Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Повторяться могут и индексы у одного и того же многоиндексного объекта, например д1 д1 +цг +дэ В этом случае также по этим индексам идет суммирование. Далее будет показано, что суммирование индексов у одного объекта — это частный случай операции скалярного умножения (свертки). Повторяющиеся индехсы "взаимно уничтожаются" в формулах с операциями сложения и приравнивания (см. правило Б), т.е.
правильными будут, например, следующие записи: а+Ь'; = сг, $1 а'Р,У+ Ь' = с', 1 Я1 Вгь = А'ь Е. Особый случай представляет декартовая прямоугольная система координат. Если в (1.14) в качестве В.; взять Ве = е;, то на основании (1.13) получим: д12 = б11 т.е. метрическая матрица в декартовом базисе — единичная, еди- ничной же будет и обратны метрическая матрица: д'1 = Ь11. поэтому повторяющиеся индексы еще иначе называют немыми, а не- повторяющиеся — свободными индексами. Х Умножение на метрические матрицы д11 или д'1 приводит, соответственно, к "опусканию" или "подниманию" индексов.
Это свойство называется "жонглированием индексов", оно, в частности, использовано при определении локальных векторов базиса (1.19), вообще же кц Локвльные векта ы базиса 23 Тогда векторы базиса, взаимного к е;, можно вычислить согласно (1.19): е' = дбеу = ббе~, (1.20) т.е. е~ = бцеу — — е1 и т.д., тогда е' и е; совпадают. Однако для того чтобы сохранить правило А расстановки индексов, будем для обозначения равенства этих векторов испольэовать формулу (1.20).
Точно также в дальнейшем будем поступать со всеми объектами, относящимися к декартовому базису: вводим верхние и нижние индексы согласно правилам А, понимая, что численное значение величины от этого не изменяется. Этим объясняется необходимость использовании различных символов Кронекера бб, бб и б', значения которых одинаковы. Согласно этому же правилу можно определить ковариантные и хонтравариантные якобиевы матрицы: с7ьб = ць б'~, азу = бей'.:, Рь = бьуР':, Р У = Рь; бч, численные значения компонент которых равны между собой (Яы = 9'м Юзз = Фз и тд). Тогда выражения для метрических матриц (1.14) и (1.17) можно записать в виде: б Р| Рбь Рмрб 3 — ь.
ь ду =а;азу Подставляя (1.17) и (1.6) в (1.19), находим связь К' с е': К' = Р' Р~ Фее = Р' е7, еб = Яз;Н.', (1.21) ду; дх ' ду; а;. = —,, дху ' это правило использовано, например в (1.5), а обратное — в (1.18). То же самое правило перемены индексов относится и к операции взятия обратной матрицы (см., например, (1.17)). 3. Для обозначения индексов применяются малые латинские буквы (з',у, Й,1, п1, и и др.). В этом случае, если не оговорено особо, предполагается, что индекс пробегает значения 1, 2, 3. которал, очевидно, отличается от связи (1.6) векторов основного базиса В.; с е .
Ж. В операциях дифференцирования считается, что производная по объекту с верхним индексом дает объект с нижним индексом и наоборот: Глава 1. кензо нез еегеб а 24 Иногда в качестве индексов используют также индексные объекты, например: 1ы уз, 1з,.... В этом случае получаются многоярусные индексные объекты: ду~уэ д'Пэ однако, как и в предыдущем случае, такая запись означает, что каждый из 1ы уз и др. пробегает значения 1, 2, 3. Если хотят подчеркнуть, что индексы пробегают только два значения, например, 1 и 2, то для них часто используют заглавные латинские буквы: Греческие буквы в качестве индексов часто используют для того, чтобы применять повторяющиеся индексы, по которым нет суммированию Я, д, а=123.
