Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Важную роль сыграли работы выдающегося немецкого математика Г.Вейля (1885-1955), который вместе с О.Вебленом развил подход к определению тенэора на основе рассмотрения квадратичных форм, тем самым оформив "алгебраический" способ введения тензоров. Много сделали для развития теории тензоров Е.Вильсон, выпустивший в 1913 году широко известный учебник по векторному анализу, Ф.Мурнаган, который, в частности, ввел обобщенные символы Истоки теизо кого исчисиеиик Кронекера, Э.Картан, разработавший теорию внешних дифференциальных форм, Р.Вайценбек, Д.Витапи, которые наряду с Э.Картаном и Я.Схоутеном разработали теорию пространства абсолютного параллелизма, Дж.Л.Синдж, Т.Томас, З.Аппель, Л.Эйзенхарт, Л.Витернбен, а также И.С.Сокольников и А.Дж.Мак.-Копнил, написавшие превосходные учебники по тензорному анализу.
Успехам в применении тензоров длк задач теории упругости мы во многом обязаны Л.Бриллюэну и А.Ляву. Значительный вклад в развитие тензорного исчисления внесли российские ученые: П.К.Рашевский, А.П.Широков, В.Ф.Каган, Н.Е.Кочин, Н.Е.Ефимов, И.Н.Векуа, Б.Е.Победря, В.В.Лохин и многие другие. Так И.Н.Векуа разработал теорию ковариантного дифференцирования в комплексных криволинейных координатах, а Б.Е.Победря ввел спектральное представление тензоров и на его основе существенно развил теорию нелинейных тенэорных функций.
Важным шагом стало введение безиндексной формы записи тензорных соотношений, которая появилась в середине ХХ века в исследованиях по механике сплошных сред Р.Ривлина, Дж.Эриксена, В.Колла, Дж.Адкинса, А.Грина, Дж.Смита, К.Трусделла, А.И.Лурье. Беэиндексная форма, введенная для векторов еще Гиббсом, позволила записать специальным математическим языком все физические законы в простой, компактной и объективной (т.е. независящей от выбора системы координат) форме, в которой индексы "не заслоняют" физической сути законов. Современное тензорное исчисление использует все три упоминавшиеся формы записи соотношений: компонентную, безиндексную и матричную. Тензорное исчисление в настоящее время тесно связано с другими областями математики, в частности, с теорией инвариантов, теорией групп и теорией представлений, теорией индифферентных тензоров.
Теория алгебраических инвариантов, возникшая еще в Х1Х веке, в настоящее время находит широкое применение в механике и физике. Теория групп, у истоков которой стоял Э.Галуа (1811-1832), в Х1Х активно применялась в естественных науках для описания свойств симметрии кристаллов. С ее помощью были установлены 32 кристеллографические группы, в 1848 году Бравз нашел 14 тралсляционных групп, соответствующих решеткам кристаллов, которые получили его имя. В 1890-1894 гг. российским ученым Е.С.Федоровым и независимо от него А.Шенфлисом были выведены 230 пространственных групп симметрии кристаллов.
После создания теории представлений групп, разработанной, главных образом, Г.Фробениусом (1849-1918), И.Шуром (1885-1955), У.Бернсайдом (1852-1927), было установлено, что теория групп имеет фундаментальное значение для квантовой физики. В настоящее время теория представлений является одним из бурно развивающихся разделов математики. Некоторые методы теории представлений, используемые при описании свойств индеффе- 12 Истоки тенко ного исчисление рентных тензоров, изложены в данной книге.
Теория индифферентных тензоров (или иначе тензоров с внешней симметрией — по А.В.Шубникову, или еще иначе материальных тензоров, задающих физические свойства: упругость, тепловое расширение, теплопроводность, пьезоэлектрический эффект, электропровод- ность и многие другие) активно начала развиваться в ХХ веке вслед за основополагающими работами Фойгта. Весомый вклад в эту область внесли российские ученые А.В.Шубников и его ученики, Ю.И.Сиротин, Н.В.Белов, И.С.Желудев, Ф.И.Федоров, П.Бехтерев, Н.Г.Ченцов, С,Г.Лехницхий, М.П.Шаскольская. Усилиями этих и многих других ученых теория описания линейных свойств анизотропных сред (кристаллов; монокристаллов, композиционных материалов, древесины и других) была в значительной степени завершена.
'Гем не менее многие важные вопросы остались до сих пор невыясненными, тах только в 1983-1984 гг. польсхому ученому Я.Рыхлевскому удалось привести тензор четвертого ранга модулей упругости к диагональному виду и исследовать его свойства. Примерно с середины ХХ века была начата активная разработка теории нелинейных тензорных функций и функционалов, основы которой восходят к знаменитой теореме Гамильтона-Кэпи. Эта теория позволяет описывать такие нелинейные свойства сред, как эффекты анизотропной пластичности, ползучести, нелинейной вязкости и вязкопластичности, нелинейной диффузии, диаграммы намагниченности, нелинейные оптические свойства и др. Основополагающие результаты в этой еще только развивающейся области были получены Р.Ривлином, Ф.Смитом, А.Спенсером, А.Грином, Лж.Адкинсом.
