Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тензорные признаки Пусть имеются компоненты Т" некоторого объекта. Для того чтобы установить, являются ли они компонентами тензора, можно попытаться проверить выполнимость тензорного закона (1.129) при переходе из одной системы координат в другую. Такой способ называется прямым леелзорным признаком. Однако можно поступить по-другому, если компоненты Тсу участвуют в каком-либо алгебраическом тензорном уравнении с другими компонентами В'~, Сб и др., про которые известно, что они являются компонентами тензора, например: ТУ + В'~ = С'~, или Т" В ~ = С'~.
1 (1.158) С помощью свойства (1.152) алгебраического дополнения могут быть вычислены компоненты обратного тензора (см. упр.1.4.1). Используя результаты упр.1.4.1, можно показать, что для обратной матрицы дб имеет место формула: Глава 1. 'Гензо наз злгеб а 58 Тогда без непосредственной проверки можно утверждать, что Т»1 тоже являются компонентами тензора.
Такой способ называется обранзным нзензорны.м признаком. Справедливость обратного тензорного признака для операций сложения очевидна, проверим операцию свертки. Используя (1.129), перейдем в (1.168) в новую систему координат: ТИР Я~ В' = Р' Р С'р. 1 1»а з р (1.169) з1~множая н Щ Яз, получаем: д» гзз РЬ 6)т Т»за ьгза я»а Т»УЯ» Саз (1 169) Отсюда находим, что действительно при переходе в новую систему координат: Т" ш 6"; Я"1 Т", (1.161) таким образом, Тг) преобразуются по тензорному закону.
Упражнения к з 1.4. Упражнение 1.4.1. Показать, что если тензор Т имеет компоненты т = Т(3К ЭК1, то компоненты обратного тензорв Т имеют следующий вид: Т = (Т ) В. »8» Ву (Т ) = — е1ма ез Т» Тр 1 2бее Т ' 'Упражнение 1.4.2. Показать, что бее (Т ) = (Оез Т) УнражНЕНИЕ 1.4.3.
П * ать формулы (1пбт), (1дйО) и (1.157). Упражнение 1.4.4. Показать, что длз произвольного тензора Т второго ранга и вектора а имеет место соотношение» а ° Т ° а = а®а ° Т. Упражнение 1.4.6. Показать, что всзказ диада а 9 Ь звлзетсз особенным тен вором: »1е1 (а 8 Ь) = О.
1.б. Собственные значенив тенер в Упражнение 1.4.6. Показать, что при переходе из одной криволинейной системы координат Х' в другую Хт' компоненты тензора Т преобразуютсв сведующим образом: т,." = Рг! цт т ! Тку — т)! ц! т й ~ ь ! ч ! т™ УпРажнение 1.4.7. Показать, что векторное произведение тензора на вектор можно представить в виде: Т х а = ЯеттиТ 'айВ 9 В.'.
з 1.5. Собственные значения тензора 1.5.1. Определение собственных значений тензора ОПРЕПЕПЕНИЕ 1.24. Собстпв ек ными значениями Л, Л и о оо собственными векторами ео, е тпензора второго ранга А называют тпакие числа (вообще говоря, комплексные) и тройки векторов (вообще говоря, комплексно-зкачных), которые обеспечиваюпз выполкекие условий! А ° е = Лое, ео ° А = Л е, а = 1,2,3. (1162) Если известны компоненты А' тензора А в некотором базисе К;: т' о о А = А' К; Э Кт, а левый и правый собственный базисы е'", ео представлены в виде разложения по этому базису: о ео Яо ВФ о е =Р! В.;, (1.163) то уравнения (1.162) можно записать в компонентном виде: (А', — Л„б! )Р' = О, (А', — Л бту)9 к (1164) (1.165) де$ (А — Лоб' ) = О, с)еб (Ат! — Л~б! ) = О. и представляют собой системы линейных уравнений для определения о о о и тя" при фиксированном а.
Ненулевые решения этих систем сутпествуют только при тех Л„, Л", которые обеспечивают равенство нулю определителей: Гаввв 1. тонов нвявагоб в бо Поскольку Л и Ла охватывают все множество корней этих уравнений, то, очевидно, что Л =Л, (1.166) а единственное уравнение в (1.165) представляет собой уравнение третьей степени относительно Л : Р(Л ) = о1е1 (А — Л Е) = о)ео (А' — Л б' ) = 0 (1.167) и называется харакязерисозическизо ураенекием. Так как (А — Л Е) - тензор, то его собственные значения Л не зависят от того, в какой системе координат они определены, т.е.
