Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 21
Текст из файла (страница 21)
После отождествления Е„и Е„' всякий элемент из Е„' можно разложить по базису из Е„, например: е' = ебе . Подставляя эту формулу в (2.105), получаем 11 ив М е ° еу = е ееез = е дьд = 6 т.е. егь — зто матрица, обратная фундаментальной: е'1 = д'1. Таким образом, в евклидовом пространстве сопряженный базис связан с исходным с помощью соотношений: 1 11' е =д е, е =д;е-'.
(2.106) Соотношение (2.106) позволяет переходить от разложения произвольного элемента а б Е„в основном базисе е; к разложению во взаимном и наоборот: 1 1 Ь Ь а=ае1 =адье =аье . (2.107) Ковариантные а; и контравариантные а' компоненты связаны соотношениями: а1 =д' аю аь =дыа'. (2.107а) Формулы (2.106), (2.107) и (2.107а) при и = 3 полностью эквивалентны соответствующим соотношениям из 11.1 для трехмерного евклидова пространства. Глава 2. тслзо ы на линейных л ост листвах 124 2 2.5. Алгебра тензоров на и-мерных линейных пространствах 2.5.1.
Отношение эквивалентности Палее нам потребуются некоторые сведения из теории множеств. Приведем их. Рассмотрим два некоторых множества М и Л~. Опгвдвдвнив 2.20. Декартовым произведением множеств М и Л/ называется множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар элементов (аЬ), где а Е М и Ь Е Л/. Такое множество обозначим как М х Л/. Аналогично вводят понятие декартова произведения п множеств Мз... М„и обозначают его М1 х... х М„, а также и-ую декартову степень множества М, которую обозначают следующим образом: М" =М х ...хМ (пштук). Примером является арифметическое пространство й", элементы которого представляют собой упорядоченные наборы вещественных чисел (х~...х"), и которое можно рассматривать как п-ую декартову СТЕПЕНЬ: Во = И' Х М~ Х ... Х гс~.
В множестве М часто необходимо найти эквивалентные в некотором смысле элементы. Говорят, что на множестве М задано отношение эквивалентности между его элементами, если определено некоторое правило, устанавливающее эквивалентность (неразличимость) элементов а, Ь е М между собой. Отношение эквивалентности обозначают знаком " а элементы а, о, связанные отношением эквивалентности, обозначают как а Ь и называют эквивалентными. Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим аксиомам для любых а, Ь, с Е М: 1' а а (рефлексивность); 2' если а Ь, то Ь а (симметричность); 3' если а Ь и Ь с, то а с (транзитивность). Опгвдвлвнив 2.21.
Подмножество всех элементов из М, эквивалентлных фиксированному элементлу а е М называют классом эквивалентности, содержащим а и обозначают его как [а]. Всякий элемент из класса эквивалентности [а) называют пре дставителем класса [а]. ТБОРемА 2.24. Любой класс [а], где а Е М однозначно определяетлся любым своим представителем; иначе говоря, для любых а,Ъ Е М их эквивалентность а Ь равносильно совпадению их классов: [а] = [Ь]. т В одну сторону: пусть а Ъ, тогда выберем произвольный элемент с Е [а). Из определения 2.21 следует, что с а, но тогда в силу 3' З.З. Ангес втензо внвн-ме ныхлннейныхл ест внстввх должно быть с Ь, т.е.
с Е [Ь). Таким образом, любой элемент, принадлежащий [а], принадлежит и [Ь), значит [а] с [Ь]. Однако если выбрать произвольный элемент г1 Е [Ь) то г1 Ь, а, следовательно, в силу транзитивности г1 а, поэтому [Ь) С [а). Это означает, что [а) и [Ь) совпадают: [а] = [Ь]. В обратную сторону: пусть [а] = [Ъ), тогда а Е [Ь], по определению 2.21 это означает, что а Ъ.
А Имеет место еще одна важная теорема. Тногвмй 2.25. Множестпво к (М) всех классов эквивалентпностпи по отпнотиению раэбиваетп все множество М на непересекаюитиеся подмножестпва. у В самом деле, пусть имеется множество х (М) всех классов эквивалентности, но какой-либо элемент а Е М не попадает в х (М). Тогда можно образовать еще один класс эквивалентности, состоящий из одного этого элемента: [а] = а; аксиомы 1' — — 3' для него будут выполнены.
