Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 20
Текст из файла (страница 20)
л) линейно независима. Пусть противное: существуют ненулевые коэффициенты з'. з'е'; = з'А(е;) = О'. Но тогда, так как О' — нулевой вектор из С', являющийся образом нулевого вектора О из Е, в силу линейности А получаем: А(з'е;) = А(О). Поскольку отображение А — инъективно, это возможно только если з'е< = О, что противоречит тому, что е< — базис в Ю.
Следовательно, е'; — линейно независимы. Поскольку отображение А сюръективно, всякий элемент Ъ Е Е' является образом некоторого вектора а = а'е; Е Ю, но тогда Ь = А(а) = А(а'е;) = а'А(е;) = а'еп т.е. он может быть всегда представлен в виде линейной комбинации векторов ер Таким образом, построен базис е,' в ь', состоящий из и векторов. Следовательно, размерности Е и ь' совпадают. и Упражнения к з 2.3. Упражнение 2.3.1. Методам математической нндуклнн доквзвть, что свето мв собственных векторов, лрннвдлемвщих лолврно различным собственным знвченлям, является лннейно независимой. з 2.4. Сопряженное пространство 2.4.1. Линейные функционалы Рассмотрим два линейных пространства Ю„и ь', одно из которых (ь') совпадает с пространством вещественных чисел й, и предположим, что задано линейное отображение у:,ф— > й, обозначаемое как (2.87) 6=~(а), абая, БЕЙ и называемое, согласно п.2.3.1, линейным фуккццокадозе на Е„.
Согласно определению 2.13, линейный функционзл удовлетворяет двум аксиомам: 1 у(аз+аз) =)(аз)+у(аз), для любых ап аз Е,Ся, 2' абаз) = зла), для любого а Е Е„и любого з Е К. Выберем некоторый базис ез...е„в ьо и разложим по нему произвольный элемент а из бя: а = а'е;. Тогда значение функционала у (т.е. образ а) можно представить следующим образом: (2.88) У(а) = у(а'е;) = а'Де;) = а'Д, где обозначены Д = Дез) — образы векторов е;. Эти числа Д Е й не зависят от элемента а, а определяются только базисом е; и функционалом у, поэтому назовем их козелоненлзали функционаса у.
Формула (2.88) составляет содержание следующей теоремы. ЗЛ. Сон ятясннос и осе сносно 119 ТЕОРЕМА 2.20. Любой линейный функционал на ьн можно предстпавить в виде разложения (2.88), где 1; — компоненты функционала, яеляютциеся значениями функционала на некотором базисе ь"„, Согласно п.2.3.2, каждому линейному отображению А: ń— ~ ь" соответствует матрица отображения А размером т х и. Для линейного функционала эта матрица имеет размеры 1 х и, т.е.
представляет собой координатную сптроку длиной и. Согласно определению, зта строка состоит из значений функционала на базисных векторах из Е„, т.е. это строка компонент функционала: (2.89) Согласно теореме 2.20, каждому линейному функционалу 1 на ь"„соответствует координатная строка Гт. С другой стороны, каждая строкатт, умноженная на координатный столбец а произвольного вектора а из,Сяс согласно формуле (2.88) образует функционал, который можно записать в виде 1(а) = Рт а = 11 а', где компоненты ат для всех а б ь"„берутся в одном и том же базисе ет...е„.
Несложно установить, что тахой функционал (2.89) будет линейным. Таким образом доказана следующая теорема. ТеОРемА 2.21. Множестпво ь' всех линейных функционалов на Е„изоморфно множеству координатпных строк длиной и. Введем на множестве,С' следующие операции. ОЛРЕЛЕЛЕНИЕ 2.17. Суммой линейных функционалов 1 и д на С„называют линейный функционал Ь, который всякому а Е Ю„ставит в соответствие число Й(а) = т(а) +д(а), а произведением функционала 1 на число в й яс называютп функционал д, котпорый каждому а б С„ставит в соотпветпствие число д(а) = ву(а). ТЕОРЕМА 2.22.