Кроме того, в целях придания компактности формулам греческие индексы используют в формулах с циклической перестановкой индексов, например, вместо трех формул Яз =б'бз+е'бз, с)" =б'б'+Ю'Бз, Яз = б~збиз+ БЯ можно применить одну я'у = бвб~з+ 6'б~~, где предполагается, что а„8, у пробегают значения от 1 до 3, но все они не равны и меняются циклическим образом: если а = 1, то у3 = 2, 7 = 3; если а = 2, то )3 = 3, у = 1; если а = 3, то )3 = 1, у = 2. 1.1.6. Векторное поле Пусть теперь в каждой точке х пространства определен вектор а, меняющийся, вообще говоря, при переходе от одной точки х к другой х'. В этом случае говорят, что определено векторное иоле а(х). В каждой точке х вектор а можно представить разложением по декартову базису в виде (1.1): а=а'е; (1.22) где а' — компоненты вектора в базисе е<.
В силу инвариантности вектор а можно представить в локальном базисе В„, определенном в данной точке х: 1.1. Локальные векто ы бвзнсв 25 а также во взаимном базисе: а = а11ь1 = асдиВ. = а11с', (1.24) при этом выполнены соотношения: а = а е1 = а1В1 = а1В.' = азО|уес. (1.25) Отсюда получаем связь компонент координат х1 и Х': вектора а в различных системах ад = Рт а'.
ас=ф аз, у (1.26) а1 = дна'. (1.27) е Очевидны и обратные соотно- шения: а1 = дпаь (1.27') Подставляя (1.14) и (1.26) в (1.27), получаем связь ковариантных компонент а; и ааь в различных базисах: а1 = Яь; аы аэ = Рзэаь (1.28) Заметим, что векторы базисов и компоненты векторов в этих базисах преобразуются различным образом (формулы (1.6), (1.26) и (1.21), (1.28)). 1.1.7. Операции с векторными полями Творима 1.1.
Сумма двух секторные полей а и Ь, определенных в одной точке х, образует векторное поле, причем а+ Ь = а'К; + о'Ве = (а' + Ь')К;. (1.29) Доказательство очевидно, так как в каждой точке х векторные поля — это просто векторы, которые можно складывать. Рис. 1.д. Ковврнвнтные и контрввврнвнтные коыноненты вектора а Величины а; называют ковариантными компонентпами вектора в базисе 1с'. Они связаны с а', называемыми контраварионтными компонентани в базисе В.; (рис. 1.3), соотношениями: Глава 1. темза иак елгеб в т В самом деле, используя представление (1.24) для а и Ь, а также определение метрической матрицы (1.14) и правило Л, получаем а ° Ь = а'К; ° ЬзК) — азЬзд1 = а'Ь; = а;~б.
а (1.30) Творим» 1.3. Скалярное произведение вектора самого на себя представляет собой длину вектора ~а~з )а) = (а. а)ч~ = (аза;)~~~ = (а'а;)~~~. (1. 31) т Так как а' и а; совпадают, то с помощью двукратного применения теоремы Пифагора убеждаемся, что а'а< = (а~з. Но из (1.26) и (1.28) получаем: а'а; = ри»а~ф;а = а'а; = ~а~». а Косинус угла зу между векторами а и Ь через координаты вычисляем следующим образом: а. Ь а1Ь; (аЦЬ) (озауЬ»Ь»)1!з (1. 32) 'Упражнения к 8 1.1.
'Упражнение 1.1.1. Показать, что Ке ° Ву = д'з. Упражнение 1.1.2. Доказать формулы (1.18) и (1.18). Упражнение 1.1.3. Показать истинность формулы А'»б;~ = А1». Упражнение 1.1.4. Доказать формулу (1лв). Упражнение 1.1.5. Доказать, что К' 11» = Б». Упражнение 1.1.6. Ислользух олределеиие (1.8 ), показать, что длк двух произвольных матриц А', В' вылолиеио: йе» (А' В~») = ое1 (А' ° )йе1 (Вз»). Творима 1.2.
