Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 22
Текст из файла (страница 22)
а Ь(~1... а„0]+ +... + [а10... а„10а„Ь1"1]. (2.121) В этих классах элементы имеют только по одной, вообще говоря, ненулевой паре векторов аоЬ, а остальные — это пары вида а О. а раэпажИМ тЕПЕръ ВЕКтОрЫ а И Ь~ ) ПО баЗИСаМ: ао сх а1 Е1, Ъ(о~ = войЬй, тогда каждый класс в сумме (2.121) можно представить следующим образом: со [а10...а Ь1 )...а„О] = ~6 й[а10...а Ьй...ааО] = й=1 Ь й[ОЬ1... (аз еу)Ьй...ОЬ„] = ~~ ~~с Ь ~аЦе10...е Ьй...е„О] = й=1 й=11=1 ы и О атоЕ1 Э Ьй. (2.122) й=11=1 Здесь мы применили теорему 2.24 для замены элемента в классе на эквивалентный (фахтичесхи поменяли пары а;0 на ОЬ;, а затем пары ОЬ1 на е10).
Подставляя (2.122) в (2.121), получаем са а Т = [а1Ь01] = ~ ~~с а' бойей Э Ьй, й =11,о=1 (2.123) 5 тсазсрнсс счеслснис Прежде чем доказать теорему 2.28, сделаем два замечания. Вопервых, согласно (2.109) и теореме 2.26 нами определены три вида действий с классами: их сложение, умножение на число и переход х новому классу, содержащему элемент из данного класса. Во-вторых, по определению (2.109) сложение классов — это класс элементов, эквивалентных сумме элементов из ь„, которая, в свою очередь, определена правилами (2.112) не для всех элементов из Е„, а только для однотипных.
Следовательно, складывать можно только классы, содержащие однотипные элементы из Е„. В частности, все элементы системы (2.117) однотипные, поэтому сложение их классов в формуле (2.119) правомерно. т Выберем произвольный элемент (а;Ь111) из Ю„и представим его класс в виде суммы классов однотипных элементов: Гневе 2. Тенво ы нв нннейннн и ест внстввх 130 что совпадает с выражением (2.120), причем Т'»=~~~ а~8". и (2.124) о=1 Следствием этой теоремы является еще одно важное утверждение.
Тногнмй 2.29. Тензорное произведение С„Э ь" линейных пространств Ю„и Г размерности и и т сомо является линейным пространством размерности пт. у Лействительно, с помощью теоремы 2.28 появляется возможность складывать классы неоднотипных элементов из ьв: для этого надо предварительно эти классы представить в виде (2.123), а затем уже складывать, используя правила сложения (2.112) для классов однотипных элементов: [а;Ь10]+ [б1с1'1] = аз1У~е Э Ь»+ дз1сг»еу Э Ь» = = (аз,бы+ а11с~)е Э Ь» = [еу((а~;81~ + дз,с»)Ь»)] (2125) в[а;Ь~О] = [ва;Ь01]. Несложно проверить, что эти операции с элементами пространства Ев Э ь",в удовлетворяют аксиомам 1' — 8' линейного пространства, откуда следует, что Е„Э Еы — линейное пространство. Установим теперь его размерность.
Лля этого заметим, что базисные диады (2.218) являются элементами пРостРанства ьв Э Е, а набоР всех базисных диад ей Э Ь» (у = 1...и, й = 1...т) образует линейно независимую систему в этом пространстве. В самом деле, предположим, что нашлась такая ненулевом система коэффициентов ТУ~, для которой выполнено соотношение Тй»е Э Ь» = О. (2.126) Выбирая некоторых представителей классов, получаем из (2.126) и (2.118): О = ТУ~(е;(81 Ь»)) = (е;(Т'»Ь»)) = (е;ЬО1). (2.127) Откуда на основании (2.115) получаем ЬО1 = Т™Ь» — — О, но это противоречит тому, что Ь1...Ь вЂ” базис в ь" .
Таким образом, базисные диады ей Э Ь» образуют линейно независимую систему в .С„Э Е Кроме того, на основании теоремы 2.28а, любой элемент из Е„Э Е линейно выражается через них, а значит, на основании определения 2.3, ей Э Ь» — базис в пространстве Е„Э ь", называемый диадным базисом. Число элементов в диадном базисе равно пп», откуда на основании определения 2.4 получаем, что й(ш (ь"„ЭЮ ) = пт. и (2.128) 2.2. А»теб »тенер в»»»-ые ныхлв»ей»ых» оет е»етвех Поскольку е Э Ьь — базис, то естественно назвать коэффициенты Тдэ в (2.120) компонентами таензора в этом диадном базисе. 2.5.5. Тензоры высших рангов Построим теперь рекуррентную последовательность тензорных произведений линейных пространств.
