Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(2.25) Опгндндинин 2.10. Скалярное умножение квадратной матрицы А п-го порядка на координатную строку Ьт = (51...5и) слева и на координатпный сп1олбеи а = (а1... ав)т справа образуеп1 биликейную форму (скаляр)1 ~р(Ь,а) = Ь* ° А ° а, (2.26) (2.27) ~о = т Азза'Ь', или а1 (51 5в) ° . ° .
(2 26) Если матрица А — симметричная, то билинейная форма также симметрична: ~о(Ь, а) = 9о(а, Ь) (верно и обратное утверждение). Произведение матриц А и В можно записать и "=(:.::)(:.:: =(:'::..":::) =(:. Иначе ее можно записать следующим образом: таким образом: )= С1„ ~ ~ ~ 1 и в т = С, (2.22) С" Глава 2. Тенер ы на линейных л оет листвах 100 ОпгндЕЛЕНИЕ 2.11. Квадратичной формой называется выражение вида (2.26) — (2.2В) при а = Ь, т.е. ь)ь(а) = а ° А ° а. Матрица А п-го порядка называется положительно определеккай, если ее квадратичная форма всегда положительна: п ь)ь(а) = аз ° А ° а= ~ А; аьад > 0 ь,1=1 (2.29) для любого ненулевого вектора а из рассматриваемого пространства С„.
2.2.3. Детерминант и обратная матрица Детерэьикакт (определитель) матрицы А и-го порядка введем рекуррентным способом: детерминантам матрицы первого порядка, состоящим из одного числа Аь, назовем само это число; детерминантам матрицы и-го порядка и > 1 назовем число (2.30) а=1 де1 А ~~, ( ц)ьь..'ь„)А1 Аз Аа (2.31) (!,...лд где сумма определяется по всем подстановкам (11...1„) из и чисел (1...и). Число ьь) = (11... ь'„~ называется экакоаь переспьаковли и равно общему числу элементарных перестановок (при которых меняются местами два соседних числа), приводящих подстановку 11... ь„к тождественной (1...
и). где М~ — детерминант матрицы размерности (и — 1), получаемой из А вычеркиванием первой строки и второго столбца (а = 1...и). Вообще, такой детерминант М' матрицы, полученной из А вычеркиванием ь-ой строки и у-го столбца называется эьикороэь элемента А' . Нетрудно убедиться, что введенный ранее детерминант трехмерной матрицы (1.8) полностью удовлетворяет определению (2.30). Формула (2.30) называется разложением детерминанта по первой строке, вообще же детерминант может быть представлен разложением по ь-ой строке или по у'-ому столбцу (см. упр. 2.2.1). Детерминант может быть непосредственно выражен через элементы матрицы (см.
упр. 2.2.2): 2.2. Мат ппып-го пь и кп 101 Если детерминант матрицы А отличен от нуля: дед А ~ О, то можно определить обратную матрицу А 1, наторел при умножении на А дает единичную матрицу: А ° А =А ° А=Е„. (2.32) Если рассматривать матрицу А и-го порядка как совокупность координатных столбцов или координатных строк, то можно сформулировать следующую теорему. Творима 2.10. Система координатных столбцов или строк матрицы А линейно независима тогда и только тогда, когда дез А ф О. Доказательство можно найти, например, в [4). Для матрицы А размером т х и самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры, называют рангом матрицы и обозначают ганя А.
Имеет место следующая теорема, доказательство которой приводится в курсе линейной алгебры, например, в [4]. Творима 2.10я. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк или столбцов этой матрицы. 2.2.4. Блочные матрицы Любую матрицу А размером т х п можно разбить на матрицы меньшего размера (блоки) с помощью горизонтальных и вертикальных "перегородок", идущих вдоль всей матрицы. Например, для матрицы 3 х 3: где А;у — элементы матрицы (д, у = 1, 2, 3), а А„д (и, 2 = 1, 2) — это уже блоки-матрицы меньшего размера: Аы = (Аы) Адз = (Аш, Адз), А 22 Азз А =( ), (2.34) Адд А= Азд Азд Адз Адз А22 Азз = - - (2 33) .4зз Азз Главе 2. Ъенро ы нв линейных и оет внотвех 102 Вообще же разбиение произвольной матрицы А на блоки А11, (н = 1...р) можно записать следующим образом: А1 А11 Аэз Ард (2.35) где Аы=: ',:, А11= Аы ° А1 ц, Азп,, +1 ° А1 1 Аы,1 ° ° ° Аы,п, Ап „,+1,п,,+1 " А»„,+1,п, Апр = А„,„п,,+1 ...
А„,„п, Арз Атр,+11 ... Атр,+1,п, 3 Аы1 Арпп, ~ т ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ (~ ~ рпр-1+1,пр-1+1 ' ' " прр-1+1,п А, ... А Аэз = Аппп,,+1 ... Арап (2.36') Блочная форма матрицы задается двумя эрасснеами перегородон: (раз...пз„з~р), (пз...пз 1(д), (2.36) где п11... тэ 1 — индексы элементов матрицы Ац, соответствующие гоРизонтальным "пеРегоРодкам", а п1... пз 1 — веРтикальные пеРегородки блоков, р и о — число блоков в столбце и в строке. Лпя рассмотренного выше примера матрицы 3 х 3 имеем: (Ц2) и (Ц2). Наиболее эффективно введение блочной формы для матрицы, когда отдельные ее блоки имеют существенно различные элементы. Таковы, например, блоки из нулевых элементов, ипи блоки в виде единичных матриц. г.г. М виы . л гоз Твогемл 2.11.