Так как по предположению а ф тг (М), то и [а] не принадлежит к (М). Но это противоречит условию теоремы, что х (М) содержит все классы из М. Полученное противоречие доказывает, что все элементы М входят в тг (М). Покажем теперь, что различные классы эквивалентности не пересекаются. Пусть противное: имеются различные классы [а] и [Ь] такие, что [а] й [Ь] ф й. Тогда можно выбрать элемент с такой, что с Е [а] и сЕ [Ь]. Но тогдас а не Ь, азначитвсилу 3' а Ь и по теореме 2.24 [а) = [Ь], что противоречит допущению о различии этих классов.
А 2.5.2. Фактор — пространство Пусть теперь отношение эквивалентности задано на линейном пространстве С, при этом аксиомы 1' — 3' дополним еще двумя: для любыха, ЬисЕС 4' если а Ъ, то а+с Ь+с; 5' если а Ь, то аа аЬ. Применяя теорему 2.25, получим, что пространство .С можно разбить на непересекающиеся классы эквивалентности: (2.108) вес Между этими классами можно определить операции сложения н ум- ножения на число: ° суммой классов [а]+ [Ь] называют класс [а+ Ъ] элементов, эквива- лентных сумме а+ Ь; ° произведением класса [а] на число в называют класс [еа) элементов, эквивалентных элементу ва, т.е. (2.109) в[а] = [ва).
[а] + [Ь] = [а + Ь], Глввв 2. 'Гензо ы не линейных л оех внехвех 12Е 2Л.З. Тензорное произведение линейных пространств Рассмотрим два линейных пространства ь"„и ь" . Образуем из них множество Е„, представляющее собой п-ую декартову степень от декартова произведения ь'„х С„„т.е. С„= (Ю„х Ю )".
(2.110) Согласно определению 2.20, элементами множества Е„являются упорядоченные наборы А длиной (2п), составленные из элементов пространств Ю„и ь, т.е. А: — (а;Ь~б) = (а1Ь(~)азЬ1~1 ..авЪ(е)) (2.111) где а; б ь„, Ъ(0 б ь (1 = 1,...п). Индекс у векторов Ъ(0 взят в скобки, чтобы не путать их с элементами сопряженного пространства. Наборы вида (2.111) будем далее называть векторными наборами. Введем операции сложения и умножения на число векторных наборов (а; Ь('1) из множества Ю„ Два векторных набора назовем однотипными, если они имеют одинаковые векторы а; Е Со или Ь1'1 е Е„, (е = 1...п). ОпРЕдвпвнии 2.23.
Суммой двух однотипных элементов множества ь"„называют следующие наборы: (а;Ь10) + (а;с('1) = (ат(ЬУ1 + с111)), (2.112 а) (а;Ь('1) + (й;Ь('1) = ((а; + и;)Ь('1). Произведением элементамножестваСе пачиоле э называют наборы вида: в(а;Ь(0) = ((ва;)Ъу)) = (а;(эЬ('1)). Опгедепвние 2.22. Множестпво всех классов эквивалентностпи линейного пространства ь наэываютп Фактор-пространств ам [ь] пространства С. Очевидно, что имеет место следующая теорема.
Теогема 2.26. Фактпор-простпранство [С] линейного пространства ь само является линейным простпранством по отношению к операциям (2.109). Заметим, что хотя согласно (2.108) объединение элементов всех классов [а] тоже образует все пространство С, фактор-пространство [Ю] не совпадает с,С, так как его элементами являются сами классы. В силу эквивалентности элементов в хлассе, класс можно отождествлять только с одним из его представителей, что мы и будем делать в дальнейшем.
