Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Показать, что длл цилиндрической системы векторы взаимного локального базиса имеют вид: К = Кг — — сов фег + вш фег Кг = — Кг — — — вш фег + — сов фег, В. = Кз = ез,' 1 1 ° — 1 — з тг т в ллл сферической системы координат: К~ = Вг — — в(пдсовфег+вшдвшфег+ совдез, г 1 К = — Вг — — — совдсовфег+ — совдвшфег — — вшдез, гг г. т т з К = ., Кз = .
( — вшфег+совфег). тгвшгд г вшд 3 1.2. Векторное произведение 1.2.1. Символы Леви-с1ивиты Опрвдвпвнив 1.4. Векторное произведение векгпоров а и Ъ, обозначаемое как а х Ъ, представлдет собой следугогаид вектор: а х Ь =,/де<,ва'ЫВв = — ед 'а;Ь;Кв.
,/д (1.33) .г'пражнение 1.1.14. Показать, что дле цилиндрическойсистемы координат метрические матрицы дд, д и детерыинант д имеют вид: эз Глава 1. Тензо паа алгпб а 30 Здесь епю си ь — символы Леви- Чиеивгы: О, если есть совпадающие индексы, 1, если индексы различны и образуют четную ия обе~ е подстановку, — 1, если индексы различны и образуют нечетную подстановку, (1.34) а д = с(ее (д;.). Важную роль играют комбинации символов Леви-Чивиты с /д. Например, из (1.33) следует: 1,„„, зЯеов = е дапдпудм. Л (1.35) Непосредственно можно проверить, что е,'ье = 6 бв еиьеи- = 6,'бе — баб;, е; ееьи = 2бч (1.36) а также еоьТ;, = О, (1.37) где Т, — компоненты произвольной симметричной матрицы, для которой Т;, = Т,о Умножая (1.35) на еб", получаем явное выражение детерминанта д метрической матрицы через ее компоненты: бя ~пег — е дппдпгдм.
6 (1.38) Формулу (1.38) можно применить к любой матрице А', а не только к метрической, тогда получим: Ае1 (А' ) = -сове "~А' Аг„А~~. 6 (1.39) <Ы (А 1) ебь(АгА~гАзь А~гАзАг~ + А АззАг АгА(гАз + АзА~гА~~ АзА~гА~г). (1.40) Принимая за определение детерминанта бе1 (А' ) формулу (1.8'), в справедливости (1.39) можно убедиться непосредственно, расписывая покомпонентно суммы по всем индексам. Формулу (1.39) можно представить в несколько ином виде, если расписать покомпонентно только один из символов Леви-Чивиты: 1.2. Венер нови онзнеленне 31 де$ (А' ) = е; ьА' АэеА~~, а файф у фа, а,Д7 = 1,2,3, (1.41) где а,13,7 образуют любую четную подстановку.
При нечетной подстановке следует поменять знак. Еше один способ записи этой формулы таков: деФ (А' )е ы = ецьА' А~А~~. (1.42) В его справедливости также легко убедиться непосредственно расписав по индексам тп, п,1. ОпУскание или поднютие индексов пРиводит к объектам еиь, е,дь и т.п., которые уже не являются константами: и по~ е ь — е дань, е; ь — еооьд и 'г.п. 1 ее1 (1.43) Покажем некоторые важные свойства векторного произведения.
1.2.2. Смешанное и двойное векторные произведения Опгндвлвнив 1.5. Последовательное применение операций векторного, а эатем скалярного умножению длю трех векторов (ахЬ) ° с=с (ахЬ) (1.44) наэываетсю сметанным произведением. Смешанное произведение, очевидно, приводит к образованию скаляра р: ~р = с (а х Ь) = ~/дебьа'Ус~. (1.45) Определение 1.6. Двойным векторным проиэведением наэываетсю вектор е), обраэованныб иэ трех векторов а, Ь и с следующим образом: девах (Ьх с). Используя определение (1.33), находим компоненты еЬ 1 с( = — ем"а;(з/деы .Ь со')Кь = (еоьепнда;5~с™)йь = дьКь.
