Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таковы например: радиус-вектор, описывающий положение материальной частицы вещества относительно некоторой выделенной геометрической точки; скорость движения этой частицы; сила, действующая на нее, момент силы и многие другие. Говорят, Введение 1б что множество всех векторов, изображающих какую-либо физическую величину, образует векторное проскзракскзво, если в этом множестве разрешены операции сложения и умножения на число.
Если разрешена также и операция скалярного произведения, то такое множество образует евклидово проскзракскзво (более строгие определения будут даны далее). В. Три категории векторов Векторы, изображающие физические величины, можно разделить на три категории: свободные, скользящие и закрепленные. Если векторная физическая величина не меняется при переходе из одной точки пространства в другую, то она описывается свободным векшором.
Свободные векторы можно складывать и умножать, даже если они не имеют общего начала. Для этого надо предварительно, не меняя длин и направлений этих векторов, совместить их точки начала. Свободными являются, например, векторы е; декартова базиса: за точку их начала можно выбрать произвольную точку О. С помощью скользяп1ит векторов изображают векторные физические величины, не изменяющиеся при переходе в любую точку прямой, совпадающей с направлением физической величины.
Для осуществления операций сложении и умножения скользящие векторы можно переносить параллельным переносом только вдоль линии их действия. Скользящим является, например, вектор силы, действующей на материальную точку. Закрепленные векторы изображают векторные физические величины, определенные только в данной конкретной точке пространства. Такими являются, например, вектор скорости движущейся материальной точки, момент силы, радиус-вектор х, описывающий положение материальной точки относительно некоторой геометрической точки О и др. В дальнейшем мы будем рассматривать в основном свободные векторы.
ГЛАВА 1 ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА 3 1.1. Локальные векторы базиса. Яхобиевы и метрические матрицы 1.1.1. Координаты н локальные векторы базиса Введем в трехмерном пространстве прямоугольную декартову систему координат х', з = 1, 2, 3 с началом в точке О, тогда каждой точке пространства М будет взаимнооднозначно соответствовать радиусвекизор х с началом в точке О и концом в точке М (рис.1.1). Выберем такой ортонормированный базис е;, у которого линии действия векторов совпадают с осями Ох', а начало — с точкой О декартовой системы координат.
Такой базис будем называть деквризовмм. Согласно соотношению (0.4), радиус-вектор х всегда можно разложить по базису е;: !— х=хе,, (1.1) где х' — координаты точки М в декартовой системе координат. Трехмерное пространство, в котором существует единая для всех точек прямоугольная декартова система координат, называют трехмерным евквидовмм. Введем криволинейные координаты Х', которые связаны с х' функциями вида: х' = х'(Х').
(1.2) Тогда радиус-вектор точки М может быть представлен как функция координат Хз: х = х(Х1). (1.3) Будем далее предполагать, что функции (1.2) непрерывно дифференцируемы и взаимнооднозначны, тогда нх можно обратить: (1.4) ХУ = ХУ(х;). Ввиду дифференцируемости функций (1.3) можно ввести производные: Вд = дх/дХз, (1.5) Гдова 1. темзе нак ангес а 1б Рис. 1.1. Положение точки пространства М в декартовой системе координат Рис. 1.2. Локвпьные векторы базиса в криволинейной системе коор- динат которые снова образуют векторы, называемые донадьнымп еенпзоражи базиса (ркс.1.2). Этн векторы В. направлены по касательным к координатным линиям Х = сопз1 в точке М с координатой (1.3).
В отличие от е;, векторы базиса К; меняются прн переходе от одной точки М к другой М'. Заметим, что хотя формально е; н В, определялнсь в разных точках, нх можно привести к одной точке, так как векторы е; являются свободными. 1.1.2. Якобиевы матрицы Можно связать векторы базисов К; н е;. Из (1.5) н (1.1) находим выражение: дх дяу В, = —. = —.е1 —— ф.е1, дХ' дХ1 (1.6) где введен объект с двумя индексами 1;Р; = дя1/дХ'. (1.7) Такие объекты всегда можно записать в виде мапзрипы, т.е. упорядоченной таблицы 3 х 3: 6)'1 9' Ю'з 6з1 У цз 6зг ~з ~з дз (1.7') 1.1.
Локальные еекто ы беексе 1О Матрицу (1.7) называют матрицей преобразования или якобиевоб матрицеб. Заметим, что порядок расположения элементов в матрице существенен: далее везде первый индекс у еВ-'1 будем полагать меняющимся при переходе от одной строки к другой, а второй — от одного столбца к другому. Опгвдвлвннв 1.1. О и р е д е л и т е л е м (детерминантам) матрицы фг (1.7') называют число Ие1 (Чг;) = Ч11чгг»7зз 91Агз1)з 1~г Ягз4)з 1ез зЮ гЯ 1+ Ю г9 зЯ 1+ Ю А Ф з (1.8) В силу взаимной однозначности функций (1.4), в любой точке Х' детерминант якобиевой матрицы всегда отличен от нуля: с1еь фгг) = йе» вЂ”,.
