Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 14
Текст из файла (страница 14)
псевдовектором); ° смешанное произведение трех истинных векторов а (Ь х с) является псевдотензором нулевого ранга (т.е. псевдоскаляром); ° тенэор Леви-Чивиты е с компонентами /де; ь является псевдотензором третьего ранга. Обратные соотношения для компонент относительных тенэоров, очевидно, имеют вид: йу!- 3 у +!-у ~Л~- рз', ...Рзт д'-.+' ...ц'-. йн'-'" . (1.296) Ф! ! 3 +! ! ! .!.!...! Если мы рассматриваем только непрерывные преобразования координат (1.2), то П > О, зе = 1, и псевдотензоры преобразуются как истинные тензоры, а относительные псевдотензоры веса и! как относительные тензоры веса и!.
Это обстоятельство фактически всюду использовалось выше при операциях с векторными, смешанными произведениями и тензорами Леви-Чивиты. В заключении этой главы приведем еще один показательный пример. В п.1.9.4 было показано, что объект е, у которого компоненты в любом базисе имеют вид /де!Уь является псевдотензором. Если же мы введем объект е, компоненты котоРого опРеделим Равными еив в любом базисе, то согласно (1.286) такой объект является относительным псевдотензором веса и! = 1. Наконец, если ввести объект е, компоненты которого определить в любом базисе равными !ь!еуь, где ~ = дед (Я'.), а !е' матрица преобразования из фиксированного базиса В.' в произвольный, то согласно той же формуле (1.286) объект е будет истинным тензором. Гнева 1.
Тенер наю аигеб а Упражнения н 2 1.9. Упражнение 1.9.1. Показать, что двойное векторное произведение трек истинных векторов Ь = (а х Ъ) х е ювпюетсв истинным вектором, использую при доказвтевьстве представление: мй Ь = г) х с= — 81154с)Як = Ь~Кй, г) = ах Ъ вЂ” / '11 — 3 а = а;В1 = зс)Ь(~а;В.', Т = ТПМ ® Ж = зг)/),~ Т!.1~8 8 Кп, 11 Я) = дХз /дХ'' зг = Ь/)Ь) где Ь = бе1 Я'1), ипи в виде: и формулы (1.285) н (1.289). Упражнение 1.9.2. Показать, что дню произвольного относительного вектора а и относительного тензора Т формулы представлению в разпичных базисах следует записывать в виде (ср.
с унр. 1.1.8): ГЛАВА 2 ТЕНЗОРЫ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В первой главе был дан геометрический способ введения те=зара, основанный на аксиомах элементарной геометрии. Рассмотрим теперь несколько иной, "формальный", способ введения тензоров, используя теоретико-множественное понятие линейных пространств.
Оба подхода для трехмерных евклидовых пространств совершенно эквивэлентны, в то же время геометрический способ, по-видимому, более нагляден при первом знакомстве с тензорами, а "формвльлый" является более общим, применимым даже в случаях, когда не определены понятия скалярного произведения и длины векторов. з 2.1. Линейное и-мерное пространство 2.1.1. Определение линейного (векторного) пространства Опгвдвпвнив 2.1. Линейным (или его ете называют в екторным или аффинным) пространств ом ь' называют некоторое множество, элементы которого объявляются как векторы и обозначаются также, как и обычные трехмерные векторы — малыми жирными буквами а, Ь, с и т.и., и на котором заданы две операции: сложения и умножения на число.
А) Операция слоясения однозначно каждой паре векторов а, Ь из ь" ставит в соответствие элемент а+ Ь, также принадлежащий ь' и называемый суммой векторов. В) Операция умножения на число в каждому элементу а из ь" ставит в соответствие элемент ва б ь', который называется ироизведением вектора на число. Если в принадлежит множеству комплексных чисел, то Е называется комплексным линейным пространством, если в принадлежит множеству действительных чисел, то ь" — действительное линейное пространство.
Введенные операции сложения и умножения для любых векторов а, Ь, с из ь должны удовлетворять следующим аксиомам; а+Ъ=Ь+а. (а+ Ь) + с = а+ (Ь+ с). в'. Существует нулевой элемент О Е,С, такой, что для каждого а б ь".: а+О = а. Глава 2. Тенво ы на линейных и ест анствах 4'. Существует противоположный элемент (-а) Е Е для каждого а б Е, такой, что а+( — а) =О. 5'. в(а+Ь) = за+ зЬ. б . (зь+ зз)а = зьа+ зза, где зь и зз — числа.
