Димитриенко Ю.И. - Тензоное исчисление (1075680), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Функционал 1 = 1(аз,..., ар, Ь~,..., Ъд) (2.170) одп р вектлоров а; и у вектлоров Ь', осуществляющий отображение 1д Мрд — + е4~1 называют полил и ней ной формой типа (р,о) на Юе, если он является линейным по каждому иэ аргументов. ТВОГВМА 2.33. Множество всех полилинейных форм тлипа (р, у) на,С„являетсн линейным пространством. Доказательство, заключающееся в проверке того, что операции сложения форм и умножения их на число сохраняют тип формы, оставляем в качестве упр.2.5.4. Выберем теперь базис е; в пространстве Е„, и взаимный к нему базис е' в С„". Тогда, раскладывая произвольные векторы а; и ковекторы Ь', являющиеся аргументами формы (2.170), по этим базисам, в силу линейности 1 по аргументам, получаем = а" ...
а" бз ...54 1 (2.171) 1''' р Э!' 'М11-т где обозначены коэффициенты А, л м"о' — — де;„...,енсе",...,е"), (2.172) называемые по аналогии с линейными функционалами (см. (2.88)) компонентами полилинейной формы. Имеет место следующая теорема. Твогвмй 2.34. Компоненты полилинейной формы 1 1'2.170) длина (р,д), определенные в базисе е; иэ Се свяэаны с компонентами в дРУгом базисе е,' = Уд ед следУющими соотношенилмид Полилинейная форма типа (10) — это линейный функционал, т.е. ковектор, а полилинейная форма типа (01) — это по определению вектор из С„.
На множестве полилинейных форм обычным образом можно определить операцию сложения: суммой двух форм 1 и 1р одного типа (р, 4) называют функционал 71 = 1 + 1р, значения которого равны сумме значений 1 и ю пРи каждом значении набоРа аРгУментов из Мрд. Аналогично определяется умножение полилинейной формы на число. Глава 2. Теизо ы на линейных и ест анствах 142 У Определяя координаты формы у в новом базисе е'; согласно правилу (2.172), получаем в силу линейности формы по аргументам: Л, и"о' = у(е,',,...,е';,еб',...,ебз) = ч = я '; ...я; (я )л1 (я ) '1 у(еь,,...,еь,,е ',...,е'), 'э 1з 1р что и доказывает теорему. й Сравнивая соотношение (2.173) с формулой (2.158), заключаем, что компоненты ~;, 1 л "о' являются компонентами тензора типа (р,д), заданного на пространстве,С„.
Таким образом, полилинейной форме у типа (р,у) на .С„соответствует тензор типа (р, д) на,С„: г' = УЪ я ~""~'е" 9... 9 е'э 9 еу, 9... 9 е „р+ 4 = й. 2.5.12. Сравнение геометрического и алгебраического определений тензора Сравним теперь два подхода х определению тензора: "геометрический" (определение 1.18) и "алгебраический" (определение 2.25). В основе первого лежит аксиоматика элементарной геометрии в трехмерном евклидовом пространстве, а второго — теоретико-множественные аксиомы линейного пространства.
формальные выражения для тензоров (1.104) и (2.115а) в этих подходах практически совпадают для случая з = 1, 2, 3. Введенные в (1.104) скобки "( )Я как простое обозначение, в рамках алгебраического подхода получили свое обоснование — это класс эквивалентности на введенном множестве векторных наборов аеЪ . Более того, если пространство С„является евклидовым 5) Ез, то определения (1.104) и (2.115а) вводят один и тот же объект. Тензорные законы преобразования компонент тензоров (1.250) и (2.158) при замене базисов В! = Р' В; (упр.1.1.8) и е'; = Узе (соотношение (2.62)) соответственно также совпадают, если положить Р' =У, Чг =(Р )'усз(Я )', з,1=1,2,3. Упражнения к 2 2.5. и'празкнение 2.5.1.
Доказать, что введенные в определении 2.24 отнопмния зквивелентности удовлетворяют аксиомам 1 — 3 из п.2.2.1. с е упразкнение 2.5.2. Доказать теорему 2.27, непосредственно образуя для квмдого элемента Абь) его класс эквивалентности (А) ь)) с ломоздью правил а) — в) из определения 2.24 и показывая, что никакие другие элементы системы (2.117) не принадлежат этому классу. 2.Е. Внензние о мы 143 Упражнение 2,5.3. Иепользуз определение 2.30, показать, что полилинейную форму типа (1, 1) можно отожвеетвить е линейным оператором, лейетаую. изим из .Са а,Си.
Упражнение 2.5.4. Локвзать теоремы 2.30 и 2.33. 3 2.6. Внешние формы 2.6.1. Свойства операции альтернирования Если операция альтернирования (2.164) осуществляется по всем индексам тензора, то будем ее обозначать следующим образом: йТ[А] = — ~ ( — 1)!"'о. з]Т('"и ').
(2.174) ь[ л.г (еа н ..ма ) Тиорвмл 2.35. Операция альтернирования (4.1741 тенэоров "Т иэ Т„' или Т„' обладает следуюи(илзи се обете ажиз (й,о) (о,й] (йт[А])(»1- м) ( 1)(м1- з]йт[А] (йт( о з))[А] — ( 1)! ь. з]йт[А) (йТ[а])[А] йТ[А] (2.175) (2.176) (2.177) где альтернирование Т( ) осуийествлеется по (2.1641 в группе пер- вые т < й инденсов, т е.