ф О. (1.8') Р',Цг» =Ф,Р1» окбг„ (1.9) где б'» - смешанный символ Кроне кера: О , гай, б1» ок 1, г=й. (1.10) Обратную матрицу будем тахже ино да обозначать как Р', = (»вз-) = (Я )' . »(ля всякой невырожденной матрицы всегда существует обратная. Введем также ковариантный символ Кронекера б»; и контравариантный символ Кронекера б»', значения которых совпадают с Ф». О, гфй, бы = 1, г=й. (1.10') Для якобиевой матрицы ф (1.7) обратная якобиева матрица имеет вид: дХ' Р' дкг Такие матрицы называют невыроясденными.
Опгвдвпвнив 1.2. Обратной кф называют такуюматрицу Р', которая удовлетворяет соотношениямг елввв 1 тень нее енгеб в 20 где Х' являются функциями (1.4). С помощью Р' можно выразить векторы декартова базиса е» через В;. Домножая (1.6) на Р'„, получаем е» = Р'»В.;. (1.12) 1.1.3. Метрические матрицы В силу ортонормированности векторов е;, их скалярное произведение можно записать с помощью символов Кронекера: е» ° е.
=6», (1.13) Тогда скалярное произведение векторов В, с помощью уравнений (1.6) и (1.13) можно представить в виде: В; Ву =Ц~;1т е» ° ет =Ц~;ф 6»1 =дб. (1.14) де» (дб) = Уыузгузз — Уыузз — Угзу»з — Уззутз + 2У»зу»зузз. (1 16) 3 3 3 В силу (1.8') всегда д ф О, поэтому для дб всегда существует обратная метприческав матрица д»т: д"'уб =6,' утт =(дл Г'. (1.17) Непосредственной подстановкой выражения дб = фт 4)т 6»т в (1.17) можно убедиться в том, что обратная метрическая матрица дб выражается через обратную матрицу Якоби: уб Рт Ру 6ы » ( (1.18) 1.1.4.
Векторы взаимного базиса С помощью дб определяем векторы локавьного взаимного базиса В'. В' = д'"В». (1.19) Опгидилинии 1.3. Матрица дб, введенная по формуле (1.Ц), называетпсх метпричес кой или дтундаментальной. Определитель метпрической матрицы обозначим следующим образом: д = де» (дб) = (де» (О»1 )) (1.15) Метрическая матрица, очевидно, является симметричной по индексам т,у; ее определитель можно записать через компоненты явным образом (согласно (1.8)): 1.1.
Локальные некто ы базиса Очевидно, что верны обратные соотношения: й, = Е1 11з = дыдн11ь = длН'. й (1.19') 1.1.5. Правила расстановки индексов ев 61., дц, К;, верхними: бь1, д'1, Н , смешанными: Ч "1, Р', о1 . Число индексов, как будет показано в дальнейшем, может быть, в принципе, любым. У объектов со смешанными индексами иногда используют обозначение Яьз или ф, чтобы подчеркнуть, что й - первый индекс, а з - второй (или наоборот - фз',). Если порядок индексов не имеет значения, то применяется также запись индексов "один над другим", например, 6~. Б. Складывать, вычитать и приравнивать (т.е.
подвергать действию операций со знаками " + ", " —" и " = ") можно только объекты с одинаковыми индексами, т.е. должны совпадаты число, обозначение и расположение (верхний-нижний) индексов у объектов. Порядок же расположения индексов может быть различным. Например, правильными записями являются: й'1 = р~ч+ г1з, неправильными С', — СР1, йу = рчь+ гу. а;+Ьз, В первом случае нарушено обозначение индексов, во втором — расположение, в третьем — число и расположение. В.
Во всех других операциях могут участвовать объекты с неодинаковыми индексами, например, в скалярном произведении (1.14) у К; и Ку обозначения индексов разные, и их число у каждою объекта В тензорном исчислении существуют правила расстановки индексов у различных объектов, некоторые из них уже использовались выше. А. Объекты могут иметь верхние (контравариантные), нижние (ковариантные) и смешанные индексы. Например, из уже введенных объектов нижними индексами обладают: Глава 1, тенер нав алгеб а 22 не совпадает с числом индексов у д; .
Однако объекты (К; ° К ) и д11 уже связаны операцией " = ", поэтому индексы их должны быть согласованы с правилом Б. В дальнейшем будут введены и другие операции. Г. В операциях умножения, как обычного числового, так и скалярного (а также векторного и тензорного, которые будут введены ниже), повторяющиеся индексы должны располагаться следующим образом: один вверху — другой внизу, например: з г- зх е1 = ~ я е; = с ег+ в ег+ я ез, 1=1 з а1ЬВ = ~~~ а'ЬЦ, 1н1 причем считается, что по этим повторяющимся индексам идет суммирование от 1 до 3 (в трехмерном пространстве).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