7 . зь(зза) = (зьзз)а. 8'. Произведение любого элемента а Е,С на число 1 равно а, т.е. 1 ° а = а. Разностью двух векторов а и Ь называют сумму векторов а и ( — Ь), и обозначают ее а — Ь. Из этих аксиом следует, что с векторами в п-мерном пространстве производятся те же действия и по тем же правилам, что и с обычными векторами трехмерного пространства. Однако понятие "вектора" в линейном пространстве С шире, чем обычного трехмерною вектора, как геометрического объекта.
Например, множество всех полиномов от одной переменной, степень которых не выше заданного числа и, будет формально удовлетворять всем аксиомам 1'...8' и образует линейное пространство, если в качестве "векторов" (т.е. элементов пространства Е) принять сами полиномы (см.упр. 2.1.3). Несложно проверить, что множество всех тензоров "й заданного ранга и в трехмерном евклидовом пространстве также удовлетворяет всем аксиомам 1с... 8е и, следовательно, образует линейное пространство, "векторами" (т.е.
элементами) которого являются тензоры ей. Лругие примеры линейных пространств будут даны ниже, а пока рассмотрим некоторые их общие свойства. 2.1.2. Линейная зависимость Опгвдвлвнив 2.2. Линейкой комбинацией веккьоров аь ...аа линейного пространства ь с коэйьь)ьиььиентами зь...з" казываеьпся сумма вида: зьа; = з аз+... + з"а„, которая, очевидно, также образует элельент из Е.
Линейная комбинация — тривиальная, если все зь равны нулю. Система векторов аь... а„из Ю называется ликейно зависимой, если существует равная нулю нетривиальнвл линейная комбинация этих векторов, т.е. (2.1) з'а; = зьаь +... + з"ав — — О, где среди зь существует хотя бы один ненулевой коэффициент. З.ь. Линейное п-ме кое и оет анетао Если же любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов аь...аа б С не равна нулю, то такая система векторов называется линейно независильой. Некоторые из свойств линейно зависимых векторов приведены в упр.2 1.3 — 2 1 5.
2.1.3. Базис в линейном пространстве Опгвдвлвнив 2.3. Базисом в линейном простпранствс Б называют упорядоченную конечную систему векторов еь...е„, копьорвз ° является линейно независимой; ° каждььй элемент а б С есть линейная комбинация этой системы: (2.2) а=аье;, ь=1...п. Коэффициенты аь линейной комбинации называются кольпонентами вектора а в базисе еь. Упорядоченность означает, что каждый вектор в базисе имеет определенный номер. Изменяя нумерацию векторов е;, получаем различные базисы.
Часто, когда базис е; в пространстве Б фиксирован, то вместо векторов а, Ь из Б используют координатные столбцы векторов в этом базисе: (2.3) Иногда применяют также запись в виде координатной строки, тогда рядом с а ставят значок транспонирования Т: а = (а ...а"). (2.4) Очевидно, что компоненты суммы (или разности) векторов равны сумме (или разности) компонент этих векторов: а+ Ь = (аь + бь)е;. (2.5) То же самое утверждение справедливо для координатных столбцов векторов, поэтому хоординатные столбцы можно складывать, вычитать и составлять из них линейные комбинации. Твогвма 2.1.
Векгпоры аь... аоь — линейно зависимы тоеда и только тоеда, ковда линейно зависимы ия координапьные спьолбцы. е В самом деле, если аь... а — зависимы, то для них существует нетРивиальная линейная комбинация, равная нулю, которая с помощью определения (2.3) может быть переписана для коордиантнх столбцов, откуда следует их линейная зависимость.
В обратную сторону доказательство аналогично. А Из этой теоремы, очевидно, следует, что векторы аь...а линей"о независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы. Гав«в 3. '1'енао ы на линейных н ест анстаах 90 Тногнма 2.2. Любые тп координаитных столбцов а1... а длиной п ( тп — линейно зависимы. у Будем далее полагать, что среди аз...а нет нулевых координатных столбцов, так как в противном случае, согласно упр.2.1.4, столбцы были бы линейно зависимы и теорема 5ыла бы доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