Ими были установлены представления, главным образом, скалярных или алгебраических функций от тензоров для различных групп симметрии. Иной более общий подход, основанный на построении тензорных базисов, был применен российскими учеными: Ю.И.Сиротиным, В.В.Лохиным, Б.Е.Победрей, Г.Н.Малолеткиным и В.Л.Фоминым. В настоящей книге этому перспективному направлению посвящена вся пятая глава. В заключение подчеркнем, что тензорное исчисление является необходимым инструментом большинства новых развивающихся естественнонаучных направлений в физике, механике, квантовой химии, кристеллофизике. В частности, такие увлекательные проблемы современности, как разработка квантовой теории относительности, теории объединенных полей, теории наноструктур и другие, решаются главным образом методами тензорного исчисления.
ВВВДВНИВ А. Геометрическое определение вектора Тензорное исчисление является развитием векторного исчисления, поэтому прежде всего напомним простейшие определения векторов и операций с ними. Используя аксиоматику элементарной геометрии (в которой введены понятия точки, прямой, отрезка, длины, угла и др.), веиглорол а называют направленный отрезок, соединяющий некоторые две точки 0 и М пространства. Одну из точек (0) называют началом, а другую (М) — концом вектора.
Графически векторы изображают стрелками (рис.0.1). Длиной вектора а называют расстояние между его началом и концом, которое обозначают как (а~. Прямую, проходящую через вектор а, называют лпииеб действия еекизора. Данное выше определение называют геометрическим, так как оно вводит вектор а как некоторый геометрический объект. Существуют и другие определения вектора, которые будут рассмотрены далее. М2 0 Рис. 0.1. Геометрическое олрелеление вектора Рнс.
О.к. Геометрическое ирелставление олереиии еламеник векто- ров Используя геометрическое определение, можно ввести операцию сложения деус еекиеоров а и Ь, имеющих общую точку начала О: суммой двух таких векторов называют вектор с = а+ Ь, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, и началом которого является та же точка 0 (рис.0.2). Важную роль играет нулевой вектор О, который при сложении с любым вектором а дает снова а: а+ О = а.
Геометрически определяют и вторую операцию с вектором — умножение вектора а на еещеснзеенное число е)у: такое произведение ра есть вектор, лежащий на той же прямой, что и а, но имеющий длину фа~ и направление, совпадающее с направлением а, если 4 > О, и противоположное к нему, если ер < 0 (рис.0.3). Вв ение Рнс.
О.о. Геометрическое прелстввление умноменик векторе нв число Рпс. 0.4. Геометрическое предстввление скелерного умномение векторов Третья основная операция с векторами — это скалярное умкоженпе пары векторов а и Ь, которую определяют как вещественное число, равное произведению длины вектора а, длины вектора Ь и косинуса угла между ними (рис.0.4), и обозначают как а ° Ь = (а||Ь! сову.
(0.1) Ненулевые векторы а и Ь называют ортлогональныэеп, если их скалярное произведение равно нулю: а Ь=О. (0.2) а = а е1+азез+а ез. (0.3) Это соотношение можно записать иначе: ! а=ае;, (0.4) здесь по повторяющимся индексам происходит суммирование (прави- ло Эйнштейна). Из (0.1) и (0.2) следует, что угол 1о между ортогонапьными векторами равен 90', поэтому они геометрически изображаются так, как показано на рис.0.5. Важную роль играет система трех взаимно ортогонельных векторов езеэез единичной длины, линии действия которых лежат на трех взаимно перпендикулярных прямых (рис.0.6). Эту систему называют орпзонордсироеаннвьа ~денартоеььи) базисом.
Произвольному вектору а всегда можно поставить в соответствие диагональ прямоугольного параллелепипеда, ребра которого лежат на линиях действия векторов е;, имеющих общее начало с вектором а (рис. 0.7). Поэтому а всегда можно представить в виде суммы векторов базиса е<.
Введение 1э Соотношения (0.3), (0.4) называют разложением вектора но базису, а числа а' — координатами вектора а в базисе е;. Рис. 0.5. Ортогональные векторы Рис. 0.6. декартов базис Если выбрать другой ортонормированный базис е,' с общим началом в точке О, то относительно него можно построить свой параллелепипед с вектором а по диагонали. Тогда а можно представить в виде суммы векторов базиса е';: а=а'е;, (0.5) е, где числа аи являются компонентами вектора в базисе е,', причем, вообще говоря, эн ф 3 Рис. 0.7. Разложение вектора по де- картову базису Из (0.4) и (0.5) следует важное свойство векторов — их инвариант- ность (т.е.
независимость от выбора базиса), в то же время компокенты векторов могут изменяться. Б. Иэображение физических величин векторами Итак, вектор, введенный выше геометрическим способом, имеет три признака: точку начала, длину и направление. Многие величины, описывающие физические объекты, характеризуются теми же признаками и могут быть изображены векторами. При этом длина вектора равна числовому значению физкческой величины, измеренной в определенном масштабе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