сг = (тй... т„т+ 1... й). з Используя определение (2.174), получаем (йТ[А])( -. ) — ~ ( 1)]1 -1]Т(',-А- ) = 1 -й[ (1н.лз) 1))юм..юз! — С ( — ц)1" "' )Т(па "' ') = й! (И..лз) — ( 1)!м - з(Т[А] (2.178) ]з,„, ...з,„„! =!зз...зй()тй. тй]. (2.179) Здесь мы применили два свойства подстановок: а) если суммирование идет по всем возможным подстановкам (11...зй), то подстановка каждого слагаемого может быть умножена на одну и ту же некоторую подстановку тй... тй!' б) знаки трех перестановок 11... зй, тз... тй и з„„... з,„, связаны соотношениями: «лввв 2. талас ы на линейных л ост внстввх 144 Доказательство соотношения (2.176) проводится аналогично.
Соотношение (2.177) доказываем следующим образом: (йТ[а))[А) ~ ( 1))п«н..«п )(ЬТ(«пп..«п,))[А) 1 т[' п«~ ...и«„ 1 ( 1)!«п,...юп„[( 1)[п««..лп„)«Т[А] ЬТ[А) (2 180) т'. (и«« ...«и„) Здесь было использовано свойство линейности операции ельтернирования, а также свойство (2.176).
и Из (2.177), в частности, следует, что "Т[А] — "Т[А! ()= «[А] (2.181) 2.6.2. Свойства кососимметричных тензоров Рассмотрим тензоры Т Е 7„' или 7„, кососимметричные по (ьо) (оь) всем индексам, т.е. удовлетворяющие соотношению: ьт( о.. «) ( 1)!«п«... «)ьт (2.182) для всех подстановок индексов о = (тл1... ть). Такие тензоры называют нососиммен«ровными. Перейдем в (2.182) к компонентам тензора типа (0, й): У""'"е;„, 8...®е; = ( — 1)! '"' ')Т"'"е;, 8...Эе;,. (2.183) Применяя правило (1.255) перемены индексов у цолиадного базиса 2п ..А ! 11!«в«...«п«)Т1«..А« (2.184) затем меняя еще раз индексы согласно (1.257) и умножая правую и левую части на (-1)! '" "[, получаем окончательно тй'- -А-.
= (-1)! - )т1 -'' . (2.185) Аналогичную формулу можно установить для тензоров типа (й, О): (2.186) формулы (2.185) и (2.186) представляют собой содержание следующей теоремы. 2.Е. Внешние и мм ТЕОРЕМА 2.36. Тенэоры йТ типа (О,й) и (й,О) кососимметричны тпогда и тполько тлогда, когда кососимметричны их соответствующие компонентпы, т.е. выполнены условии (2.186) и (2.166). Сравнивал (2.185) и (2.184), заключаем, что для кососимметричных тензоров любая подстановка индексов совпадает со своей обратной: Тт" "'" = Т'" "' (2.187) Операция альтернирования не изменяет кососимметричного тензора Т,так как йт[А! — 2 ' ( Ц)Ш1- е)Т(шт-. е) ш 1 -й[ ш,...ше 1 — (-Ц! - "[(-Ц! *-"[Тес -й! 1 — — (-Ц) '"' '[( — Ц[ '"' ')йТ="Т.(2.188) Г! [т»п»те) т Действительно, если Т и В являются кососимметричными, то любви их линейном комбинация тоже кососимметрична, так как ( йТ+ йВ)[ш~...ш~) йТ(ш,...ш~) + йВ(ш,...ш~) = эз(-Ц)'! Т+ вз(-Ц)е! "В = (-Ц! )(вз~Т+ взйВ).
(2.189) Но поскольку все кососимметричные тензоры — это тоже тензоры, то Лй С7» ~'. А 2.6.3. Внешние произведения векторов Для кососимметричных тензоров удобно использовать специальную операцию — внешнее произведение. ОВРедепецие 2.31. Внешним произведением еектпоров ат ч С„(т' = 1...д) называют альтернирование их тенэорного произведения и обозначают его следующим образом: ай Л... Л ат — — (ат 8... 8 ат)[А).
(2.190) ТвоРЕМА 2.37. Множество всех кососимметричных тензоров типа (р, у) на 6» образуетп линейное пространство Л»[ээ), причем Лрв С т[ Главе г. Тенер ы нв линейных л ст внстввх 146 Аналогично определятот внешнее произведение новентпоров Ь' Е Е„' (' = 1...р)т Ь' Л... Л Ь = (Ь' 9... Э Ь )141. (2А91) Выражения, стоящие в левой части (2.190) и (2.191), называют внешними формами типа (0,4) и (р,б) соответственно (используют также название поливентпоры или д-векторы и р-векторы). Из (2.190), например, при й = 2 получаем 1 аг Л аг = -(аг Э аг — аг 9 а1), 2 (2.192) а при Й = 3: 1 аг Л аг Л аз = -(аг Э аг Э аз + аг 9 аз 9 аз + аз Э аг 9 аг— 6 — аг 9 аз Э аг — аз Э аг 9 аг — аг 9 а1 9 аз) и азЛ...Л(в".Ьь)Л...Ла =~~~ в".(агЛ...ЛЬйЛ...Лат), (2.193) э=1 где в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