Шаг т = 1. Выберем пространства Ю и Е„совпадающими: С = Е„(п = т), тогда из определения 2.25 получаем тензорное произведение Ю„Э С„, элементами которого являются тензоры Т, которые на основании (2.120) можно представить в виде: Т = Т' е; Э еь, е, )е = 1... и, (2.129) так как в данном случае базисы е< и Ьь совпадают. Такие тензоры называют епекзорагеи гпеорого ранга на линейном пространстве Е„. Шаг т = 2. Поскольку, на основании теоремы 2.29, Е ® Е„также является линейным пространством, то его можно выбрать в качестве пространства С в определении 2.25. Базис Ь1... Ь этого пространства Е состоит из т = и элементов, в качестве которых можно 2 взять базисные диады е; Э е (е,у = 1...п).
Обозначим их следующим образом: ЬП„2)+ь = е Эеь, у,5 =1...п. (2.130) Тогда из определения 2.25 получим (2.131) С» Э»т» — »»Э»»ЭС» снова линейное пространство, элементами которого являются епензорм епретпьего ранга, хоторые на основании (2.120) можно представить в виде: 'Т = Тазе; ® Ь, 1 = 1...п, к = 1...тп, тп = и . (2.132) Вводя трехиндексные компоненты т!3~ = 2»)(» 1)+~, 2,1,1 — 1,...п, (2.133) с учетом (2.130) получаем: (2.134) Т=ТВ е; Эе Эеь Тензоры е< Э еу Э еп как и ранее в главе 1, назовем баэискымв тприадаии.
Выстраивая далее аналогичным образом рекуррентную последовательность, на шаге т = Й вЂ” 1 придем к к-кратному тензорному произведению линейных пространств (2.135) 7„1оь) = Е„Э С„Э... Э Ю„, Глввв 3. Теита ы ив линейных и ост вистввх 132 Элементами пространства СТ„являются контравариантные тлен(ой) эоры йвго ранга, которые можно представить в следующем виде: Т = Т"""е;, Э...Эе<„, (2.136) 2 5.6.
Тензоры на сопряженном пространстве Выберем теперь в определении 2.25 в качестве ь"„и ь" сопряженные к ним пространства Е'„и Е;в с базисами ет...еи и Ьт...Ь™. Элементами тензорного произведения Е„' Э Ю" являются тензоры вида: Т = [атЬ(т3], а' б ьи, Ь)0 е Е;„, (2.137) где (а'Ьтб) — векторные наборы вида (2.111), а [ ] - класс эквивалентности по отношениям, аналогичным к приведенным в определении 2.24.
Для тензоров типа (2.137) остаются справедливыми теоремы 2.27 — 2.29, в частности, сопряженные баэаскые диады имеют вид: е' Э Ь~ = [е'(дт; Ь~)], (2.138) и разложение произвольного тензора (2.137) по базисным диадам принимает вид: Т = Тле' ЭЬ, (2.139) где Тп = ат,йдт (2.140) — компоненты тензора Т в сопряженном диадном базисе, причем а' = а' ет, ЬВ) = 5 тЬт. (2.141) Если построить рекуррентную последовательность тензорнык произведений, аналогично построенной в п.2.5.5, то на шаге т = й — 1 придем к линейному пространству вида: 7„тьо) =,С„' Э... Э ь"'„, (2.142) элементами которого являются Т =Тб.э„е" Э...Эе'" (2.143) — тензоры й-го ранга, называемые коеарианткыэти птенэораэта. где е;, Э...Эе;„— базисные полиады, а Т""" — коэтпокенлты тлекэора в этом полиадном базисе.
г.э. Алвес втенво овна»-ме лихов»ейных л оет »»ствах гээ Если же, начиная с шага т = р (где р < й) данной рекуррентной последовательности в качестве пространства С снова выбирать Е„, то на шаге т = Й вЂ” 1 придем к следующему линейному пространству: Т»м~ = Е» Э ° ° ° Э С» З С» З ° ° Э Ю»с 9 = й — р, (2 144) в Я элементами которого являются 1<р<й с))ш Т„' е~' = пэ+е. (2.146) Для всех трех типов тензоров (2.136), (2.143) и (2.145) вводят единую классификацию. Опгвдвлвнив 2.27. Те из орами типа (р,д) назвгеают элементы линейного пространства Т„, где р > О, д > 0 (целые числа).
