Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Учитывая свойство (1.80), единичный тензор всегда можно представить в виде суммы двух базисных тензоров: Рис, 1.19. Графическое изобреиение единичного теизоре, Е = Т(гг) + Т(гг), (1.83) а скалярное умножение Е на всякий вектор с, согласно' (1.67) и (1.68), дает снова вектор с: Е ° с = [егегегег] ° с = ег(ег ° с) + ег(с ° ег) = сгег + сгег — — с, (1.84) с Е = (с ег)ег + (с ег)ег = с, как и должно быть для единичного тензора.
1.9.12. Скалярное умножение тензоров ОПРЕЛЕЛЕНИЕ 1.12. Скалярное умножение тензора Т на тензор В слева представляет собой тензор 9, индивидуальные векторы котороео образованы суммой индивидуальных векторов тензора В, умноженных предварительно на скалярное произведение векторов тензора Т с базисными егз Б = Т ° В = [егаегЬ] ° [егсегд] = [ега'егЪ'], (1.85) Глава 1. Тензо над ангес а От Ов сг ь', Рис. 1.80. Грвфнчеекое нзобрвженне екаларного произведению тендеров где а' = (а ° ег)с+ (а ° ег)д, Ь' = (Ъ ° ег)с+ (Ь ° ег)й. Это определение и формула (1.85) дают способ графического изображения скалярного произведения тензоров, его пример приведен на рис. 1.20.
Компоненты векторов а' и Ь' связаны с компонентами векторов а, Ь и с, д соотношениями: Яы — — аг = азсг+ агдг> Ягг — — а~г — — агсг + агНг, (1.88) Ягг = 6', = 6зсг + 6гды Ягг = 6г = 6гсг+ 6гдг. Если в качестве тензора В (или Т) выбрать единичный тензор, то получим, согласно (1.82) и (1.85), тензор Т (или В): Т ° Е = [езаегЬ) [егегегег) = = [ег(агег+ агег)ег(6гез+ 6гег)[ = [егаегЬ) = Т, (1.87) как и должно быть. .Пвойное скалярноепроизведение обозначают двумя точками. 1.3.10.
Траиспонированный тензор Рассмотрим теперь некоторые важные типы тензоров. Опрвднлвнив 1.13. Двойным скалярным произведением пзензоров Т и В называюпз число зо, вычисляемое следующим образом: ~р = Т ° В = [егаегЪ) ° [едсег<Ц = а ° с+ Ь ° д. (1.88) пз. Геомет ическое оп екенение тензо а От тт аг е, а, Рис. 1.Ж. Графическое изображение транспо- нированного тензорв второго ранга Опрвдвлвнив 1.14. Транспонироеанным к Т называют тснзор Т', который имеет в каком-либо базисе еег "перевернутые" компонензпы: тЬ = Т [1. 89) Транспонированный тензор обозначают как Т = Т . т Лля графического изображения транспонированного тензора Т' следует взять значение аг = Тгг с его знаком и отложить по оси еы— получим компоненту сг — — Тгг. Затем следует взять значение Тм = ег с его знаком и отложить по оси ег — получим компоненту Т,г —— нуг. Палее строятся векторы с и Й с компонентами: сг=бг, Из=ам дг=бг, [1.90) сг = аы которые и являются индивидуальными векторами транспонированного тензора Т~: Тт = Т' = [егсегс1).
(1.91) Пример построения транспонированного тензора Т' показан на рис. 1.21. 1.3.11. Симметричный теизор Опрвдвлвнив 1.15. Симметричным называют такой тензор, транспонироеанный к которому соепадаегп с исходным: Т' = Тт = Т. (1.92) Для того чтобы при графическом изображении Т' выполнялось это свойство, необходимо у исходного тензора потребовать равенство компонент: Т =Т [1.93) Глава 1.
Тензо нвк алгеб в Ь;-Т,=Т,у а Рие. 1.82. Графическое нзобраменне енм- метрнчного тензора второго ранга т.е. чтобы проекция вектора а на вектор ег по абсолютной величине и знаку совпадала с проекцией вектора Ь на е11. аг = Ь1. (1.94) Пример такого симметричного тензора изображен на рис. 1.22. 1.3.12, Обратный тензор Ош нднлвнии 1.16. Тскзор В называют обраткылз к Т, если его скалярное произведение на Т дасгп сдикичкыб тензор. Такой тскзор В обозкачаюгп как Т Т Т =Е. (1.95) Если в формуле (1.85) тензор Б является единичным, то тензор В представляет собой тензор, обратный к Т.