Операции сложения и умножения с блочными матрицами формально совериьаютсн по тем же правилам, что и действии с обычными матрицами. и А) Сумма двух матриц А и В размером т х и одинаковой блочной формы, т.е. с одинаковыми массивами перегородок: является матрица С размером т х п с той же блочной формой: Ам+Вы С=А+В= Ар| + Вр1 Б) Произведением двух блочных матриц А и В с размерами т х и и и х й соответственно: Аы Аг Агг Агв В В, (2.39) Вез блочная форма которых имеет массивы перегородок: А: (тз...т„т„г(р) (п1...п,пв г(д), (2.40) В: (пг...пвцв 1(д) (йз...й„л, з(в), (т е.
число столбцов в каждом блоке А„в равняется числу строк в блоке Вм, а также совпадают число в блоков в строке матрицы А А= Авг ... 4гв ), в= А1 +Вз (2.38) Агв + Вгд Глава 2. тенер ы на линейных л ест анствах 104 н число блоков г = 4 в столбце матрицы В), является матрица С размером тл х /с: Сы (2.41) с массивом перегородок (тз...тагор з~р) (йз...й„й, з(з), (2.42) причем каждый блок С„„(и = 1...р, е = 1...а) вычисляется по формуле: ч Сае = ~~~ Ааф Все (2.43) е=з (Умножение блоков происходит по обычному правилу умножения матриц). Доказательство утверждения А) очевидно, так как матрицы А и В складываются поэлементно независимо от той или иной блочной формы. Зля доказательства утверждения Б) достаточно расписать выражение для элемента матрицы Сно выделив из него суммы элементов, принадлележагцих блокам: С,ь = ~> А; Взя =(АзВы+ ° +АноВ,ь)+ ° ° + 1=4 + (А~п,,+зВ»,,44 э+" + А~»В»ь) = = ~ (А~»,,44В»,,44 э+ "+А~»,В»,э).
(2.44) еаз Если элементы Сеь соответствуют блоку С„„(т.е. 1 = пз з + 1...пз„, й = и„, + 1...п„), то в скобках в последнем выражении будет в точности стоять произведение элементов блоков А„е ° Вы, а суммирование будет идти по числу блоков: 4 = 1...д. Здесь принято. что по = 1, и = п. Утверждение доказано. и Если матрица А имеет отличными от нулевых только блоки Аы... ...Аию ар = о, то она называется кеаэнднагональной. Такая матрица 2.2. Мат ипы»-ото по ядко 105 содержит блоки только на главной диагонали: (2.45) При умножении квазидиагональных матриц перемножаются соответствующие блоки, т.е.
в суммах (2.43) имеется по одному слагаемому, и будет снова образована квазидиагональная матрица. 2.2.5. Треугольные матрицы Матрица Ь и-ого порядка называется верхней треугольной, если все ее элементы Ьт ниже главной диагонали равны нулю: Ьт = О, 1 > т т 11 Такая матрица имеет вид: ~1 ~2 ''' В» 0 Ь ... Ь В= (2.46) 0 ... 0 Х"„ Квадратная матрица Ь называется нижней треугольной, если равны нулю все ее элементы выше главной диагонали: Г = О, 1 < 2, 3 т.е.
Ь1 О ... О Ь2, Вэз ... О Ь= (2.46') т» т» т» 2 Творима 2.12 (Творима Холвцкого). Водная симметпричная, положитпельно определенная матрица А и-ого порядка может бытпь единственным образом представлена в виде произведения двух матрицт А — т.. т.т (2.47) где  — нижняя тпреугольная матрица с положительными диагональными элементами, а Ьт — верхняя треугольная матрица. ~ .Показательство проведем методом математической индукции.
Лля и = 1 матрица А имеет один положительный элемент Аы, поэтому матрица Ь также состоит из одного элемента: Ь11 — — ~/Азыт. Гнвва 2, тенер ы нелинейных н оет анетвах 106 /А Ь' '1 Агз ° .. Азп 11 А =' где Азз =: ' .:, (2.48) ~ Ъ Азз,~ .4п2 Аып где А11 — — Аы — положительный элемент, Ь = А11 = (Аи... Азп) координатный столбец длины (и — 1), Азз — симметричная, положительно определеннал матрица (и — 1)-го порядка.
Блочную матрицу (2.48) можно записать в виде произведения трех новых блочных матриц: (2.49) где Еп 1 — единичная матрица порядха (н — 1), а т Н= Агг — — Ъ Ь А11 (2.50) — симметричная матрица, т.к. Азз — симметрична и Ъ ° Ь' — симметричная матрица (а — 1)-го порядка (см.упр. 2.2.5). Справедливость соотношения легко установить непосредственным перемножением блочных матриц по правилу (2.43). Выберем теперь некоторый ненулевой координатный столбец а (н — 1)-го порядка, образуем по нему столбец и-го порядка: с= 7яы (2.51) (заметим, что ат ° Ь вЂ” скапяр (см.упр. 2.2.5)), а затем составим квад- ратичную форму: = а ~А11 — — Ь ° Ъ ~ ° а = а ° Н ° а. Аы ) (2.52) Так как А — положительно определена, то из (2.52) следует, что и Н будет также положительно определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