из (1.167) следует, в частности, что о)е1 (А" — Ладб) = О, о)е1 (Аоу — Л бб) = О, (1.168) еще одно доказательство этого факта будет дано в п.4.5.3. 1.5.2. Свойства собственных векторов Собственные векторы еа и е определяются неоднозначно, дейсто о вительно, если еа - собственный вектор, то ке - тоже собственный вектор (й ф 0). Пля устранения неоднозначности обычно собственные векторы нормируют: е е =1, а=123.
(1.169) оо о оо о е ° А ° еа = Лбе ° е<„ об о ов о е 'А'еа = Лава 'еаз (1.170) получаем, что должно выполняться соотношение (Ла — Лб)еб еа —— О. (1.171) Откуда при некратных корнях Ла ф Лб следует, что оа еб еа = бба (1.172) о о Собственные векторы е и еа - взаимно ортогональны. В самом де- о ле, умножал первое уравнение в (1.162) на еа слева, а второе — справа о на ев. 1.5. Собственные значения тенза е б1 1.5.3. Разложение тензора по собственному базису Тензор А может быть представлен разложением по собственному базису: (1.173) Умножая (1.173) слева и справа на е и ея, на основании (1.170) и о, (1.172) получаем, что матрица А' - диагональная, и ее ненулевые значения совпадают с собственными значениями: з А = ~ Лаев 9 е о А, =Л.бд, (1.174) аа1 1.5.4.
Разложение обратного тензора по собственному базису Пусть теперь А — неособенный тензор: 11е1 А ф О, тогда для него имеет место формула (1.153): А 1 А=Е. (1.175) о Умножим слева и справа это соотношение на собственный вектор ея: о о А А ея = Е.ея = ея, а затем подставим сюда вместо А его разложение (1.174) по собствен- ному базису: з з А 1 ° ~ ~Лава®е ен = А 1 ° ~ ~Ладбеа ее А 1 ° Лвеб = еб. (1.176) а=1 а=1 Здесь мы использовали свойство ортонормированности (1.172). Перенося Лб в правую часть, получаем окончательно: о 1о А 1 ея = Л,,~ея. (1.177) з А '=~ Л 'е Эеа а а (1.178) а=1 Из этого выражения следует, что собственные векторы обратного тензора А 1 совпадают с собственными векторами исходного тензора А, а собственными значениями у А 1 являются Л 1.
Тогда тензор А Ф также можно представить разложением по собственному базису в виде: Глава 1. тента нан ангеб а 1.5.5. Разложение тензорных степеней по собственному базису Рассмотрим теперь квадрат тензора Аэ (1.141): А = А ° А= ~~т ~~т Лаеа®е~ ° Лрер эео = ~~ Лэеаее, (1.179) а=1 а=тна1 з А" = ~~т Л" е 8 е'". (1.180) а=1 э 1.6. Симметричные, кососимметричные и ортогональные тензоры 1.6.1. Симметричные и положительно-определенные тензоры Согласно определению 1.15, тенэор Т называется симметричным, если Т=Тт.
(1.181) Лля симметричного тенэора матрица его компонент в любом диадном базисе является симметричной: Т = Ттт кт е К1, Ттт = Тт', Ттт = Ттч. (1.182) Опгндвпвнин 1.25. Пол ожитпельно определенным называется тпензор Т, для нопторого а Т а =Т"а;а ) 0 (1.183) для любого а = ать' ф О. Пля симметричного тенэора Т результат скалярного умножения на вектор а слева и справа одинаков (см.
(1.140)): Т ° а=а ° Т =а ° Т, (1.184) т.е. собственными значениями тенэора Аэ являются Я, а собствено ные векторы совпадают с е . Очевидно, что имеет место следующая теорема. Тногнмя 1.12. Яля любого целого п, нан отприцательного, тан и положитпельного, инеетп место разложение п-об стпепени для тензора втпорого ранга: 1.Е. Снимет немые и о тоганепьные тенор ы вз о о еа ' ер = бар ° (1.185) ТЕОРЕМА 1.13.