Найдем его индивидуальные векторы с и й. Из (1.85) имеем: Т ° Т = [егаегЬ! ° [егсегсЦ = [егегегег] = Е, (1.96) или (а ° е1)с+ (а ° ег)г1 = е1, (Ь ° ег)с+ (Ь ° ег)11 = ег. (1.97) Переходя к компонентам, получаем систему четырех уравнений для нахождения с1, с2 и а1, дг'. агсг (1.98) а1с2 Ьгсг Ьгсг +агаг= 1, + агаг = О, +Ьгдг=О, ' +Ьгдг =1 1.3. Геонет ичеекое оп екеиеиие заико в Рис. 1.38. Графическое изобрвмеиие обратного теизора решая которую, находим сг — — 6г/сз, сг —— — аг/зз, дг = — 61/11, 11г = аг/1а, зг = а16г — аг61.
(1.99) Формулы (1.96), (1.97) позволяют графически изобразить тензор Т 1. Лля построения его индивидуальных векторов с н е1 необходимо их компоненты выбрать по (1.99), пример такого графического изображения приведен на рис. 1.23. 1.3.13. Ортогональный тензор Опридилвнив 1.17. Ортогональным называют тснзор Т, обратный к козпорому тснзор Т 1 совпадает с зпранспонированным Т Пусть Т имеет вид: Т = [егсег11], (1.100) где компоненты сг, сг и 111, ззг вычисляем по (1.99).
Но если он сов- падает с транспонированным, то зти же компоненты должны удовле- творять уравнениям (1.90), т.е. должны выполняться соотношения: < аг —— Ьг/з)з~ аг = — 61/ез Ьг — — — аг/Ь, 6г = аг/зев ' (1.101) относительно компонент аг, аг и Ьм Ьг. Решение атой системы имеет следующий вид: 61 Ьг — 81п у~ сов ф (1.102) Глава д. Темзе лвв влгеб в 48 / / ( е, / / Рис. 1.2б. Трехмерным телзор в графическом изображении Рис. 1. 2~. Грвфлческое взобрвжелле ортоголвльлого телзорв где до — произвольное число.
Таким образом, если тензор Т вЂ” ортогонвльный, то его индивидуальные векторы а и Ь имеют компоненты (1.102), т.е. длина этих векторов — единичная: [а[ = [Ь[ = 1, и они взаимно ортогонгльны: а Ь = адЬд + агЬг = О. (1.103) Эти свойства позволяют дать графическое изображение ортогонального тензора Т: все его четыре вектора ед, а, ег и Ь лежат на единичном круге и являются попарно ортогонвльными: ед .1 ег, а 1 Ь (рис.1.24). 1.3.14. Геометрическое определение тензора в трехмерном пространстве Вернемся теперь х трехмерному пространству.
Оприднлннии 1.18. Тснэором второго ранга Т в трехмерном евклидовом простпранствс назовем объект: Т = [едадезазезаз), (1.104) пргдставлвклций собой упорядоченную совокупность шести векторов, иэ когпорых три ед, ез и ез — фиксированы, а три другие: ад, аз и аз — индивидуальны для каждого тпрсхмсрного тснэора. Графическое изображение тахого тензора Т показано на рис. 1.25, где фиксированные векторы изображены жирными стрелками, а индивидуальные — простыми. С объектами вида (1.107), очевидно, можно ввести такие же операции, как с двумерными тензорами: сложение двух тензоров и умножение тензора на число Т+ В = [едадегагезаз] + [едЬдезЬгезЬз) = = [ед(ад + Ьд)ез(аз + Ьг)ез(аз + Ьз)) (1.105) д.г.
Геомет ическое он еиеиение тенко а гдТ = у[едадегагезаз] = [ед(~рад)ег(айаг)ез(доаз)] скалярное умножение тензора Т на вектор аналогично (1.67) и (1.68): з Т ° с = [едадегагезаз] ° с = г еа(аа ° с), а=д з с ° Т = с ° [едадегагезаз] = ~ (с еа)аа, (1.106) а=д скалярное умножение тензоров Т и В аналогично (1.85): Т В = [едадегагезаз] [едЪдегЪгезЬз] = [едсдегсгезсз], (1.107) где с = ~~~ (а ° еэ)Ьэ, (1.108) а также двойное сиакяриое прозведснис тензоров: з сд = Т В = [едадегагезаз] [едЬдегЬгезЬз] = ~ (а еэИЬэ еа). а,д=д (1.109) Компоненты тензора Т в базисе ед по аналогии с (1.70) вводим следующим образом: Т;,=ед ° Т е, (1.110) тогда из (1.104) и (1.110) получаем (1.11Ц ТЗ =а; еу.