Множество ь"" всех линейных функционалов на Со с введенными на нем по определению 8.17 операциями сложение и умножения на число образует и-мерное линейное пространство. ч Согласно теореме 2.21, существует взаимнооднозначное отображение множества С' во множество хоординатных строк длиной и. При этом из представления (2.90) и определения 2.17 следует, что для всякого а б ь'„сумма двух функционалов Ь = 1 + у соответствует сумме координатных строк Гт + бт, так как ь(а) =тт а+нт а= (Гт+ит) ° а, а произведение д = зу соответствует строке вот, так как д(а) = в(Г ° а) = (вГ) ° а.
Главе 2. тенва ы нв линейных л ост внстввх 120 Поскольку множество координатных строк длиной и является линейным и-мерным пространством (см. упр.2.1.13) и для него выполнены все аксиомы 1'... 8', то они будут выполнены и для операций в С', следовательно, С' является линейным пространством.
В силу теоремы 2.21, оно изоморфно и-мерному пространству координатных строк, и по теореме 2.19 Е" имеет размерность и. а Опгвлплннив 2.18. Линейное простлранстпво Ю" всех линейных Яункиионалов на Св называютп сопряженны н простпрансптв олт по отпнотаению к С„. 2.4,2. Базис сопряженного пространства ст(а) = а', (2.91) т.е.
каждый т-ый функционал е'(а) сопоставляет всякому а нз С„его т-уЮ компоненту (число). Очевидно, что функционалы (2.91) действительно обладают свойствами'линейности. Если в качестве а в (2.91) выбирать векторы базиса е;, то получим, что е'(е ) = бт, (2.92) так как компоненты векторов е в том же базисе равны вт . По аналогии с (2.89) образуем координатпные столбцы, состоящие из значений функционалов ет(а) на векторах е при фиксированном и е' = (ет (ез),... е' (е„)) (2.93) Тогда произвольный функционал у иэ С*, согласно (2.88) и (2.91), можно представить в виде разложения по функционалам ет... е": у =е'Д =2 ° е, а соответствующий ему координатный столбец à — в виде разложения по координатным столбцам е'.
1 = Ле'. Таким образом, ез,... е" действительно образуют базис в пространстве координатных столбцов, а функционалы е~,... е" — базис в ь"'. Заметим, что построенный базис ез,... е" зависит от выбора базиса еы...е„в Ев. Выберем теперь в пространстве ь"„некоторый базис ет... е„, тогда для всякого вектора а иэ .Св имеет место разложение а = а'е;. Введем набор п линейных функционалов на бв специального типа 2ЛЬ Сои яженное п ест внство 121 Опгвдвпвнив 2.19.
Базисы е'; в Би и ел в Е* называют взаимными (или биортогональными), если они удовлетворяют соотношению ен(е') = 6' . Очевидно, что построенные выше базисы е1 и е; являются взаимными в силу соотношения (2.92). Элементы 1 пространства координатных столбцов, соответствующего пространству ь", сопряженному х С„, называют также ковариантными векторами или ковенторани (поэтому в соответствии с общими правилами индексы у ковариантного базиса е1 стоят вверху).
2.4.3. Замена базиса в сопряженном пространстве Пусть в пространстве,С„имеется два базиса е; и е';, связанных соотношениями (2.63). Построим для каждого из них соответствующие функционалы е1 и ен по формуле (2.91): е1(а) = а', е1(а) = а', (2.95) где а = а1е1 = оне,' — произвольный вектор иэ Б„. Используя формулу (2.67) связи компонент а" = (Я 1)1 аз, получаем: (2.96) е1(а) = (Б )' аэ = (Я )' ез(а). Если ввести координатный столбец, состоящий из значений функционалов е"(а) на векторах е".