(1.46) Л Используя вторую формулу в (1.36), преобразуем (1.46) к виду: с) = ( — б~б~ь + 6' 6~~)а;ус™Яь = = ( — а~6'се+а 6"с )В.ь = (а ° с)Ь вЂ” (а ° Ь)с. (1.47) Таким образом, приходим к формуле: а х (Ь х с) = (а ° с)Ь вЂ” (а Ь)с. (1.48) Поскольку по индехсам з, у, к справа идет сумирование, то меняя мес- тами пары индексов, убеждаемся, что все шесть слагаемых в правой части равны между собой, поэтому Гвввв д. денев нвв впгеб в 32 1.2.3.
Ортогоиальность а х Ь с а и Ь ТЕОРЕМА 1.4. Векпдор а х Ъ ортогонален к а и Ъ (рис. 1.6). т В самом деле, нхЬ (а х Ь) а =,Дед гадода дг дз дг = д/д(едуга а + ввуза а + егуда а + + ввуза а + ез;да а + езуга а )Ь' = гз зд зг = д/9 ((едуг + егуд)а а + + (едуз + ездд)а а + д з + (егдз+езуг)а а )Зд = =0 од=О, / l у у I Рис. 1.6. К выводу свойств векторного нронвведеннв (1.49) т.к. едуг = — егуд н т.д. А 1.2.4.
Длина |а х Ь| ТЕОРЕМА 1.0. Длина вектора |а х Ь! равна плоидади Я параллелограмма, построенного на векторах а и Ь (рис. 1.6)д Я = |а||Ъ|зшф = |а х Ъ|. (1.50) т Поскольку Я является скалярным инвариантом,то его значение не зависит от выбора системы координат, в которой он рассчитывается. Выберем специальную систему координат В.';, в которой: а = адВ.' Ъ = Ь211ь . Дь 2' Тогда |а! = дьуадад =ддда а, |Ь! = 922Ь Ь, и е=д,в. ьдВвь= ьь — „в,.|'ь'~„'Г:Рь. Отсюда а (ь К'д ° Вг ддг сов ьдь = Ядддгг|а о | д/9ъддгг Вычислим созьдь из определения скалярного произведения векторов (1. 32): а Ь = |а||Ь!совф. 1.2.
Векио нее и оиииеаение зз 9 9 У УУ Уыдгг у' УыУгг Здесь использовано определение коэффициента обратной матрицы зз 2 д — (У11д22 д12) У Тогда выражение для Я принимает вид: зз Я = 1/У11дгг(а 62 91( = Я1/уээ(а Ьи(. ')' УУыУгг Вычислим а х Ь во введенной системе координат: а х Ь =,/дсмеа Ь2Км = 1/д)а~6~)1/дзз таким образом утверждение (1.50) доказано. и Если обозначить и — единичный вектор нормали (и ° и = 1) к площадке Я параллелограмма, то соотношения (1.49) и (1.50) можно представить в виде: пЯ=ахЬ. (1.51) Это соотношение будем часто использовать в дальнейшем. 1.2.5. Геометрический смысл векторов взаимного базиса Рассмотрим векторное произведение векторов базиса В.п х В. и воспользуемся определением (1.33), в котором а = В„пд,",Кг и Ъ = Вуи Х КУп = ЯеуЯУУпК = З/дспип1К (1.52) в частности К2 х В.з — 1/уК (1.53) Отсюда следует геометрический смысл векторов взаимного базиса К: это векторы ортогональные к координатной плоскости, натянутой на векторы Кд, В-У (а ~ Уи Ф' 7) 1.2.6.
Вычисление объема Умножнм скалярно на К; обе части уравнения (1.52): Кг ° (Кп х В ) = 1/дсп 1В.1 Кг = 1/деп„п = 1/дсг„. (1.54) 1 ГиууиУриои иуииуиуиие Глава 1. тснзо нвя вагаб а 34 Рассмотрим частный случай: Вд '(Вг х Вз) = 1/дедзз = 1/д. (1. 55) Покажем, что /д это обьем )Ц, построенный на векторах В;. Используя свойства скалярного и векторного произведений, получаем: д/д = Кд ' (Вз х Кз) = (Вд((йз х Кз! сов з(зд сз = (Кд(созфдЯ = )зЯ = Щ, (1.56) х» д = с)е» (дб) = с(ед ((деьузй) = с)ед ф,")с)ед Я~) = ) —,(~. (1.57) Таким образом, имеем равноправные соотношения: дя» ) з' ) = 1/д = В.д ° (Кз х Кз) = ~ дХ1 (1.58) Упражнения к з 1.2.
