Главная » Просмотр файлов » Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление

Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 22

Файл №1075680 Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление) 22 страницаДимитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680) страница 222018-01-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

а Ь(~1... а„0]+ +... + [а10... а„10а„Ь1"1]. (2.121) В этих классах элементы имеют только по одной, вообще говоря, ненулевой паре векторов аоЬ, а остальные — это пары вида а О. а раэпажИМ тЕПЕръ ВЕКтОрЫ а И Ь~ ) ПО баЗИСаМ: ао сх а1 Е1, Ъ(о~ = войЬй, тогда каждый класс в сумме (2.121) можно представить следующим образом: со [а10...а Ь1 )...а„О] = ~6 й[а10...а Ьй...ааО] = й=1 Ь й[ОЬ1... (аз еу)Ьй...ОЬ„] = ~~ ~~с Ь ~аЦе10...е Ьй...е„О] = й=1 й=11=1 ы и О атоЕ1 Э Ьй. (2.122) й=11=1 Здесь мы применили теорему 2.24 для замены элемента в классе на эквивалентный (фахтичесхи поменяли пары а;0 на ОЬ;, а затем пары ОЬ1 на е10).

Подставляя (2.122) в (2.121), получаем са а Т = [а1Ь01] = ~ ~~с а' бойей Э Ьй, й =11,о=1 (2.123) 5 тсазсрнсс счеслснис Прежде чем доказать теорему 2.28, сделаем два замечания. Вопервых, согласно (2.109) и теореме 2.26 нами определены три вида действий с классами: их сложение, умножение на число и переход х новому классу, содержащему элемент из данного класса. Во-вторых, по определению (2.109) сложение классов — это класс элементов, эквивалентных сумме элементов из ь„, которая, в свою очередь, определена правилами (2.112) не для всех элементов из Е„, а только для однотипных.

Следовательно, складывать можно только классы, содержащие однотипные элементы из Е„. В частности, все элементы системы (2.117) однотипные, поэтому сложение их классов в формуле (2.119) правомерно. т Выберем произвольный элемент (а;Ь111) из Ю„и представим его класс в виде суммы классов однотипных элементов: Гневе 2. Тенво ы нв нннейннн и ест внстввх 130 что совпадает с выражением (2.120), причем Т'»=~~~ а~8". и (2.124) о=1 Следствием этой теоремы является еще одно важное утверждение.

Тногнмй 2.29. Тензорное произведение С„Э ь" линейных пространств Ю„и Г размерности и и т сомо является линейным пространством размерности пт. у Лействительно, с помощью теоремы 2.28 появляется возможность складывать классы неоднотипных элементов из ьв: для этого надо предварительно эти классы представить в виде (2.123), а затем уже складывать, используя правила сложения (2.112) для классов однотипных элементов: [а;Ь10]+ [б1с1'1] = аз1У~е Э Ь»+ дз1сг»еу Э Ь» = = (аз,бы+ а11с~)е Э Ь» = [еу((а~;81~ + дз,с»)Ь»)] (2125) в[а;Ь~О] = [ва;Ь01]. Несложно проверить, что эти операции с элементами пространства Ев Э ь",в удовлетворяют аксиомам 1' — 8' линейного пространства, откуда следует, что Е„Э Еы — линейное пространство. Установим теперь его размерность.

Лля этого заметим, что базисные диады (2.218) являются элементами пРостРанства ьв Э Е, а набоР всех базисных диад ей Э Ь» (у = 1...и, й = 1...т) образует линейно независимую систему в этом пространстве. В самом деле, предположим, что нашлась такая ненулевом система коэффициентов ТУ~, для которой выполнено соотношение Тй»е Э Ь» = О. (2.126) Выбирая некоторых представителей классов, получаем из (2.126) и (2.118): О = ТУ~(е;(81 Ь»)) = (е;(Т'»Ь»)) = (е;ЬО1). (2.127) Откуда на основании (2.115) получаем ЬО1 = Т™Ь» — — О, но это противоречит тому, что Ь1...Ь вЂ” базис в ь" .

Таким образом, базисные диады ей Э Ь» образуют линейно независимую систему в .С„Э Е Кроме того, на основании теоремы 2.28а, любой элемент из Е„Э Е линейно выражается через них, а значит, на основании определения 2.3, ей Э Ь» — базис в пространстве Е„Э ь", называемый диадным базисом. Число элементов в диадном базисе равно пп», откуда на основании определения 2.4 получаем, что й(ш (ь"„ЭЮ ) = пт. и (2.128) 2.2. А»теб »тенер в»»»-ые ныхлв»ей»ых» оет е»етвех Поскольку е Э Ьь — базис, то естественно назвать коэффициенты Тдэ в (2.120) компонентами таензора в этом диадном базисе. 2.5.5. Тензоры высших рангов Построим теперь рекуррентную последовательность тензорных произведений линейных пространств.

