Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В эти же годы Г.Грассманом (1809-1877) была создана теория внешних произведений (само понятие введено в 1844 году), известная в настоящее время как алгебра Грассмана. Англичанин У.Клиффорд (1845-1879) объединил подходы Гамильнона и Грассмана, окончательная же связь кватернионов, алгебры Грассмана и векторной алгебры была установлена только в конце Х1Х века Пж.У.Гиббсом (1839-1903). Само геометрическое изображение вектора как отрезка со стрелкой также устойчиво появилось впервые, по-видимому, у Гамильтона, а в 1853 году французский математик О.Коши (1789-1857) ввел в обращение понятие радиус-вектора и соответствующее ему обозначение г.
В Х?Х веке математики стали активно использовать еще один объект — предшественник тензоров — матрицы. Первое появление матриц связывают с древнекитайскими математиками, которые во П веке до н.э. применяли их для записи систем линейных уравнений. Матричная запись алгебраических уравнений и само современное матричное исчисление было развито английским математиком А.Кэпи (1821- еЭтот краткий исторический очерк ни в коей мере не претендует на полноту изломения всей истории развития тензорного исчисления ц связанкых с ним наук, его целью является лишь знакомство начинаюшего читателя с этапами разработки и именами ученых, усилиями которых было создано современное тензорное исчисление.
Истоки тонко ного исчислении 1895), который, в частности, в 1841 году ввел используемое и сейчас а 6 обозначение для определителя: . Многие основополагающие с результаты в теории систем линейных алгебраических уравнений были получены немецким математиком Л.Кронекером (1823-1894). В течение все того же Х1Х века в разных областях математики появляются "системы с индексами". В алгебре это, например, квадратичные формы, теорию которых разабатывали А.Кэпи, С.Ли (1842- 1899) и другие, в геометрии — квадратичные дифференциальные формы, которые в настоящее время известны как первая и вторая квадратичная форма поверхности и квадрат длины элементарного отрезка.
Основоположником теории поверхностей по праву считают выдалащегося немецкого ученого К.Ф.Гаусса (1777-1855). Многие важнейшие результаты в этой области были установлены Б.Риманом (1826- 1866), который развил теорию поверхностей на случай н измерений, Э.Бельтрами (1835-1900), Ф.Клейном (1849-1925), Г.Лама (1795-1870). Выдающаяся роль принадлежит Э.Б.Кристоффелю (1829-1900), который в 1869 году, рассматривая преобразования квадратичных форм г(эз = 2 ,'„ди„ди„йи„, впервые обнаружил тензорный закон их преобразования, а также ввел понятие производных от векторных величин, которые преобразуются по тензорному закону (сейчас их называют ковариантными производными) . Возникшая еше в ХЧП1 веке усилиями крупнейших математиков и механиков: Л.Эйлера (1707-1783), Ж.-Л.Лагранжа (1736-1813), П.Лапласа (1749-1827), С.Пуассона (1781-1840), О.Коши (1789-1857), М.В.Остроградского (1801-1861) — наука о движении и равновесии упругих тел (теория упругости), стала еще одним источником появления "систем с индексами" - компонент напряжений и деформаций.
Компоненты напряжений обозначали как Хк, Хз, Х„У„У„, У„Я„Яэ, Яг и подразумевали под ними проекции сил, действующих на гранях элементарного кубика, на оси координат. Операции над такими системами с индексами были весьма громоздки, содержали многочисленные повторения с точностью до круговой замены обозначений. Однако только в конце Х1Х века удалось понять внутреннее единство формул, содержащих "системы с индексами", и найти новый математический аппарат, сделавший операции с ними компактными и удобными. Впервые для векторых величин эту задачу удалось решить американскому физику и математику Лж.У.Гиббсу, который создал векторную алгебру с операциями сложения, скалярного и векторного умножения, показав ее связь с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана.
Кроме того Гиббс создал современный векторный анализ - теорию дифференциального исчисления векторных полей и сам "язык" векторного исчисления, в котором используется как компонентная, так и безиндексная форма записи соотношени. В частности, им были даны удобные представления для операций дивергенции и ротора вектор- Истоки тене ного исчислении 9 ных полей. Эти выдающиеся результаты Гиббса можно сравнить с введением алгебраической символики Ф.Виетом (1540-1603), которую используют вот уже 400 лет. Созданные Гиббсом векторная алгебра и анализ также прочно вошли в современную физику и механику, а его лекциям "Элементы векторного анализа в изложении для студентов", выпущенным в 1881-1884 гг. и представляющим, по сути, первый учебних по векторному исчислению, фактически следуют все соответствующие современные курсы.
Гиббс был большим энтузиастом в распространении векторного исчисления в различных областях точных наук, в частности, именно им была дана современная векторнэл запись уравнений электромагнетизма Дж.К.Максвелла (1831-1879), сам же Максвелл использовал метод кватернионов. Хотя не обошлось без критики сторонниками этого метода, векторное исчисление Гиббса было активно воспринято физиками, и с начала ХХ века теория Максвелла практически всеми используется в форме Гиббса. Однако в тех областях науки, где возникают системы с большим числом индексов, чем у векторов (более одного): в геометрии, в теории упругости, в кристаллофизике, — векторное исчисление Гиббса оказалось бессильным, и он сам, например, цри записи уравнений теории упругости в 1889 году использовал все те же обозначения Х„Хз, Х„ У и т.д.
Проблему обобщения векторного исчисления на системы с произвольным числом индексов удалось решить итальянскому математику Дж.Риччи (1853-1925), который в своих работах 1886-1901 гг. создал новый аппарат, названный им абсолютным диффенциэльным исчислением, для алгебраических и дифференциальных операций с "ковариантными и контравариантными системами порядка Л (так Риччи называл компоненты тензоров н„,„,„,„и а"""'"). Самим Риччи с помощью этого аппарата были установлены основополагающие результаты в дифференциальной геометрии и-мерных пространств.
Исчисление, созданное Риччи, оказало настолько сильное влияние на геометрию и физику, что некоторое время оно даже называлось "исчислением Риччи". С некотроыми изменениями оно широко используется и в настоящее время. Применение теории абсолютного дифференцирования для римановых пространств было осуществлено другим выдающимся итальянским математиком Т.Леви-Чивита (1873-1942), коллегой и соавтором Риччи в нескольких основополагающих работах. Им, в частности, было введено правило свертывания индексов, введен символ з'~з, носящий его имя и играющий наряду с символом Кронекера б; важнейшую роль в тензорном исчислении.
Исключительно важную роль сыграло введение Леви-Чивитой понятия параллельного переноса векторов и тензоров в римановых пространствах. Лля зарождавшейся на рубеже Х1Х и ХХ веков теории относитель- 10 Истоки тенер ного исчисления ности аппарат абсолютного дифференциального исчисления оказался весьма удобным и многообещающим, и в то же время дальнейшее развитие этого исчисления происходило совместно с разработкой физических основ этой теории. Так в 1913 году А.Эйнштейн (1879-1955) совместно с М.Гроссманом применяет абсолютное дифференциальное исчисление к теории относительности и теории гравитации, а в 1916 году в замечаниях к своей статье он предлагает "ради простоты" пропускать знак суммы в тех случаях, когда суммирование идет по дважды повторяющимся индексам.
С тех пор зто правило стало широко применяться и в настоящее время называется соглашением Эйнштейна о суммировании. Новое исчиление примерно в тоже время начали применять в теории упругости и кристаллофизике для описания свойств кристаллов. Здесь прежде всего следует назвать немецкого ученого В.Фойгта, который и ввел в 1898 -1903 гг. сам термин "тензор" (от латинского "1епэпэ" - напряженный) именно для описания механических напряжений. Фойгт одним из первых дал матричное представление компонент тензоров второго и четвертого рангов, задающих физические свойства различных типов кристаллов.
Термин "тензор" был активно воспринят не только в теории упругости, но и в геометрии и физике, для обозначения ковариантных и контравариантных систем. Так, начиная с 1913 года, в своих работах Эйнштейн использует этот термин. Дальнейшее развитие тенэорного исчисления в начале ХХ века осуществлялось многими учеными, среди которых назовем уже упоминавшегося Т.Леви-Чивита, голландского математика Я.Схоутена, которые выпустили соответственно в 1927 и в 1924 гг. первые специализированные учебники по тензорному исчислению. Книга Я.Схоутена называлась "Исчисление Риччи" (Пег В1сс1-Ка1кп1).
В ней и в последующих книгах он, в частности, упорядочил правила расстановки индексов у тензоров, а также предложил некоторые геометрические образы тензоров. Тем не менее, как и в случае векторного анализа, не обходилось и без определенной критики появивишегося тензорного исчисления, главным образом сводившейся к тому, что расшифровка тензорных формул требует дополнительных усилий при анализе тех или иных физических соотношений (заметим, что такая критика иногда высказывается и до сих пор). Однако затраты на овладение тензорным аппаратом с лихвой окупаются при дальнейшей работе с ним.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