(2.97) ен = (ен(е1)...ен(е„)) то из (2.96) получим следующие соотношения между ен и е'1 ен = (5 )1 сз, е' = У;ен. (2.98) Компоненты произвольного функционала 7' из Ю' в базисах е1 и ен вводим по формулам (2.88): (2.99) Д = Де;), Л = Де';). Тогда из соотношений Да) = ((азе ) = азЛ = у(сне';) = авзе," = а1(Я )'ф, (2.100) (2.101) получаем асс(Б ),Л, Глава 3. Тенаа ы нв линейных л оет анствах связь компонент функционала у в различных базисах е' и е". Таким образом, координатные столбцы базисов ен и е' сопряженного пространства С', взаимных к базисам е'; и е< пространства,С„, связаны между собой соотношениями (2.98), а координаты произвольного функционала у из,С' в этих базисах ен и е' связаны формулами (2.101).
2.4.4. Пространство, сопряженное с евклндовым пространством Между элементами Ю„и Е' можно установить взаимнооднозначное соответствие (изоморфизм), которое будет зависеть от выбора базиса. Однако если С„является евклидовым пространством Е„, то нзоморфизм может быть установлен независимо от базиса, что позволяет отождествить пространства Е„ и Е„'. В самом деле, поскольку в Е„ определено скалярное произведение, то зафиксировав некоторый элемент Ъ й Е„, получим линейный функционал (2.102) )'(а) = Ь ° а, Ча й Еа. Меняя Ь, будем получать различные функционалы (. Следовательно, можно ввести отображение е)п ń— + Е;„где з' = ер(Ъ) = Ь а, Ь й Е„, у б Е„'.
Следующая теорема позволяет установить, что это отображене взаимнооднозначно. ТеОРЕМА 2.23 (теОРЕМА РиссА). Всякий линейный функционал ( на евклидовом пространстве Еа молоко однозначно представить в виде скалярного произведения (2.102), где Ь вЂ” некотлорый элемент из Е„. и Выберем некоторый базис е; в Е„, тогда, согласно теореме 2,20, всякий линейный функционал у можно представить в виде (2.88), где а = а'е; — произвольный вектор из Е„, а Д вЂ” компоненты функционала у. С помощью этих компонент всегда можно образовать вектор Ь = 6'еп выбирая 6' = д'э Д, где д'э — матрица, обратная к фундаментальной (2.14): (2.103) дпддз =Е' . (Эта матрица всегда существует, так как де6 (дб) ф 0 (см. упр.2.2.8)).
Этот вектор Ъ и будет искомым элементом из Е„, обеспечивающим возможность представления (2.102), так как для всякого а й Е„(см. упр.2.1.9): Ь ° а = д; а'6' = а'дбдэ~)ь = а'); = ) (Ъ). Зля доказательства единственности представления (2.102) предположим противное, что существуют два различных вектора Ьп Ьз б Е„, такие, что у(а) = Ъз а и у(а) = Ьз ° а. Тогда можно образовать разность )(а) — У(а) = (Ъз — Ьз) ° а = О. Поскольку это соотношение Знв Сои яженное и ест анство 123 выполнено для любого а Е Е„, то, следовательно, должно выполняться равенство Ъ1 = Ъз, что противоречит сделанному допущению.
я Согласно определению 2.12 и теореме 2.23, введенное отображение ф: ń— + Е;, является взаимнооднозначным и не зависит от базиса в Е . Следовательно, Ьа и Е„' — изоморфны, и их можно отождествить: Е„' = Е„, в этом смысле Е„называют "самосопряженным". Ввиду отождествления Е„и Е„" можно не делать различия между вектором Ъ, однозначно определяющим функционал у и координатным столбцом функционала у. Тогда соотношение (2.90) можно представить в виде (2.102): (2.104) у(а)=Г а, где Г уже элемент из Е„. В частности, формула (2.92), связывающая векторы базисов е; и е' в форме (2.104), запишется следующим образом: (2.105) е'(е ) = е' ° еу —— б'зн т.е. е; и е1 взаимно ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
