нулевых, то (2.6) будет выполнено, если выбрать коэффициенты вз... в произвольным образом (но чтобы хоть один из них был бы ненулевым), а в1 — следующим образом: в1 = — — (вза11 +... + в~а~ ) ф О.
1 (2.7) а1 Пусть теперь теорема 2.2 верна для случал и и тп > и, докажем, что она справедлива и при и+ 1 и тп > и + 1. Условие (2.1) будет иметь вид: а1 1 1 = О, тп > и + 1. (2.8) ат «+1 ы Рассмотрим последнюю строку в (2.8). Среди чисел ай+ ...а«+ имеется хотя бы одно ненулевое, так как в противном случае все столбцы имеют длину и (тп > и+ 1 > и), и теорема по индукции будет доказана. Пусть ненулевым является, например, ай+ (й б (1...тп)), тогда выберем коэффициент в" следующим образом: й ( 1 «+1+ й-1 «В1+ й+1 «+1+ + т «+1) 1 в = — — «+, за ...+в ай в ай ... в а а, (2.9) в +...+в а« 1 «+1 1 где все остальные в1...
в — произвольные. Подставим теперь это значение в" в (2.8) и соберем слагаемые при одинаковых в1... в" 1, в",... в"'. Если отбросить последние координаты а1+1, то в результате этих операций получаем следующие столбцы: в' '. +...+в' ' . +в'+': +...+в . =О, (2.1О) 1.1. Линейное и-не нее и оет внетво 91 где о+1 б =а — — ав. 1 1 1 н+1 в Длина этих столбцов равна и, а их число и11 = т — 1 > и (т.к.
пт > и+ 1). По предыдущему шагу индукции эти столбцы всегда линейно зависимы, и можно найти ненулевые координаты в1...зь 1з"... в обращающие (2.10) в нуль, что и доказывает теорему. А ТЕОРЕИА 2.3. Бели в линейном пространстве имеетпся базис иэ и вектпоров, то все другие базисы в этом пространстпве состпоят также из п векторов. у Предположим противное. Пусть в пространстве .С имеется два базиса е1... е„и е1... е' разной размерности: примем для определенности тп > и. Тогда можно векторы е; 'разложить по базису е1...
е„: е', ее~~ е'1 е =(е"; ...е'"1 ), тон 1...тп, (2.11) 1=1 где е т †коэффициен разложения. т1 В результате получим т координатных столбцов длиной и (и ( т), которые, в силу теоремы 2.2, являются линейно зависимыми. Тогда, в силу теоремы 2.1, будут линейно зависимыми и векторы е1...е', что невозможно, так как они образуют базис. Это противоречие и доказывает теорему. А Используя эту теорему, можно ввести следующее определение. ОПРЕЛЕЛЕНИЕ 2.4. Линейное пространство С, в котором сущестпвует базис иэ конечного числа векторов п, называют п-мерным, а число п — размерностью про странстпв а.
Размерность пространства обозначают либо формулой а)ш С = и, либо индексом: .С„. Размерность нулевого пространства по определению полагают равной нулю, поскольку в нем нет базиса (нулевой вектор является линейно зависимым). Бесконечномерным называют пространство, в котором для любого натурального числа п существует и линейно независимых векторов. Далее будем рассматривать только и-мерные пространства. ТноРЕМА 2.4. В и-мерном пространстве всякая упорядоченная система и линейно независимых векторов являетсз базисом. т Действительно, пусть в пространстве С имеется п линейно независимых векторов а1...а„, но эта система не образует базис, т.е., ~огласно определению, найдется вектор а б С, который не является линейной комбинацией аз...а„. Тогда в С существует система из и+ 1 линейно независимых векторов а1...
а„а, по которой можно обРазовать и+ 1 координатных столбцов длиной и. Но, в силу теоремы Гневе 2. тенте ы не нннейнын и ест енствех 92 2.2, эти столбцы, а, следовательно, и система ат... а„а должны быть линейно зависимыми. Таким образом, наше предположение приводит к противоречию. А Тногимл 2.4А. В п-мерном простаранстпве всякатт упорядоченнав линейно независимая система иэ тп < п векторов может быть дополнена до базиса. У Для доказательства рассмотрим в пространстве С линейно независимую систему ат...а (т < и).