Упр 1.2.1. Доказать формулы (1.3б) и (1.37). 'Упражнение 1.2.2. Доказать, что К1 = (1/(21/д))е"~ К„х В,. 'Упражнение 1,2.3. Доказать, что К х В~ = (1/д/д)е д К» ° Упр 1.2.4. Доказать,что К» = (д/д/2)е~""'К" х В.™. Упражнение 1.2.5. Показать, что В;хВ'=О. Упр 1.2.6. Доказать, что циклическая перестановка нс монист рсзультата смсцзанного лроизвслсния: (ахЬ) ° с=(с ха) ° Ь=(Ьхс) а. здесь Я вЂ” площадь параллелограмма, лежащего в основании параллелепипеда,построенного на векторах В.;, а (д = )К;)соззд — его высота. Учитывая, что Кд = феу и дб = ф ф», имеем » 1.3. Геоыет ическое оп слепне тензо а 33 Упражнение 1.2.7.
Показать, что ахЬ=-Ьха, аха=О. 5 пр ие 1.2.3. Показать, что если е; - три ортогоиальнык вектора единичной длины, то е;хег — — еэ, зфуфй=з'. э пражнение 1.2.9. Использук определение (1.34), показать непосредствен- но, что из (1.38) следует (1.18). 3 1.3. Геометрическое определение тензора и алгебраические операции с тензорами 1.3.1. Графическое изображение векторов и операций с ними Для векторов, называемых также тенэорамн первого ранга, существует наглядное графическое изображение. Графически вектор а, соединяющий точки О и М, изображен на рис. 0.1 (см. Введение). Наличие стрелки в точке М указывает на то, что точка Π— начальная, а точка М вЂ” конечны.
Операции сложения векторов с = а+Ь "по правилу параллелограмма" и скалярного умножения а ° Ь = (а((5! сов ср также можно наглядно изобразить графически (см. рис.0.2 и 0.4). То же самое относится и к умножению вектора на число (см. рис.0.3), а также к разложению вектора а по базисным ортонормированным векторам е; (рис. 1.7 для векторов на плоскости), которое позволяет графически изобразить и компоненты вектора а' в базисе е; как проекции вектора а на ег. Можно также изобразить графически компоненты вектора а в неортонормированном базисе В;: а = а'Вг = агВ'.
(1.59) Ковариантные компоненты а; — это ортогонэльные проекции анз вектора а на В;, умноженные на длину В;: ао = а ° Вп сс )аЦВо(сового — — ан (Во( (1 60) Векторы взаимного базиса Вс можно изобразить графически с помощью свойства (см.
упр.1.1.5) их скалярного произведения с вектором основного базиса. Для двумерного случал имеем: Вг В1 0 В1 Вг 0 В1 В1 1 Вг Вг 1 (1 6Ц Глава 1. зензо нак алгеб а Зб Вг 92 Д ВК,а, е, Рис. 1.8. Геометрнче«кое прелетввпенне к«вариантных компонент вектора в ортонормнрозанном базн«е Рис. 1.7. Графическое нзобраменне компонент вектора в ортонормнрованном базн«е )Во( = . ~ «з зз 1~2~ 1 (В )взпу (1.62) где уз — угол между В.1 и В.г (О < у < я). Напомним, что в плоскости левый базис нумеруется по направлению против часовой стрелки, такая же ориентация сохраняется и для векторов взаимного базиса.
После построения векторов К1, ортогональными проекциями на них можно изобразить графически ковариантные компоненты а' вектора а: а" = а ° К" = ад )Во(, ал = )а(собтро, (1.63) где зро — угол между векторами а и В.п. 1.3.2. Геометрическое определение теизора Ладим теперь подобное геометрическое определение для нового объекта — тензора второго ранга. Вначале рассмотрим для наглядности тензоры в двумерном евклидовом пространстве. Опридидннин 1.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