Скалярное произведение двух векупорнмх полей а и Ъ равно сумме произведений их компонент в основном и взаимном базисахз а'Ь; = а;Ь'. 1.1. Локальные векто ы базиса Упражнение 1.1.7. Испопьзу» результаты упр.1.1.б и (1.9), показать, что дпя матрицы (41 и ее обратной Р' справедлива формула: бе1 Я'1) = 1/бес (Р' ).
Упражнение 1.1.8. Показать, что при переходе из одной криволинейной системы координат Х в новую криволинейную систему координат Х 1, опредез1 о ленную квк (х = х(ХО)), х' = х'(Хо) где Я~ = дХ'1/дХ1 - матрица преобразования из Х' в ХО. а Р'„', = дХ1/дХ'"' — обратназ матрица: Р' О. щау' Р. =д1эо Здесь и и о — компоненты вектора а в различных базисах: \ д 'Упражнение 1.1.9. Показать, что при перекоде из системы координат Х' б в Х, метрические матрицы преобразуются следующим образом: УПР 1.1.1О. Используя резупьтаты упрамнений 1.1.В и 1.1.9, показать, что векторы взаимного базиса 1С, ковариантные компоненты вектора аз зз1 преобразуются при переходе из одной криволинейной системы координат в другую следующим образом: юю а Ьг)1 и оз Упражнение 1.1.11.
Для цилиндрической системы координат (см.рис. 1.4) определены соотнопзения (1.2) вида х' = зсовф, х" = гв)аф, х = л, где Х = и (попярный радиус точки М на плоскости Ох хв), Х = ф (попяр- 1 в ный угол точки М на плоскости Ох х ), Х = д (осевая координата) — цилннд- 1 2 3 рические криволинейные координаты; показать, что якобиевы матрицы (В' .
и Р'. имеют вид: сов ф — гвзпф О совф взпф О фу = взцф гсовф О, Р', = — -„'взпф „-'совф О О О 1 О О 1 локальные векторы базисов К; и К~ = дХ/дХО и компоненты произвольного вектора а в этик базисах связаны соотношениями: Глава 1. 'Гензо нвя алгеб а 28 ~пр 1.1.12. Для сферической системы координат (см. рнс. 1.5) определены соотношении (1.2) вида х = гзшдзшф, х = тсОзд, Х = г81Пдсозф~ где Х = 1' (радиус точки М), Х = д (меридиональный угол), Х = ф (азимутвльиый угол) — сферические криволинейные координаты; показать, что якобиевы матрицы Я ° и Р ° имеют вид: 81п д соз ф т сО8 д соз ф — т81п д 8!и ф ипдззпф тсоздыпф тзшдсозф сО8 д — т зш д О Зш д соз ф зшдзшф соз д Р' = (1/т) создсозф (1/т) создзшф — (1/г) 81пд -(1/г) (Зш ф/ зш д) (1/т) (соз ф/ Зш д) О ,г прджпение 1.1.13. Показать, что для цилиндрической системы координат векторы локального базиса имеют следующий вил: Кз = -тзш фе1+ гсозфег, Кз = ез,' В.1 —— соз фе1 + зш фез, а для сферической системы координат; К1 — — зшд созфе1+ Зшдззпфез+ сов дев, Кз —— т соз д соз фе1 + т соз д зш фез — г зш дез, Рис.
1.~. Цилиндрическая система координат Рцс. 1.д. Сферическая система ко- ординат 1.г. Векто ное и оизведение В.з = (-вшфег+совфег)твшд. 1 0 0 1 0 0 дП вЂ” — 0 тг О, дП = 0 1/тг О, д=т", 0 0 1 0 0 1 а для сферической системы координат: О О ~ ~1 О О дд = 0 тг О, д'з = 0 1/тг 0 0 0 тгвшгд/ 1,0 0 1/(тгвш'д) д=т вш д. Упражнение 1.1.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