Шаг т = 1. Выберем пространства Ю и Е„совпадающими: С = Е„(п = т), тогда из определения 2.25 получаем тензорное произведение Ю„Э С„, элементами которого являются тензоры Т, которые на основании (2.120) можно представить в виде: Т = Т' е; Э еь, е, )е = 1... и, (2.129) так как в данном случае базисы е< и Ьь совпадают. Такие тензоры называют епекзорагеи гпеорого ранга на линейном пространстве Е„. Шаг т = 2. Поскольку, на основании теоремы 2.29, Е ® Е„также является линейным пространством, то его можно выбрать в качестве пространства С в определении 2.25. Базис Ь1... Ь этого пространства Е состоит из т = и элементов, в качестве которых можно 2 взять базисные диады е; Э е (е,у = 1...п).

Обозначим их следующим образом: ЬП„2)+ь = е Эеь, у,5 =1...п. (2.130) Тогда из определения 2.25 получим (2.131) С» Э»т» — »»Э»»ЭС» снова линейное пространство, элементами которого являются епензорм епретпьего ранга, хоторые на основании (2.120) можно представить в виде: 'Т = Тазе; ® Ь, 1 = 1...п, к = 1...тп, тп = и . (2.132) Вводя трехиндексные компоненты т!3~ = 2»)(» 1)+~, 2,1,1 — 1,...п, (2.133) с учетом (2.130) получаем: (2.134) Т=ТВ е; Эе Эеь Тензоры е< Э еу Э еп как и ранее в главе 1, назовем баэискымв тприадаии.

Выстраивая далее аналогичным образом рекуррентную последовательность, на шаге т = Й вЂ” 1 придем к к-кратному тензорному произведению линейных пространств (2.135) 7„1оь) = Е„Э С„Э... Э Ю„, Глввв 3. Теита ы ив линейных и ост вистввх 132 Элементами пространства СТ„являются контравариантные тлен(ой) эоры йвго ранга, которые можно представить в следующем виде: Т = Т"""е;, Э...Эе<„, (2.136) 2 5.6.

Тензоры на сопряженном пространстве Выберем теперь в определении 2.25 в качестве ь"„и ь" сопряженные к ним пространства Е'„и Е;в с базисами ет...еи и Ьт...Ь™. Элементами тензорного произведения Е„' Э Ю" являются тензоры вида: Т = [атЬ(т3], а' б ьи, Ь)0 е Е;„, (2.137) где (а'Ьтб) — векторные наборы вида (2.111), а [ ] - класс эквивалентности по отношениям, аналогичным к приведенным в определении 2.24.

Для тензоров типа (2.137) остаются справедливыми теоремы 2.27 — 2.29, в частности, сопряженные баэаскые диады имеют вид: е' Э Ь~ = [е'(дт; Ь~)], (2.138) и разложение произвольного тензора (2.137) по базисным диадам принимает вид: Т = Тле' ЭЬ, (2.139) где Тп = ат,йдт (2.140) — компоненты тензора Т в сопряженном диадном базисе, причем а' = а' ет, ЬВ) = 5 тЬт. (2.141) Если построить рекуррентную последовательность тензорнык произведений, аналогично построенной в п.2.5.5, то на шаге т = й — 1 придем к линейному пространству вида: 7„тьо) =,С„' Э... Э ь"'„, (2.142) элементами которого являются Т =Тб.э„е" Э...Эе'" (2.143) — тензоры й-го ранга, называемые коеарианткыэти птенэораэта. где е;, Э...Эе;„— базисные полиады, а Т""" — коэтпокенлты тлекэора в этом полиадном базисе.

г.э. Алвес втенво овна»-ме лихов»ейных л оет »»ствах гээ Если же, начиная с шага т = р (где р < й) данной рекуррентной последовательности в качестве пространства С снова выбирать Е„, то на шаге т = Й вЂ” 1 придем к следующему линейному пространству: Т»м~ = Е» Э ° ° ° Э С» З С» З ° ° Э Ю»с 9 = й — р, (2 144) в Я элементами которого являются 1<р<й с))ш Т„' е~' = пэ+е. (2.146) Для всех трех типов тензоров (2.136), (2.143) и (2.145) вводят единую классификацию. Опгвдвлвнив 2.27. Те из орами типа (р,д) назвгеают элементы линейного пространства Т„, где р > О, д > 0 (целые числа).