Собсопвенные значения Л симмепзричного тензора Т всегда вещественны. Ч Действительно, если бы Л1, например, был бы комплексным: Л = Л' + 1Л", где 1 = з/ — 1, то ему соответствовал бы комплексно-сопряженный корень Лз — — Л1 — — Л1 — 1Л~1, а им соответствовали бы комплексно- сопряженные собственные векторы: о 1 о' .ои е1 = — (е1+ 1е1), ч'2 о 1 о' .ои о'" ез = — (е, — 1е1), ~е1 ~ = 1, (1.186) з(2 о о скзлярно перемножая которые, получаем, что е1 ° ез = 1, что протио о воречит взаимной ортогонельности собственных векторов: ез ° ез — — О. А Симметричный тензор Т, подобно (1.174), можно представить разложенным по собственному базису: з Т=Т'1В.18К1 — — ~~~ Л е Эе, (1.187) а=1 где компоненты в собственном и локальном базисах связаны следую- щим образом (см.
(1.163)): (1.188) а=1 ТЕОРЕМА 1.14. Для симметричного положительно-определенного тензора Т все собственные значения положительны: (1.189) о в частности, если а = е - левый собственный вектор, то для симо оа метричного тензора он, очевидно, совпадает с правым: е = е (ср. с (1.162)). Таким образом, существует единственный собственный о триэдр е всякого симметричного тензора, являющийся ортонормированным, в силу (1.172): Гаввв 1.
Теноо нвв внгеб в 64 У Пействительно, если Т - положительно определен, то из (1.183) и (1.188) следует, что должно выполняться: з Ла(а' ) > О, а' = Р'аа; (1.190) а=1 1 -Т;,Х'ХУ = у' = сопв1, 2 (1.191) которая в трехмерном пространстве координат Х' образует либо эллипсоид, либо гиперболоид, либо их вырождение. Подставляя (1.188) в (1.189), получим, что квадратичную форму можно привести к диагональному виду: у = -9;,ц„твтХ1ХУ = 1 2 ' з о о ЛаР аР а91191тХ Х = — Х~~ Ла(Ха) аа1 а=1 (1.192) если ввести новые - собпиеенные ноординоноьи (1.193) Если Т - положительно-определенный, то в силу (1.189) все собственные значения положительны, и поверхность, описываемая уравнением 3 Ла(Х' ) = сопз1, (1.194) а=1 представляет собой эллипсоид, главные направления которого совпадают с направлениями осей собственных координат Х' . Если все собственные значения совпадают: Ла = Л, а = 1,2,3, то уравнение (1.194) является уравнением сферы, для которого все направления - главные.
Симметричные тензоры второго ранга А и В называются соосныо вон, если их собственные базисы е совпадают з з А = ~~~ Ааеа 9 еа~ В = ~~~ Васа Э еа~ (1 195) а=1 аа1 для всех а', а это возможно только при Л > О. а Со всяким симметричным тензором Т можно связать центральную поверхность второго порядка, называемую поекэорноб поеерякоспоью. Пля этого по компонентам Т; составляется квадратичная форма: 1.6. Сн мет ичные и о тогонепьные тенер ы 65 при этом собственные значения А и В различны; если же А„= В„, то тензоры А и В совпадают А = В.
Скалярное произведение соосных тензоров А и В образует симметричный тензор (А В)т-А.В (1.196) поэтому это скалярное произведение - коммутативно, т.е. перестави- мо: (1.197) А ° В = В ° А. 1.6.2. Кососимметричиые тензоры Опгиднлвнин 1.26. Тензор й называют кососимметричным, если йт (1.198) Всякий произвольный тензор А всегда можно представить в виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров: (1.199) А=Т+й, где Т (А+ Ат) 1 2 й — (А Ат) Обозначим компоненты кососимметричного тензора й в базисе В„Э К как й оо йбВ„ЕК1, (1.200) тогда й11 = -й'1. (1.201) пс = ос;Н.'с ы; = -- /дес «йу«. 1 2 (1.202) Творима 1.15. Кососилснетричныб тензор и сопутствуюи«иб е.ну вектор связаны следуюи«им соотношением: (1. 203) й = ис х Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