Эта система не является базисом, так как пространство С вЂ” п-мерное, значит, в нем существует базис из и векторов, и, согласно теореме 2.3, только из и векторов. Тогда найдется такой вектор а, который не выражается через ат...а, и значит можно образовать систему т+ 1 линейно независимых векторов ат...а а. Если т+1 < и, то доказательство можно продолжать до тех пор, пока не получим и линейно независимых векторов, которые, согласно теореме 2.4, являются базисом и включают в себя векторы ат...а . А 2.1.4. Линейные подпростраиетва ОПРНдипиини 2.5. Непустое множество С элементное иэ линей ного пространстпва .С называют линейным подпространстпвом, если 1с для любыя элементов а и Ъ иэ С' ип сумма а+ Ъ также принадлежит С~; 2' произведение любого а б С на произвольное число в также принадлежит С.
Каждое линейное пространство С содержит, по храйней мере, два подпространства: нулевое, состоящее только из элемента О, и само пространство С. Эти подпространства называют несобственными, а все остальные — собственными. Если выбрать в С некоторую систему векторов ат... а, то множество С всех линейных комбинаций этих векторов называют линейной оболочкой системы векторов аг...
а . Это множество С образует линейное надпространство в С, так как любая сумма или произведение на число линейных комбинаций вехторов ат...а снова даст некоторую их линейную комбинацию. ТВОРемА 2.б. Всякое подпростпранстпво .С' и-мерного линейноге пространстпеа С имеет размерность тп ( п, причем при т = и надпространство С' совпадаета с С. т Если С' — нулевое пространство, то его размерность по определению равна нулю, и так как и ) О, то теорема будет доказана. Для ненулевого пространства С', начиная с любого ненулевого вектора а б С', можем построить базис методом, изложенным в доказательстве теоремы 2.4а.
Число векторов в этом базисе не может быть больше и, так как всякая система линейно независимых векторов из С' будет 2.1. Линейное т>-ме ное н ест онечно линейно независимой в .С, а значит, согласно теореме 2.2, может содержать не более и векторов.
Если базис в,С' действительно содержит и векторов, то любой вектор из С можно разложить по этому базису (в противном случае мы смогли бы построить базис из и+ 1 вектора в С, что невозможно), это и означает, что С' совпадает с С. А ТЕОРЕМА 2.6. Если построить базис ет...е„в и-мерном пространстве С такам образом, чтпобы векпторы ет...е,„(тп < и) образовывали базис подпространстпва С' в С, то все векторы из С> и только они будутп иметь нулевые компонентпы ам+1 = ...
= а" = О в зтпом базисе е1... е„. И В самом деле, если вектор а б С имеет нулевые компоненты а'"+' »... а", то он раскладывается по базису ет... е,„, и значит принадлежит С>. Очевидно и обратное: если а принадлежит С>, то он раскладывается по е1... е > а=т ае;, ° =1 тогда если ввести компоненты а + = ... = а„= О, то линейная комбинация а = ~," а'е; будет являться разложением а по базису ет...е„, а в силу единственности разложения вектора по базису (см.
упр.2.1.6), это будут единственно возможные компоненты а1... а". А 2.1.5. Сумма надпространств Пусть имеется два подпространства С' и,Сн линейного пространства С. Множество всех векторов а, принадлежащих одновременно,С' и Сн, называют пересечением линейных подпростпранств и обозначают С'й Сн ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Множество всех векторов а, представляюитих собой сумму а = а +а", где а' Е С', ан б С", называют суммой линейных подпро стар он став и обозначают как С'+ С". ТЕОРЕМА 2.7.
Пересечение С>ПСн и сумма С>+Сн двух линейных надпространств из С сами являются линейными пространствами в Показательство теоремы оставим в качестве упражнения 2.1.14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.7. Прямой суммой двух линейных надпространствв,С' и Ен из С называют их сумму С'+ С", в случае если "ересечение подпростпранстпв С'П Сн — нулевое подпростпранство. Прямую сумму обозначают как С' йт С". Каждый элемент а б С> Ю Снможно разложить единственным образом в виде суммы а = а'+а", где а' б С, ан б С". В самом деле, пусть Глава 3.
Тенер ы на линейных и еее анетаах существует еще одно разложение а = Ъ| + Ь", где Ь' б Б', Ьл Е Б". Тогда существует вектор (а' — Ь'), принадлежащий ьт, и одновременно, в силу а' — Ь' = Ъ|' — а", принадлежащий ь'", т.е. а' — Ь' б,С' П ьт'. Но поскольку ь"'Пьл — нулевое надпространство, то а' = Ь' и ал = Ь". 2.1.6. Евклидовы п мерные пространства Дадим теперь обобщение использованного ранее в первой главе понятия трехмерного евклидова пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