г.э. Алгее в тенер свив и-ме иых линейных и ест вистввх Из определений (2.111) и (2.112а) для однотипных элементов следует, что А = (агЬ)ИагЬ1~)азЬУО) (газ)(-Ьуб)(заг)(-ЪРО)(ваз)(-ЪРО) = В, з ф О, А = (агбагЬ1г)ОЬ[з)) (ОЬ1ИагЬ(г)азО) = В Несложно убедиться, что введенное отношение эквивалентности удовлетворяет аксиомам 1' — 3' (см. упр.2.5.1). Выбирая некоторый элемент А Е Е„~ с помощью правил а) — в), находим все эквивалентные ему элементы, в результате получаем класс эквивалентности [А] элемента А. Перебирая все элементы А Е Е„,„, получаем множество всех классов эквивалентности множества С„„„ которое, аналогично определению 2.22, назовем фактор †пространств [Е„ ]множества Е„ Лля [Св ] вводят специальное обозначение. Оцввдвпвпин 2.25. Тенэорным произведением линейных пространств Ев и Е размерности и и т называют фактор-пространство и-ой декартовой степени от декартова произведения пространств Св х Е„, по отношению к введенной в определении 2.24 эквивалентности и обозначают его как Е„З Е = [Е„] = [(Е„х Е )"], где 8 — знак тензорного произведения.
(2.115) (агЬУ)) = (а;с1'1) с:=о ЬУ) = сб), г' = 1...и, (2.113) (а;Ь1'1) = (с)гЬ)О) с=о а; = еЬ. Введем на множестве С„отношение эквивалентности следующим образом. Опгкдвлвнив 2.24. Элементы А и В множества Ю„называют эквивалентными, если выполнено хотя бы одно иэвусловий: а) злементпы А и В состаоят из одних и тех же пар векторов агЬ(г),...а„Ь1"1, но упорюдоченньп, вообще говорю, различным образом; б) один элемент может быть получен из другого с помощью операиии ('2.
112б); в) все пары вектлоров аьЬ)г),...авЬ1"1 и порядок их расположения у элементов А и В совпадают, кроме пьех пар, у которых один иэ векторов — нулевой вектлор О. Приведем примеры элементов А и В пространства Юзз (и = 3), эквивалентных согласно правилам а), б) и в) соответственно: А = (агЬРОагЪ1г)азЬ1з)) (азЬР)агЬУбагЬ~'1) = В, (2.114) Глвва 2. Тенао ы на линейных в оет анетвах 128 Опгнднлниии 2.26. Элементы Т множества Еп 8Ю называют тенэорами на линейных пространств ах Е„и С и обозначают следующим образом: Т = [А] = [а<Ь!')], (2.115а) где а; Е Юп, Ь11 ЕЮ~, А Е Спы. 2.5.4.
Диадный базис Построим теперь в множестве Ю„Э Е специальную систему элементов (т.е. классов). Для этого выберем некоторый базис ег...еп в С„н базис Ьз...Ь„, в,С, и построим на их основе следующие системы векторов в С„и Ю (2.116) а; =е;, Абь1=(е;Ь.'„) =(е1(бз Ьь)), 1=1...п, 5=1...т. (2.117) Укажем свойства этой системы. Творима 2.27. Все элементы системы (8.117) принадлежат различным классам эквивалентности [А~ ь1] пространства Е„~ по отнотениям а), б) и в). Доказательство теоремы рекомендуем проделать в качестве упражнения 2.5.2. Введем для классов эквивалентности элементов Абь1 специальное обозначение: е 8 Ьь = [е;(б' Ьь)]. (2.118) Назовем эти хлассы баэисными диодами (сравните с (1.113)). Важную роль играет следующая теорема. Творима 2.28.
Класс эквивалентности [а;Ь81] любого элемента а;Ь(6 иэ ат,~ можно представить в виде линейной комбинации классов элементов системы (2.117): и т [А] = [а;Ь1'1] = ) )~~~ Т1~[АПь1], днзь=з (2.119) где Туь — коэффициенты. Поскольку классы [А] и [Абь>], согласно определениям 2.25 и 2.26, являются тензорами второго ранга, то с учетом обозначения (2.118) получим еще одну формулировку теоремы 2.28. Ь,', = У1Ьь, 1 1 = 1...и, й = 1...т.
Подставляя эти векторы при фиксированных1 и к в наборы (2.111), получим систему нз пт элементов пространства Юп 2.5. Антее а тенер ов на н-ме ных линейных и ест анетвах Творвмя 2.28А. Любой тенэор Т = [А] на линейных пространствах С„и ь" можно представить в виде линейной комбинации базисных диад: т=т' ЭЬ . (2.120) [а; Ъ(0! = [а1Ь(11 аз О... а„0] +... + [а10...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