Единичный тснзор в трехмерном пространстве по аналогии с (1.82) вводим следующим образом: (1.112) Е = [едедегегезез]. 1.3.15. Линды По аналогии с (1.78) можно определить базисные тензоры Т<01 и в трехмерном пространстве. Введем для них специальные обозначения: ед Э еу = Т(дП = [едеуегбезО], (1.113) ег Э е1 = ТдгП = [едбегеуезО], ез Э е1 = ТрП = [едОегбезе1]. Знак Э называют знаком иденэорнозо произведения. Глава 1. тенер нел елтеб и 50 Опгвдвлвнив 1.19. вводным базисом называют набор базисные тснзоров, записанный в виде (1.118), а каждый тпснзор е, Эет в отпдсльностпи называют базисной диадой. ОпгедЕпение 1.20. Операцию, которая сопоставляет всктпорному базису е; диадный базис е; Э е, определенный по формулам (1.11э), называют тпснэорным произведением базисных векторов.
Поскольку базисные диады являются тензорами, но только специального вида, их можно складывать и умножать на число, однако при этом будет получаться, вообще говоря, уже не новел диада, а какой-то новый тензор, например: ег Э ег+ ег Э ег = Т = [етегегегезО] ~р(ег Э ед) = Т'т = [е10ег(1теу)езО]. Рассмотрим теперь операции скалярного умножения диад. Твогвма 1.8. Порядок выполнения операций тснзорного и скалярного произведений векторов базиса можно менять мсстламит (1.114) (е; Э ей) ° еь = е; Э (еу ° еь) = бдьеы еь ° (е, Э е ) = (еь е;) Э ед = быеэ. т В самом деле, из определения (1.113) и формулы (1.67), обобщенной на трехмерный случай, следует, например, для г = 1: (ег Э ет) ° еь = [егеуегОезО] ° еь = = ег(ед ° еь) + ег(0 ° еь) + ез(0 ° еь) = егбуь, (1.115) и аналогично из (1.68) получаем: е; ° (ег Э е ) = е; ° [егедегОезО] = = (ег ° ег)ед + (е; ° ег)0+'(е; ° ез)0 = бме . (1.116) Для г = 2 и г = 3 дохазательство аналогично, А ТеОРВМА 1.9. Скалярное и двойное скалярное произведения двух диадныя базисов вычисляются следующим образом: (е; Э е ) (еь Э е~) = б ье; Э еп (1.117) (е; Э еу) ° (еь Э е~) = б ьба.
(1.118) т Пля доказательства первого соотношения используем определение (1.85), обобщенное на трехмерный случай, например, для г = 1, й = 2: (ег Э ед) ° (ег Э ет) = [етедегОезО] ° [е10егетезО] = = [ега'тегОезО] = бг ег 9 ен (1.119) 1.3. Геомет ичеокое ои еиенение тензо о где аз — — (еу ° е1)0+ (еу ° ез)е1 + (еу ез)0 = бг еь Для остальных 1 и й доказательство аналогично. Соотношение (1.113) доказываем, используя определение (1.109) двойного скалярного произведения тензоров, например, для 1 = 1, к=1: (е1 Э еу) ° .(е1 Э е1) = [езеуезОезО] [езе1езОезО] = (еу ° е1)(е1 ° е1)+ + (еу ° ез)(0 ° ез) + (еу ° ез)(0 ° е1) = бзубп, (1.120) и аналогично для остальных 1' и Й.
А ТЕОРЕМА 1.10. Всвкиб тензор Т второго ранга можно представить разложением по диадному базису: Т = Оку е1 З е, (1.121) где Т11 совпадают с ТО. Учитывая, что базисные диады е; 8 е суть базисные тензоры (1.113), доказательство этой теоремы аналогично приведенному для теоремы 1.7. А Разложение (1.121) поясняет смысл введения диадного базиса: сравнивая (1.121) и (0.4), нетрудно заметить, что диадный базис — это обобщение понятия векторного базиса на случай тензоров второго ранга. Пусть теперь имеется два вектора а = а'е; и Ь = оце1. Опннднлннив 1.21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