0е) Таким образом, ковариантные тензоры (2.136) — это тензоры типа (й, 0), где р = й, 9 = 0; контравариантные тензоры (2.143) — это тензоры типа (О, й), где р = О, д = й; а смешанные (2.145) — это тензоры типа (р, о) с р > О, о = й — р > О. 2.5.7. Изменение компонент тензоров прн замене базиса Пусть теперь в пространстве Е„выбран новый базис е,', связанный с базисом е; матРицей пРеобРазованиЯ Ягг (см. (2.63) и (2.65)). Поскольку е; 'б Е», то на его основе можно образовать базисные диады е,' Э е~ь, котоРые, очевидно, также ЯвлЯютсЯ тензоРами, т.е.

элементами из Т» (ог) Установим связь между е' Э е'„и е Э ею Для этого воспользуемся формулой (2.116), в которой в качестве векторов а; и Ъг) выберем: г е а;=е;=о;ен (2.147а) (2.147б) Ъ 'г — — б' е~ь — — (б' Я~э)ен г, у, й = 1...и. — тензоры й-го ранга, называемые смешанными или ко-контравариантными тензорами. На основании теоремы 2.29 заключаем, что размерность пространства Т»~вг~ определяется по формуле: Глава 2.

Тензо ы на линейных и ест анствах 134 Тогда из (2.118) находим: е' Э е1 — — [е';(Фуе~ь)) = Я~„~БУэе~ Э е,. (2.147) Откуда получаем е Эеь — — Я Уйе~Эео Очевидно, что имеют место обратные соотношения: (2.148) е~ Э е; = (Я )~, (Я ); е- Э е„. (2.149) Произвольный тенэор Т из 7'„, согласно теореме 2.28а, можно <оз) разложить по всякому диадному базису, проделаем это для базисов е' Э ей и е~ Э е<. Т = Тойе' Э е~ — — 2еУ~У Я~ее; Э е~ — — Тче; Э еь (2.150) Отсюда получаем связь компонент Тб" и Тп в разных базисах: Тз = Т"~Б'.Я~ . у э' (2.151) а' = е" = (Я )' е', (2.152) Ъзр) — — Бзе' =Б;з(Я )"~е', е',у',Й,1=1...п. Тогда получим еб Эеы = (ел(б)е'~)] = (я ); бэ (я ~)~~е' Эе'.

(2.153) В результате приходим к соотношению между сопряженными базисными дианами: ебЭе =(Я )~ (Я ) ~е'Эе. (2.154) Если выбрать произвольный тензор Т из пространства 7а, то его )эо) можно разложить по формуле (2.139) как по диадному базису е' Э е", так и по е" Э е'", тогда с учетом (2.143) получим: Т =Т'„е" Эе'э =2'й(Я ~)~<(Я г)~~е'Эе' = Тле' Эе'. (2.155) Выберем теперь в сопряженном пространстве .С'„два базиса е" и е', связанные матрицей преобразования Я' по формулам (2.98). Образуем на основе этих базисов базисные диады е' Э е" и е" Э е'", (20) являющиеся элементами пространства 7а Разложим тензор е" Э ем по диадному базису е' Э еь с помощью формул (2.137) — (2.141), в которых в качестве ковекторов а' и Ър) выбираем г.э.

Алтее втенео в нел-ме ныхлннейныхл ест внстввх гзз В силу единственности разложения по базису элементов линейного пространства, в итоге имеем: Тл = Т,'.„(Б-г)гг(Б-г)", (2.156) соотношение между компонентами тензора из Т( в различных са(го( пряженных диадных базисах. Вообще же длк тензоРов из пРостРанства Твгв имеет место следУ- юшгл теорема. Творима 2.30. Базисные полиады в пространстве Тв(гв( (р > О, д > 0) при замене базиса в порождающем их пространстве Евг ен = я;е( и сопряженном н нему пространстве Е'„г ен = (я г)(.ез прсобразуютася следующим образом: е" Э...ЭеррЭе; ~, З...Эе;„сс(Я )" ...(Я ) ' БЯр+,1 ...У";„ег' Э...

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
5,02 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6537
Авторов
на СтудИзбе
301
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее