Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда по предположению Предположим, что теорема верна для матриц (и — 1)-го порядка, и рассмотрим симметричную, положительно определенную матрицу А н-го порядка. Бе всегда можно представить в блочной форме: 2.2. Мит ииыи-го по икки 107 индукции она имеет треугольное представление Н = йн йтн, где йтд— треугольная матрица (п -1)-го порядка с положительной диагональю. Подставляя это представление в (2.52), получаем: (2.53) где й — треугольная матрица и-го порядка с положительной диаго- налью: (2.54) Существование представления (2.47) доказано.
Предположим, что существуют две различные матрицы й и й', удовлетворяющие представлению (2.47), которое может быть записано в элементном виде: 4г1 = К~~ й1ай1а = ~' й1ай а для 1' ) )3. (2.55) а=1 а=1 Выразим из этой формулы отдельно диагональные элементы матрицы й, а затем остальные ее элементы: 33-1 й3333 = А3333 Е й33Ш 3з = 1 .п 33-1 1 й;33= (А;33 — ~~~ й; йа 1 —, 1=36+1...п. (2.56) Эти формулы позволяют найти элементы матрицы й, причем един- ственным образом: Я й = 21, й22 — (Аэз — й221) 17 (2 57) Аы Азз з, = 3', й = — (Азз — йз1|ы) йзз = (Азз — йз1 йзз) 2 2 1/2 Аы' Аы 3/А~д < х 0 1 ьт йт Во-1 Гдова 2. Тензо ы на линейных п ест анствах 108 Знак '+" перед корнем выбираем из-за положительности Вбб по условию. В силу единственности решения уравнений (2.66), проводя аналогичное построение для матрицы ь', получим те же самые выражения для ее элементов о,'у, что и доказывает теорему.
й Приведенное доказательство является конструктивным: формулы (2.66) позволяют найти матрицу Ь по матрице А. 'Упражнения к 3 2.2. Упранснение 2.2.1. Используя оредепение (з.зо), методсм математической индукции доказать, что детерминант П-мерной матрицы можно представить в виде: а бес А сс ~ ( — 1) + АСоМоСс, о=1 иди с1есА= ~ ( — 1) Аа о, 11=1 где а+)1 = 1...ц. Упражнение 2.2.2. Методом математической индукции доказать формулу 2.31). пражнение 2.2.3.
Методом математической индукции доказать, что дпя Л-мерных матриц выполнено равенство: бес А = бес А Упражнение 2.2.4. показать, что из (2.25) следует формупв умножения матрицы на координатную строку: ЬТ аТ Ат Упражнение 2.2.6. Доказать, что скапярное умножения координатной стро- ки на столбец дает сканер, а стопбца на строку — матрицу и-го порядка: асЬ1 ... осЬ" а1 Ь= ), ооЬо сс'Ьт о=1 а" Ьс ...
а" Ь" Упражнение 2.2.6. Методом математической индукции доказать, что матрица, обратная к верхней (нижней) невырождениой треугольной матрице, является также верхней (нижней) треугольной. Упр 2.2.7. Показать, что дпя матриц ц-го порядка имеют место соотнопсенияс В)т Вт Ат А (В+С) =АВ+АС Упражнение 2.2.8. испопьзуя теорему 3.1о, доказать, что дпя фундвментвчьной матрицы, определенной в (2.14) всегда выпопнено соотнопсение: беС ОП ф О. 2.3. Линейные в еоб азоваииа и-ые иыи и оет авета 109 З 2.3. Линейные преобразования и-мерных пространств 2.3.1. Определениеотображенияилинейногопреобразования Вернемся х рассмотрению линейных пространств.
Опгвдвлвнив 2.12. Если имеет место закон, который каждому элементу а б М ставитп в соответствие единственный элемент Ь б Л/, то говорят, что имеетсэ отображение А множества М в множество Лl, которое обозначают как А: М вЂ” + Л~, или в виде зависимости1 Ь=А(а), абМ, ЬЕЛГ. (2.58) 2 3.2. Матрипа линейного преобразования Пусть имеется линейное и-мерное пространство С„, тогда в нем можно выбрать базис из и векторов: е1...
е„. Если над С„осуществляется линейное преобразование А:,ф— + .С„, то выбранному базису будет соответствовать единственный набор из т1 векторов: А(е1)... А(е„'). Поскольку векторы А(е;) также принадлежат С„, то их можно разложить по базису е1... е„: а А(е ) ае~ А' е;, у се 1...п, (2.59) 1=1 Отображение (2.58) называют сюрьективным, если для каждого Ь б Л/ существует а б М такой, что у(а) = Ь. Отображение (2.58) называют инъективны.и, если из а1 ф аз следует, что э(а1) ф э (аз), где а1, аз б М. Если отображение одновременно сюръехтивно и инъ- ективно, то его называют взаимнооднозначным (биективным). Если М и Л/ — два линейных пространства С и С' размерности и и п1, оба вещественные ипи оба комплексные, то (2.58) определяет отображение А: С вЂ” + С пространства .С в С'.
В этом случае отобра- жение (2.58) называют также оператором, действующим из С в;С'. Если С' есть пространство вещественных (или комплексных) чисел, то (2.58) называют функционалом. Вектор Ь, определяемый по (2.58), называют образом а, а вектор а — прообразом Ь.
Олгвдвлвнив 2.13. Если отображение ф.бб) удовлетворяет следующим условиям: 1' А(а1+ аз) = А(а1) + А(аз), для любых а1, аз б С, 2' А(ва1) = эА(а), для любого а б С и любого вг1цгственного 1или комплексного) э ~однородность степени 1), то его называют ли к е йн ы м (или линейным оператором). Если С и С' совпадают, то линейное отображение (2.58) называют линейным преобразованием. Главе 3. Тенер ы нв линейных л ест внстввх 110 где А' . — коэффициенты разложения.
Эти коэффициенты образуют и- мерную квадратную матрицу, называемую леатприией линейного преобразования. Так как при фиксированном 4 коэффициенты А~; образуют координатные столбцы (Аг; ...А"; )т векторов А(е;), то можно также сказать, что матрица линейного преобразования имеет в качестве столбцов координатные столбцы векторов А(е<) в базисе е;. Выберем теперь произвольный элемент а Е .Св, ему будет соответствовать образ Ь = А(а), также принадлежащий С„. Разложим а и Ь по базису ез... е„, в котором мы ввели матрицу линейного преобразования Аз;: Ь = бзезч а = а'ео (2.60) Согласно свойствам 1', 2' линейного преобразования, имеем: Ь = А(а) = А(а'е<) = а'А(е;) = а'Аз< е = бзе, (2.61) откуда получаем: бз = А';а' (2.62) т.е.
компоненты любого вектора а и его образа Ь всегда связаны линейно с помощью матрицы линейного преобразования. Поэтому говорят, что линейное преобразование полностью определено своей матрицей. 2.3.3. Замена базиса Очевидно, что матрица линейного преобразования определена неоднозначно: выбирая различные базисы в (2.59), будем получать, вообще говоря, различные матрицы Аз<. Однако все такие матрицы будут обладать некоторыми общими свойствами. Укажем ик.
Пусть имеется два базиса е; и е; 'в пространстве,С„, тогда каждый из векторов одного базиса можно разложить по другому базису: е; = У< е, з = 1...и. (2.63) Компоненты разложения Я'; представляют собой матрицу и-го поряд- ка: (2.64) столбцы которой являются координатными столбцами векторов е,' в базисе еь В силу теоремы 2.1, столбцы такой матрицы Я линейно независимы и по теореме 2.10 имеем: йе1 Яфб, 2.3. Линейные и еоа ввоввнив н-ие ныв н ест внств т.е.
матрица Я вЂ” невырожденная. Тогда существует обратная матрица Я 1, и, умножая (2.63) на Я ', получим: е =(Я )1 е;. (2.65) Если имеется произвольный элемент а б Е„, тогда его можно разложить как по базису е;, так и по е;': (2.66) В силу единственности разложения вектора по базису, получаем а1 = Я1 а'1, а" = (Я ')1-а1, ест 1...п. (2.67) 5' = А11а', 56 = А'11а". (2.68) Но а1 и а", а также У и 86 связаны матрицей перехода Я, тогда получаем: йб = (Я 1)1;51 = (Я 1)11 А'еа" = (Я 1)11А'1Я~1 а1.
(2.69) Сравнивая со второй формулой в (2.68), получаем формулу изменения матрицы линейного преобразования при замене базиса: А'1; = (Я ')11 А'1Я»; (2.70) или А'=Я 1 ° А ° Я. (2.71) Заметим, что полученные ранее для трехмерного евклидова пространства аналогичные формулы преобразования компонент и векторов базиса (см. упр.1.1.8) представляют собой частный случай соотношений (2.65), (2.67), так как зти соотношения, вообще говоря, не предполагают введения систем координат. Пусть теперь имеется линейное преобразование А: ބ— + Е„.
Выберем снова два базиса е; и е'; и построим по (2.59) для каждого матрицу линейного преобразования: А' и А" . Эти матрицы связывают компоненты а1 вектора а б Ев и его образа Ь согласно (2.62): Глава 2. 'Генео ы на линейных и ое енетввх 112 2.3.4. Инвариантные подпростраиства Опгвдвлвнин 2.14. Если имеетпся линейное преобразование А линейного пространства С, то в С можно выделить подпространст- во С, называемое инвариантным относительно А, для каждого элемента которого а Е С образ А(а) также принадлежит С. Очевидно, что нулевое подпространство, а также само Ю являются инвариантными относительно любых линейных преобразований. Каждое же подпространство будет инвариантиым относительно тождественного преобразования.
Пусть имеется и-мерное линейное пространство С„, задано линейное преобразование А, относительно которого инвариантно некоторое т мерное подпространство Ю в Е„(т ( и). Тогда можно выбрать базис ез...е в С, а затем дополнить его векторами е ез...е„, не принадлежац1ими Е, до базиса в Е„. Разделим теперь матрицу линейного преобразования А на четыре матрицы: А11 ... А' А1 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