0е) Таким образом, ковариантные тензоры (2.136) — это тензоры типа (й, 0), где р = й, 9 = 0; контравариантные тензоры (2.143) — это тензоры типа (О, й), где р = О, д = й; а смешанные (2.145) — это тензоры типа (р, о) с р > О, о = й — р > О. 2.5.7. Изменение компонент тензоров прн замене базиса Пусть теперь в пространстве Е„выбран новый базис е,', связанный с базисом е; матРицей пРеобРазованиЯ Ягг (см. (2.63) и (2.65)). Поскольку е; 'б Е», то на его основе можно образовать базисные диады е,' Э е~ь, котоРые, очевидно, также ЯвлЯютсЯ тензоРами, т.е.
элементами из Т» (ог) Установим связь между е' Э е'„и е Э ею Для этого воспользуемся формулой (2.116), в которой в качестве векторов а; и Ъг) выберем: г е а;=е;=о;ен (2.147а) (2.147б) Ъ 'г — — б' е~ь — — (б' Я~э)ен г, у, й = 1...и. — тензоры й-го ранга, называемые смешанными или ко-контравариантными тензорами. На основании теоремы 2.29 заключаем, что размерность пространства Т»~вг~ определяется по формуле: Глава 2.
Тензо ы на линейных и ест анствах 134 Тогда из (2.118) находим: е' Э е1 — — [е';(Фуе~ь)) = Я~„~БУэе~ Э е,. (2.147) Откуда получаем е Эеь — — Я Уйе~Эео Очевидно, что имеют место обратные соотношения: (2.148) е~ Э е; = (Я )~, (Я ); е- Э е„. (2.149) Произвольный тенэор Т из 7'„, согласно теореме 2.28а, можно <оз) разложить по всякому диадному базису, проделаем это для базисов е' Э ей и е~ Э е<. Т = Тойе' Э е~ — — 2еУ~У Я~ее; Э е~ — — Тче; Э еь (2.150) Отсюда получаем связь компонент Тб" и Тп в разных базисах: Тз = Т"~Б'.Я~ . у э' (2.151) а' = е" = (Я )' е', (2.152) Ъзр) — — Бзе' =Б;з(Я )"~е', е',у',Й,1=1...п. Тогда получим еб Эеы = (ел(б)е'~)] = (я ); бэ (я ~)~~е' Эе'.
(2.153) В результате приходим к соотношению между сопряженными базисными дианами: ебЭе =(Я )~ (Я ) ~е'Эе. (2.154) Если выбрать произвольный тензор Т из пространства 7а, то его )эо) можно разложить по формуле (2.139) как по диадному базису е' Э е", так и по е" Э е'", тогда с учетом (2.143) получим: Т =Т'„е" Эе'э =2'й(Я ~)~<(Я г)~~е'Эе' = Тле' Эе'. (2.155) Выберем теперь в сопряженном пространстве .С'„два базиса е" и е', связанные матрицей преобразования Я' по формулам (2.98). Образуем на основе этих базисов базисные диады е' Э е" и е" Э е'", (20) являющиеся элементами пространства 7а Разложим тензор е" Э ем по диадному базису е' Э еь с помощью формул (2.137) — (2.141), в которых в качестве ковекторов а' и Ър) выбираем г.э.
Алтее втенео в нел-ме ныхлннейныхл ест внстввх гзз В силу единственности разложения по базису элементов линейного пространства, в итоге имеем: Тл = Т,'.„(Б-г)гг(Б-г)", (2.156) соотношение между компонентами тензора из Т( в различных са(го( пряженных диадных базисах. Вообще же длк тензоРов из пРостРанства Твгв имеет место следУ- юшгл теорема. Творима 2.30. Базисные полиады в пространстве Тв(гв( (р > О, д > 0) при замене базиса в порождающем их пространстве Евг ен = я;е( и сопряженном н нему пространстве Е'„г ен = (я г)(.ез прсобразуютася следующим образом: е" Э...ЭеррЭе; ~, З...Эе;„сс(Я )" ...(Я ) ' БЯр+,1 ...У";„ег' Э...